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Terminale S Exercices probabilités conditionnelles 2010-2011 1

Exercice 1

3 dés cubiques sont placés dans une urne/

Deux de ces dés sont normaux : leurs faces sont numérotées de 1 à 6. Le troisième est spécial : trois de ses faces sont numérotées 6, et les trois autres sont numérotées 1. On tire de l'urne, simultanément et au hasard, deux dés parmi les trois et on les lance. On note A l'événement "les deux dés tirés sont normaux". On note B l'événement "les deux faces supérieures sont numérotées 6 ". 1) a) Définir l'événement contraire de A, qu'on notera A. b) Calculer les probabilités de A et de A

2) a) Calculer P

A(B), probabilité de B sachant que A est réalisé, puis de P(B Ç A). b) Calculer P(B).

3) Calculer P

B(A), probabilité de A sachant que B est réalisé.

Exercice 2

: Formule de Bayes 1) A et B sont deux événements de probabilité non nulle. Démontrer la relation suivante appelée "formule de Bayes" : P

B(A) = PA(B)´P(A)

P

A(B)´P(A) + PA(B)´P( A)

2)

Application

On dispose de 100 dés cubiques, dont 25 exactement sont truqués. Un dé truqué amène le 6 avec une probabilité de 0,5. On choisit au hasard un dé dans le lot de 100, on le lance et le 6 apparait. Quelle est la probabilité que le dé choisi soit truqué. Terminale S Exercices probabilités conditionnelles 2010-2011 2

Exercice 3

: Probabilités et suites Marion débute un jeu dans lequel elle a autant de chances de gagner que de perdre la première partie. On admet que, lorsqu'elle gagne une partie, la probabilité qu'elle gagne la suivante est de 0,6, alors que, si elle perd une partie, la probabilité qu'elle perde la suivante est de 0,7.

Pour n entier naturel non nul, on note :

· l'événement Gn : "Marion gagne la n-ième partie"; · l'événement Pn : "Marion perd la n-ième partie". 1) Préciser les valeurs des probabilités de G1 et de P1. 2) Calculer la probabilité de G2 et en déduire celle de P2.

Pour un entier naturel n non nul, on pose :

x n = P(Gn) et yn = P(Pn). 3) Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, on a : x n+1 = 0,6xn + 0,3yn et yn+1 = 0,4xn + 0,7yn. 4)

Pour tout entier naturel n non nul, on pose :

v n = xn + yn et wn = 4xn - 3yn. a)

Démontrer que la suite (vn) est constante.

b) Démontrer que la suite (wn) est géométrique et exprimer wn en fonction de n. c) Déterminer, pour tout n entier naturel non nul, l'expression de xn en fonction de n.

Etudier la convergence de la suite (x

n).

Exercice 4

: Loi de probabilité et espérance Un jeu consiste à extraire, au hasard et simultanément, trois boules d"une urne contenant cinq boules rouges et cinq boules vertes. Si le joueur obtient trois boules rouges, événement que l"on note R

3, il gagne

50 €.

S"il obtient deux boules rouges et une boule verte, événement que l"on note R 2, il gagne 30 € . Enfin, s"il obtient strictement moins de deux boules rouges, il ne gagne rien ; on note cet événement E.

1) Démontrer que les probabilités des événements R

2 et R3 sont :

p(R

2) = 5

12 et p(R3) = 1

12

Terminale S Exercices probabilités 2010-2011

CORRECTION

3

Exercice 1

1) a) A : Le dé anormal a été tiré.

b) P(A) = 1 3 et P( A) = 1 - P(A) = 2 3

2) a) P

A(B) = 1

36
P

A(B) = P(A Ç B)

P(A)

Donc P(A

Ç B) = PA(B)´P(A) = 1

36´1

3 = 1 108
b) P(B) = P(A

Ç B) + P( A Ç B) = 1

3´1

36 + 2

3 ´1

6 ´1

2 = 1

108 + 1

18 = 7

108
3) P

B(A) = P(A Ç B)

P(B) = 1

108´108

7 = 1 7

Exercice 2 : Formule de Bayes

1) On a PB(A) = P(A Ç B)

P(B)

D'autre part P

A(B) = P(A Ç B)

P(A)

Donc P(A

Ç B) = PA(B)´P(A)

On a aussi P(B) = P(B

Ç A) + P(B Ç A) = PA(B)´P(A) + PA (B)´P( A)

Remarque

: la formule des probabilités totales permet d'obtenir le dernier résultat.

Finalement, on obtient la formule de Bayes :

P

B(A) = PA(B)´P(A)

P

A(B)´P(A) + PA (B)´P( A)

2) On appelle T l'événement "le dé est truqué". On appelle S l'événement "la face sortie est un 6". Selon l'énoncé, on peut déterminer les probabilités suivantes :

P(T) =

25
100
= 1

4 P( T) = 1 - 1

4 = 3 4 Sachant que le dé est truqué, la probabilité que le 6 apparaisse est 1 2

Terminale S Exercices probabilités 2010-2011

CORRECTION

4

Donc :PT(S) = 1

2 Sachant que le dé est non truqué, la probabilité que le 6 apparaisse est 1 6 P

T(S) = 1

6

En utilisant la formule de Bayes, on a donc :

P

S(T) = PT(S)´P(T)

P

T(S)´P(T) + PT(S)´P( T) = 1

2 ´1 4 1

2´1

4 + 1

6´3

4 = 1

8´8

2 = 1 2 Sachant que le six est sorti, la probabilité que le dé soit truqué est donc de 1 2

Exercice 3 : Probabilités et suites

1) P(G1) = 0,5 et P(P1) = 0,5.

2)

On a : P(G2) = P(G2 Ç G1) + P(G2 Ç P1)

Ou encore : P(G

2) = PG1(G2)´P(G1) + PP1(G2)´P(P1) (formule des

probabilités totales)

D'où : P(G

2) = 0,5´0,6 + 0,5´0,3 = 0,5´0,9 = 0,45

et : P(P

2) = 1 - P(G2) = 0,55

On peut aussi utiliser un arbre :

3)

On a P(Gn+1) = P(Gn+1 Ç Gn) + P(Gn+1 Ç Pn)

0,5 0,5

Gain 1

Perte 1

Gain 2

Perte 2

0,6 0,4

Gain 2

Perte 2

0,3 0,7

Terminale S Exercices probabilités 2010-2011

CORRECTION

5 Soit xn+1 = PGn(Gn+1)´P(Gn) + PPn (Gn+1)´P(Pn) (Formule des probabilités totale)

D'où : x

n+1 = 0,6xn + 0,3yn

D'autre part, P(P

n+1) = P(Pn+1 Ç Pn) + P(Pn+1 Ç Gn)

Soit y

n+1 = PPn(Pn+1)´P(Pn) + PGn (Pn+1)´P(Gn) (Formule des probabilités totale)

D'où : y

n+1 = 0,7yn + 0,4xn 4) a) On a : x n+1 + yn+1 = 0,6xn + 0,3yn + 0,4xn + 0,7yn = xn + yn.= .... = x1 + y1 = 1

Donc v

n = 1 (la suite (vn) est constante) b) w n+1 = 4xn+1 - 3yn+1 = 4(0,6xn + 0,3yn) - 3(0,4xn + 0,7yn) w n+1 = (2,4 - 1,2)xn + (1,2 - 2,1)yn w n+1 = 1,2xn - 0,9yn w n+1 = 0,3(4xn - 3yn) = 0,3wn

Donc (w

n) est la suite géométrique de raison 0,3 et de premier terme w

1 = 4x1 - 3y1 = 4´0,5 - 3´0,5 = 0,5

On en déduit que : w

n = 0,5´0,3n-1 c) Du système : ??x n + yn = 1 4x n - 3yn = wn on déduit que : 3x n + 4xn = 3 + wn (on multiplie par trois les deux membres de la première équation et on additionne les deux équations membre à membre.)

D'où : x

n = 3 + wn

7 = 3 + 0,5´0,3n-1

7 = 3 7 + 1

14´0,3n-1

xn+1 - xn = 1

14´(0,3n - 0,3n-1) < 0 car 0 < 0,3 < 1.

La suite (x

n) est décroissante et minorée par 0 donc convergente.

Or lim

n®+ ¥ 0,3n-1 = 0 car 0 < 0,3 < 1

La suite (x

n) converge donc vers 3 7

De même on montre que la suite (y

n) est croissante est converge vers 4 7

Terminale S Exercices probabilités 2010-2011

CORRECTION

6

Exercice 4

: Loi de probabilité et espérance

1) Le nombre de tirages possibles est (((

)))10

3 = 10´9´8

3

´2 = 120

Le nombre d"issues qui réalisent l"événement R

2 est : (((

)))5 2 )))5 1 = 5 ´4

2´5 = 50

Donc p(R

2) = (((

)))5 2 )))5 1 )))10

3 = 50

120 = 5

12

De même p(R

3) = (((

)))5 3 )))10 3 = 10

120 = 1

12

2) La loi de probabilité de X est la suivante :

Probabilité de ne rien gagner : 1 -

5 12 - 1

12 = 1

2

X 0 30 50

p(X) 1 2 5 12 1 12

E(X) = 0

´1

2 + 30´5

12 + 50´1

12 = 150 + 50

12 = 200

12 = 50

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