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TABLE DES MATIÈRES 1

Rappels de géométrie

euclidienne. Les configurationsPaul Milan

LMA Seconde le 1

eravril 2012

Table des matières

1 Rappels de géométrie euclidienne

1.1 Euclide

1.2 Éléments du plan

3 a) Le point 3 b) La droite 3 c) Demi-droite 4 d) Le segment 4 e) L"angle 4

1.3 Les quadrilatères

5 a) Parallélogramme 5 b) Le losange 6 c) Le rectangle 6 d) Le carré 7 e) Le trapèze 7

2 Droites dans un triangle

2.1 Le théorème des milieux

8 a) Le théorème direct 8 b) La réciproque du théorème des milieux 8

2.2 Les médianes

2.3 Les hauteurs

2.4 Les médiatrices

2.5 Les bissectrices

2.6 Le théorème de Thalès

11 a) Théorème direct 11 b) Réciproque du théorème de Thalès 12

3 Le triangle rectangle

3.1 Centre du cercle circonscrit

3.2 Le théorème de Pythagore

15 a) Le théorème direct 15 b) Sa réciproque 15

3.3 Trigonométrie dans le triangle rectangle

15 a) Définition 15

TABLE DES MATIÈRES 2

b) Propriétés 15 c) Tableau des lignes trigonométriques remarquables 16

4 Les angles

4.1 Égalité entre deux angles

4.2 Angles dans un cercle

17 paul milan1eravril 2012lma seconde

1 Rappels de géométrie euclidienne

1.1 Euclide

Un des premiers pensionnaires du Muséum d"Alexandrie, communauté scientifique ayant pour but de rassembler dans un même lieu tout le savoir du monde au troisième siècle avant notre ère.

sances en géométrie plane, sur la théorie des nombres puis sur la géométrie dans l"espace.

De plus Euclide codifie la démonstration mathématique qui est toujours en usage au- jourd"hui. Elle est basée sur le schéma suivant : On sait que: hypothèses de l"énoncé, définitions, postulat

Or: propriétés, théorème

Donc: ce que l"on veut montrer.

1.2 Éléments du plan

Le plan Euclidien est infini dans les deux dimensions qui le compose. Il n"y a pas de repère, innovation qui viendra beaucoup plus tard au XVII esiècle avec Descartes. a) Le point Élément du plan qui n"a pas de partie. Il est noté par une majuscule :A,B,C,... Si l"on veut désigner un point inconnue :M,N, ... b) La droite Une droite est définie par deux points. Elle est illimitée à chaque extremité. Notation :Si la droite est déterminée par les pointsAetB, on note la droite (AB). On peut noter une droite par une majuscule (D), () (noter la présence de parenthèse pour ne pas confondre la droite avec un point) ou une minusculed,(les parenthèse ne sont pas nécessaires).Rapport entre deux droites 1) Deux droite d1etd2peuvent être parallèles. Elles n"ont aucun point commun ou elles sont confondues : d

1==d2,d1etd2n"ont aucun point commun ou

d 1=d2 2) Deux droite peuv entêtre sécante si elles ne sont pas parallèles. Elles se coupent alors en un point. Si trois droites se coupent en un point, elles sont concourantes.paul milan1eravril 2012lma seconde

1.2 Él´ements du plan43)Deux droite peuv entêtre perpendiculaires si elle se coupe en angle droit. On note alors

d 1?d2 Si deux droites sont perpendiculaires à une troisièmes elles sont parallèles entre elles. d 1?d3 d 2?d3) alorsd1==d2 c) Demi-droite

Une demi-droite est une droite limitée à une extrèmité. Si une demi-droite est limitée

enAet passe parB, on la note [AB).d) Le segment Un segment est une droite limitée aux deux extrèmités. Si le segment est limité enA

etB, il est noté [AB].Si le plan est doté d"une unité de mesure, on noteABla distance entreAetB.

Le milieu d"un segment, divise celui-ci en deux parties égale. SiIest le milieu du segment [AB], on noteI=m[AB].AI=IB=AB2 e) L"angle Un angle est un secteur du plan délimité par deux demi-droites. On distingue alors deux types d"angles :

2Les angles saillants (ou géométriques) notés :dAOBcompris entre 0 et 180°.

2Les angles rentrants compris entre 180°et 360°paul milan1eravril 2012lma seconde

1.3 Les quadrilat`eres5Angles saillants

On distingue parmi les angles saillants, les types suivants :

2Les angles aigus : compris entre 0°et 90°

2Les angles droits : 90°

2Les angles obtus : compris entre 90°et 180°

2Les angles plats : 180°

On dit que deux angles sont complémentaires, supplémentaires si leur somme vaut respectivement 90°et 180°. +=90etsont complémentaires +=180etsont supplémentaires

1.3 Les quadrilatères

a) Parallélogramme

Il existe 6 définitions, toutes équivaventes, du parallélogramme.1)Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont deux à deux

parallèles. 2) Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont deux à deux de même longueur. 3) Un parallélogramme est un quadrilatère dont deux côtés sont parallèles et de même longueur. 4) Un parallélogramme est un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu. 5) Un parallélogramme est un quadrilatère dont deux angles consécutifs quel- conques sont supplémentaires. 6) Un parallélogramme est un quadrilatère dont les angles opposés sont ég auxdeux à deux.Un parallélogramme admet un point de symétrie : l"intersection des diagonales appe- léecentre du parallélogramme.paul milan1eravril 2012lma seconde

1.3 Les quadrilat`eres6:::::::::::

ApplcationSoit A, B,C, D, E et F sixpointstelsque ABCDet AECF soient des paralléogrammes. Démontrer que le quadrilatère EBFD est un parallélogramme. Faisons une figure : On trace un parallélogrammeABCD, on place le pointE, puis on détermineFtel queAECFsoit un parallélogramme.::::::::::: ApplcationSoitI1le centre deABCD. CommeABCDest un parallélo- gramme, les diagonales se coupent en leur milieu doncI1est le milieu de [AC] et [BD]. SoitI2le centre deAECF. CommeAECFest un parallélo- gramme, les diagonales se coupent en leur milieu doncI2est le milieu de [AC] et [EF]. CommeI1etI2sont le milieu de [AC], on en déduit queI1=I2. CommeI1=I2alors [BD] et [EF] ont le même milieu. Les diagonales deEBFDse coupent en leur milieu doncEBFDest un parallélogramme. b) Le losange Les 4 définitions sont équivalentes.1)Un losange est un quadrilatère dont les 4 côtés sont de même longueur. 2)

Un losange est un quadrilatère dont les diago-

nales se coupent en leur milieu perpendiculai- rement. 3)

Un losange est un parallélogramme dont deux

côtés consécutifs sont de même longueur. 4)

Un losange est un parallélogramme dont les

digonales sont perpendiculairesUn losange possède un centre de symétrie : le centre du losange et un axe de symé-

trie : les diagonales. Les diagonales sont les bissectrices des angles formés par 2 côtés consécutifs. c) Le rectangle Les 4 définitions sont équivalentes.paul milan1eravril 2012lma seconde

1.3 Les quadrilat`eres71)Un rectangle est un quadrilatère qui a trois

angles droits. 2)

Un rectangle est un quadrilatère dont les dia-

gonales sont de même longueur et qui se coupent en leur milieu. 3)

Un rectangle est un parallélogramme qui a 1

angle droit. 4)

Un rectangle est un parallélogramme dont les

diagonales sont de même longueur.Un rectangle possède un centre de symétrie : le centre du rectangle et deux axes de

symétrie : les médiatrices des côtés. Comme les diagonales sont de même longueur et se

coupent en leur milieu, un rectangle est inscriptible dans un cercle. d) Le carré Les trois définitions sont toutes équivalentes.1)Un carré est un losange et un rectangle. 2) Un carré est un quadrilatère qui a ses 4 côtés de même longueur et 1 angle droit. 3) Un carré est un quadrilatère dont les diago- nales de même longueur, qui se coupent en

leur milieu perpendiculairement.Un carré possède un centre de symétrie : le centre du carré et 4 axes de symétrie : les

deux diagonales et les médiatrices des côtés. Un carré est un quadrilatère régulier.

e) Le trapèzeUn trapèze est un quadrilatère qui a 2 côtés parallèles. Ces 2 côtés parallèles sont appe- lés les "bases» du trapèze.Un trapèze rectangle est un trapèze qui pos- sède un augle droit.Un trapèze isocèle est un trapèze dont les deux bases ont même médiatrice. Il possède alors un axe des symétrie.paul milan1eravril 2012lma seconde 8

2 Droites dans un triangle

2.1 Le théorème des milieux

a) Le théorème directThéorème 1Dans un triangle, la droite qui passe par le milieu d"un côté et qui est

parallèle à un deuxième côté coupe le troisième en son milieu.

Si I=m[AB]et si(IJ)==(BC)alors J=m[AC]et IJ=12

BCb) La réciproque du théorème des milieux Théorème 2Dans un triangle, la droite qui passe par le milieu de deux côtés est parallèle au troisième.

Si I=m[AB]et si J=m[AC]alors(IJ)==(BC)et IJ=12

BC:::::::::::

ApplcationQuadrilatère de Varignon (1654 - 1722) :Soit ABCD est qua- drilatère quelconque. Soit I, J, K et L les milieux respectifs des segments[AB],[BC],[CD]et[DA]. Quelle la nature du qua- drilatère IJKL? Faisons d"abord une figure :paul milan1eravril 2012lma seconde

2.2 Les m´edianes9:::::::::::

Applcation2Dans le triangle ABD, on sait queIest le milieu de [AB] et des milieux, on a : (IL)==(BD) etIL=12

BDprop 1

2Dans le triangle BDC, on sait queJest le milieu de [BC]

etKle milieu de [CD], donc d"après la réciproque du théo- rème des milieux, on a : (JK)==(BD) etJK=12

BDprop 2

Des propriétés 1 et 2, on en déduit :

(IL)==(JK) etIL=JK Donc le quadrilatèreILKLpossède deux côtés parallèles de même longueur, doncIJKLest un parallèlogramme.

Pour aller plus loin :

Quelle condition doit vérifierABCDpour queIJKLsoit : a) un rectangle b) un losange c) un carré

2.2 Les médianesDéfinition 1Une médiane d"un triangle est une droite qui passe par un sommet et

par le milieu du côté opposé. Propriété : Les trois médianes sont concourantes en un point G appelé le centre de

gravité. Il est situé au deux tiers du sommet ou à un tiers de la base.On peut eectuer cette figure à la règle et au compas en déterminant les milieuxA0,B0

etC0des côtés du triangle en traçant les médiatrices respectives de [BC], [AC] et [AB]. AG=23

AA0A0G=13

AA0

2.3 Les hauteursDéfinition 2Une hauteur d"un triangle est une droite qui passe par un sommet et

qui est perpendiculaire au côté opposé. Propriété : les trois hauteurs sont concourantes en un point appelé orthocentre.paul milan1eravril 2012lma seconde

2.4 Les m´ediatrices10On peut eectuer cette figure à la règle et au compas en traçant les perpendiculaires

en utilisant la construction de la médiatrice. De plus, contrairement au centre de gravité, l"orthocentre peut être à l"extérieur du triangle comme on peut le remarquer sur la figure ci-dessus. Il est à noter que pour tracer certaines hauteurs, il est nécessaire de prolongerquotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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TABLE DES MATIÈRES 1

Rappels de géométrie

LMA Seconde le 1

Table des matières

1 Rappels de géométrie euclidienne

1.1 Euclide

1.2 Éléments du plan

1.3 Les quadrilatères

2 Droites dans un triangle

2.1 Le théorème des milieux

2.2 Les médianes

2.3 Les hauteurs

2.4 Les médiatrices

2.5 Les bissectrices

2.6 Le théorème de Thalès

3 Le triangle rectangle

3.1 Centre du cercle circonscrit

3.2 Le théorème de Pythagore

3.3 Trigonométrie dans le triangle rectangle

TABLE DES MATIÈRES 2

4 Les angles

4.1 Égalité entre deux angles

4.2 Angles dans un cercle

17 paul milan1eravril 2012lma seconde

1 Rappels de géométrie euclidienne

1.1 Euclide

Or: propriétés, théorème

Donc: ce que l"on veut montrer.

1.2 Éléments du plan

1==d2,d1etd2n"ont aucun point commun ou

1.2 Él´ements du plan43)Deux droite peuv entêtre perpendiculaires si elle se coupe en angle droit. On note alors

2Les angles saillants (ou géométriques) notés :dAOBcompris entre 0 et 180°.

2Les angles rentrants compris entre 180°et 360°paul milan1eravril 2012lma seconde

1.3 Les quadrilat`eres5Angles saillants

2Les angles aigus : compris entre 0°et 90°

2Les angles droits : 90°

2Les angles obtus : compris entre 90°et 180°

2Les angles plats : 180°

1.3 Les quadrilatères

1.3 Les quadrilat`eres6:::::::::::

Un losange est un quadrilatère dont les diago-

Un losange est un parallélogramme dont deux

Un losange est un parallélogramme dont les

1.3 Les quadrilat`eres71)Un rectangle est un quadrilatère qui a trois

Un rectangle est un quadrilatère dont les dia-

Un rectangle est un parallélogramme qui a 1

Un rectangle est un parallélogramme dont les

2 Droites dans un triangle

2.1 Le théorème des milieux

Si I=m[AB]et si(IJ)==(BC)alors J=m[AC]et IJ=12

Si I=m[AB]et si J=m[AC]alors(IJ)==(BC)et IJ=12

BC:::::::::::

2.2 Les m´edianes9:::::::::::

BDprop 1

2Dans le triangle BDC, on sait queJest le milieu de [BC]

BDprop 2

Des propriétés 1 et 2, on en déduit :

Pour aller plus loin :

2.2 Les médianesDéfinition 1Une médiane d"un triangle est une droite qui passe par un sommet et

AA0A0G=13

2.3 Les hauteursDéfinition 2Une hauteur d"un triangle est une droite qui passe par un sommet et

2.4 Les m´ediatrices10On peut eectuer cette figure à la règle et au compas en traçant les perpendiculaires