Lien vers les énoncés des exercices : Corrigé de l'exercice 2-1 d'équations paramétriques comme décrivant l'horaire d'un mouvement rectiligne uniforme :
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Marcel Délèze
Edition 2017
Thème : cinématique,
2 et 3
Lien vers les énoncés des exercices :
Corrigé de l'exercice 2-1
a)Equation cartésienne le point P x, y appartient à la droite AB les vecteurs AP x-1 y3 et AB= 4
5 sont colinéaires
le déterminant des vecteurs AP , ABest nul det x 1 4 y 35 = 0 (x-1) (-5)-(y-3) 4 = 0
5 x 4 y 17 0 5 x 4 y 17 0 b)Système d'équations paramétriques le point P appartient à la droite AB les vecteurs AP x-1 y3 et AB= 4
5 sont colinéaires
le vecteur AP est un multiple du vecteur AB AP= k·ABoù k est un nombre réel appelé paramètre x 1 y3 = k·4
5 x = 1+4 k
y 3 5 kInterprétation géométrique:
k indique par combien il faut multiplier le vecteur AB pour obtenir le vecteur AP. c )Autre système d'équations paramétriques On peut choisir librement l'équation paramétrique d'une composante (n'importe quelle fonction affine non constante x mt p m0 ) puis calculer l'équation paramétrique
de l'autre composante au moyen de l'équation cartésienne de la trajectoire : x 4 t y 5 x 174=-5 (4 t)+17
4= -5 t+17
4d)Méthode cinématique : nous interprétons le paramètre k comme désignant le temps et le
système d'équations paramétriques comme décrivant l'horaire d'un mouvement rectiligne uniforme:à l'instant k=2, le mobile a la position
r 2 5 2à l'instant k=7, le mobile a la position
r 7 1 3Déplacement
r r 7 r 2 -4 5Durée
k 7 2 5Vitesse v
r k= -0.8 1Printed by Wolfram Mathematica Student Edition
Horairer
k v k k 0 r k 0 -0.81 (k-2)+5
2 = -0.8 k + 6.6
k4 = x (k)
y kCorrigé de l'exercice 2-2
a)Sytème d'équations paramétriques le point P appartient à la droite AB les vecteurs AP et ABsont colinéaires le vecteur AP x 1 y 3 z 2 est un multiple du vecteur AB= 4 5 3 AP= k·ABoù k est un nombre réel appelé paramètre x 1 y 3 z 2 k 4 5 3 x = 1+4 k y 3 5 k z 2 3 kb)Méthode cinématique : nous interprétons le paramètre k comme désignant le temps et le
système d'équations paramétriques comme décrivant l'horaire d'un mouvement rectiligne uniforme :
à l'instant k=5, le mobile a la position
r 5 1 3 2à l'instant k=12, le mobile a la position
r 12 5 2 1Déplacement
r r 12 r 5 4 5 3Durée
k 12 5 7Vitesse v
r k= 1 7 4 5 3Horairer
k v k k 0 r k 0 1 7 4 5 3 k 5 1 3 2 4 7 k 13 7 5 7 k 467 3 7 k 29
7 x k y k z k
2 2_et_3-cinematique-cor.nb
Printed by Wolfram Mathematica Student Edition
Corrigé de l'exercice 2-3
y 1 3 x 1 52= 3 k +5
2 x 2 2 y 2 53= -2 t+5
9Corrigé de l'exercice 2-4
représentation graphique de courbes paramétréesParametricPlot
32 t, 4
5 t 53 t, 7
2 t t, 2, 1 rapport d'aspectAspectRatio
automatiqueAutomatic
24685 10
élimine
Eliminate
x 32 k, y
4 5 k , k 232 y 5 x
élimine
Eliminate
x 53 t, y
7 2 t , t 11 3 y 2 x réduisReduce
3 2 k 5 3 t 4 5 k 7 2 t, k, t k 519&& t -16
192_et_3-cinematique-cor.nb 3
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Corrigé de l'exercice 2-5
représentation graphique de courbes paramétréesParametricPlot
23 t, 1
5 t 5 2 t, 6 4 t t, 0, 10 rapport d'aspectAspectRatio
automatiqueAutomatic
510152025
5040
30
20 10 v 1 3 5, v 1 =3 2 5 2 =34 5.831 v 2 2 4, v 2 =2 2 4 2 =20 4.472 réduis
Reduce
x 2 3 t1 y 1 5 t1 x 5 2 t2 y 6 4 t2, x, y, t1, t2 x19 && y
34 && t1
7 && t2
7 Oui, les deux mobiles se rencontrent au point (19, -34) à l'instant t=7.4 2_et_3-cinematique-cor.nb
Printed by Wolfram Mathematica Student Edition
Corrigé de l'exercice 2-7
Enclenchons le chronomètre à l'instant où le premier mobile passe au point (6; -2). L'horaire du
premier est r 1 t -2 2 t+6 2 Les deux mobiles se rencontrent à l'instant t=4, c'est-à-dire au point r 1 4 -2 2 4+6