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1 - Exercices : 12 - Conduction - Convection - RayonnementSciences Physiques MP* 2022-2023

Exercices : 12 - Conduction - Convection - Rayonnement

A. R´egime stationnaire

1.Temp´erature d"interface et r´egime stationnaire

On met en contact, suivant leur surface commune, d"aireS, deux conducteurs thermiques limit´es par des plans

parall`eles. En r´egime stationnaire, l"ensemble des deux conducteurs, de mˆeme ´epaisseure, se comporte comme

un syst`eme dont l"´etat ne d´epend que de la seule coordonn´ee spatialezle long de l"axe perpendiculaire `a leur

plan. En outre, les temp´eratures des faces des deux conducteurs qui ne sont pas en contact sont maintenues

aux valeursT1= 293K etT2= 373K respectivement. On d´esigne parλ1etλ2les conductivit´es thermiques des

deux corps.

1. Quelle est l"expression de la r´esistance thermique de chaque conducteur en fonction dee,Set de sa

conductivit´e thermique? En d´eduire la r´esistance thermiqueRthde l"ensemble des deux conducteurs

plac´es en s´erie.

2. En s"appuyant sur l"analogie avec la loi d"Ohm, montrer que la temp´eratureTi`a l"interface est telle que :

T

i-T1=α(T2-T1) o`uαest une quantit´e que l"on exprimera en fonction des r´esistances thermiques

R th1etRth2des deux conducteurs. En d´eduireTien fonction deT1,T2,λ1etλ2.

3. Application : CalculerTipour un conducteur organique comme le corps humain, (λ1= 0,5W·m-1·K-1)

en contact avec du bois (λ2= 0,2W·m-1·K-1) puis en contact avec du cuivre (λ2= 390W·m-1·K-1).

2.R´esistance thermique cylindrique, sph´erique

On consid`ere un manchon cylindrique de conductivit´eλ, de hauteurH, de rayon int´erieurr1et de rayon ext´erieur

r

2. La paroi int´erieure est port´ee `a la temp´eratureT1et la paroi ext´erieure `aT2> T1. Le r´egime permanent

ind´ependant du temps est ´etabli.

1. Repr´esenter les lignes de densit´e de courant de transfert thermique. R´efl´echir aux invariances et aux

sym´etries.

2. En d´eduire la forme de d´ependance en fonction derdu vecteur densit´e de courant de transfert thermique

et de la temp´eratureT(r).

3. Calculer la r´esistance thermique ´equivalente de ce manchon.

4. Reprendre la mˆeme ´etude pour une coquille sph´erique.

3.Ailettes de refroidissement

Pour ´eviter l"´echauffement d"un appareil dˆu `a l"effet Joule, on munit son boˆıtier d"ailettes de refroidissement

m´etalliques. Chaque ailette est parall´el´epip´edique, de dimensionsa= 2,0mm (´epaisseur),b= 10cm (largeur)

etc= 20cm (longueur). On pourra admettre queaest n´egligeable devantb. En fonctionnement, le boˆıtier

de l"appareilMsera maintenu `a la temp´eratureTM= 60◦C. L"air ext´erieur, qui circule, est de temp´erature

constante et uniformeTA= 20◦C, sauf au voisinage imm´ediat de l"ailette, entour´ee d"une couche limite d"air

thermiquement peu conductrice dont la temp´erature reste localement voisine de celle de la surface de l"ailette.

Dans l"ailette, on admettra que le transfert thermique, de type conductif, est monodimensionnel dans la direction

de l"axeOx. Il ob´eit `a la loi de Fourier, la conductivit´e thermique ´etantλ= 16W·m-1·K-1. On noteT(x)

la temp´erature de l"ailette `a l"abscissex. Il existe aussi un transfert thermique de l"ailette vers l"air ambiant, `a

travers la couche limite. Le flux thermique au niveau d"une surfacedSde l"´el´ement de l"ailette de longueurdx

est de la forme : dP=h(T(x)-TA)dS o`uh= 150SIest un coefficient uniforme et constant.

1. Expliquer la loi deFourieret donner l"unit´e du coefficienthdans le syst`eme international.

2.

´Ecrire le bilan des transferts d"´energie pour la tranche d"ailette comprise entre les abscissesxetx+dx,

en r´egime permanent. On posera :L=? λa

2het on donnera la valeur num´erique deLainsi que son unit´e.

En d´eduire l"´equation diff´erentielle dontT(x) est la solution.

3. R´esoudre cette ´equation diff´erentielle pour d´eterminer l"expression deT(x). On v´erifiera queL?cet

on pourra consid´ererccomme infini pour simplifier.

4. Donner l"expression de la puissance thermiquedPsortant de la surface lat´eraledSde la tranche d"ailette

comprise entre les abscissesxetx+dx. En d´eduire l"expression de la puissance thermique totaleP ´evacu´ee par l"ailette, faire l"application num´erique.

5. Exprimer et calculer la puissance thermique transmise du boˆıtier de l"appareilM`a l"ailette enx= 0.

Conclure.

JR SeigneClemenceauNantes

Sciences Physiques MP* 2022-2023Exercices : 12 - Conduction - Convection - Rayonnement - 2

6. Combien faudrait-il fixer d"ailettes sur le boˆıtier pour ´evacuer un flux thermique total de 0,9kW? La taille

de chaque ailette peut-elle ˆetre r´eduite sans changer notablement l"ensemble des r´esultats pr´ec´edents? Si

oui, expliquer comment et pourquoi.

4.G´eothermie

La croˆute continentale terrestre a une ´epaisseurld"environ 35km; elle est ´equivalente `a une couche homog`ene

de conductivit´eλ= 23W·m-1·K-1. Au niveau du sol, la temp´erature estT2= 273K, et `a la profondeurl,

elle vautT1= 873K.

1. Calculer la puissance g´eothermique par unit´e de surfaceJthissue de la croˆute continentale.

2. Les ´el´ements radioactifs de la croˆute dissipent une puissance volumiqueσu= 3×10-3W·m-3. D´eterminer

l"´equation diff´erentielle satisfaite par la temp´erature de la croˆute.

3. En d´eduire la puissance g´eothermique par unit´e de surface,J?th, au niveau du sol, quand on tient compte

des ´el´ements radioactifs. Conclure.

5.Conduction thermique, cr´eation d"entropie

Une barre en fer, cylindrique, de section circulaireAuniforme (diam`etreD= 1,5cm), de longueurL= 1,3m,

a une extr´emit´e `a l"int´erieur d"un four, `a la temp´eratureTf= 494K maintenue constante. L"autre extr´emit´e

est en contact avec le milieu ambiant qui se comporte comme un thermostat `a la temp´eratureTa= 300K.

La surface lat´erale est calorifug´ee de telle sorte que l"on peut n´egliger les d´eperditions lat´erales. On ´etudie la

diffusion thermique le long de la barre. On d´esigne parλla conductivit´e thermique du fer :λ= 16W·m-1·K-1.

La diffusion thermique est stationnaire.

1. Calculer, en s"aidant de l"expression de la r´esistance ´electrique d"un conducteur ohmique de mˆeme g´eo-

m´etrie, la r´esistance thermiqueRude la barre; pr´eciser son unit´eSI. 2.

´Ecrire le bilan entropique pour un ´el´ement de barre, de longueur ´el´ementairedx, pendant la dur´ee

´el´ementairedt.

3. Trouver l"expression de l"entropie re¸cue (alg´ebriquement) parcet ´el´ement. en fonction dedt,A,dx,λ,

T(x) (temp´erature au point d"abscissex) et de sa d´eriv´eedT/dx. L"axeOxest orient´e de l"extr´emit´eO

dans le four vers l"extr´emit´e en contact avec le milieu ambiant.

4. En d´eduire l"expression du taux de production d"entropieσSdans la barre, par unit´e de temps et par

unit´e de volume. Quelle serait la production d"entropie pour un tel syst`eme `a l"´equilibre? Sachant que le

gradient de temp´erature le long de la barre est uniforme, calculer laproduction d"entropie aux extr´emit´es.

Application num´erique.

6.Hom´eothermie

Une sph`ere de rayonaest maintenue en permanence `a la temp´eratureT1, dans un milieu fluide qui, `a grande

distance de la sph`ere, est `a la temp´eratureT0< T1. La conductivit´e thermique du fluide est not´eeλ.

On n´eglige toute discontinuit´e de temp´erature (transfert pari´etal parfait) `a la surface de la sph`ere.

Le probl`eme est ´etudi´e en r´egime permanent.

1. Expliciter la puissancePthermique produite par la sph`ere.

2. On donneT1= 310K,T0= 280K eta= 25cm (mod´elisation d"un animal hom´eotherme avec un

rapport surface/volume comparable `a celui d"un ˆetre humain). CalculerPsi le fluide est de l"air (λ=

2,6×10-2W·m-1·K-1).

3. L"hom´eothermie est-elle plus ais´ee pour un petit animal ou pour un gros?

7.Transferts entropiques

Dans un milieu conducteur thermique de conductivit´eλ, on pose?jS=-λ--→gradlnT

T0o`uT0est une constante

positive quelconque. On note aussisl"entropie massique etρla masse volumique du milieu ´etudi´e.

Enfin, l"irr´eversibilit´e des transferts thermiques impose la cr´eation d"une entropie par unit´e de temps et de

volume de mat´eriau sc.

1. Relier

?jS,ρ,set sc.

2. On consid`ere une transformation isobare et on notecpla capacit´e thermique massique correspondante.ρ

etcpsont suppos´es constants. On ´etudie une situation unidimensionnelle en r´egime permanent. Exprimer

sc, examiner son signe et conclure.

JR SeigneClemenceauNantes

3 - Exercices : 12 - Conduction - Convection - RayonnementSciences Physiques MP* 2022-2023

8.Effet Joule et effet Thomson

SirWilliam Thomson (Lord Kelvin)d´ecouvre en????l"effet maintenant appel´eJoule-Kelvinou effet

Thomson. Il r´esulte du passage d"un courant´electrique dans un conducteur o`u r`egne un gradient de temp´erature.

La puissanceThomsonabsorb´ee - comme dans un puits o`u de l"´energie se perdrait - lorsdu passage d"un courant

d"intensit´eIdans un tron¸con de fil dont les extr´emit´es sont port´ees `a des temp´eratures diff´erant de dTs"´ecrit

dPT=hIdT. Le coefficienths"exprime en V·K-1. Il est appel´e coefficient deThomsondu conducteur. Cet

effet d´epend du sens du passage du courant. On convient de compterh >0 si le passage d"un courant dans le

sens des temp´eratures croissantes s"accompagne d"une absorption d"´energie. C"est le cas du cuivre.

1. On n´eglige dans un premier temps l"effetThomsonpour se consacrer `a l"´etude de l"effetJoule. Une

barre conductrice en cuivre calorifug´ee de longueurL, de sectionS, de conductivit´e ´electriqueγet de

conductivit´e thermiqueλ, est parcourue par un courant d"intensit´eIuniform´ement r´eparti. Les temp´e-

ratures impos´ees aux extr´emit´es sontT1enx= 0 etT2enx=L. La masse volumique du cuivre estμ, sa

capacit´e thermique massique estc. La temp´eratureT(x,t) est identique en tout point d"abscissex. Quelle

est la puissanceJoulefournie `a la barre entre les sectionsxetx+ dx? R´ealiser un bilan ´energ´etique

pour une section comprise entrexetx+ dx. Trouver l"´equation diff´erentielle v´erifi´ee parT(x,t).

2. On consid`ere le r´egime permanentT(x). Montrer que l"´equation diff´erentielle v´erifi´ee parT(x) est :

d 2T dx2=-KI2. CalculerKpour la barre de cuivre avecλ= 400W·m-1·K-1,γ= 6×107S·m-1et S= 2mm2. D´eterminerT(x).`A quelle condition la fonctionT(x) passe-t-elle par un maximum entre x= 0 etx=L? On suppose queT2-T1= 100K. D´eterminer la valeur minimaleI1que doit poss´eder

l"intensit´eIpour qu"un maximum de temp´erature existe entre les extr´emit´esdu fil. La longueur est

L= 1m.

3. On prend en compte maintenant l"effetThomsonet on se place en r´egime permanent dans la situation

o`u le courantIet les temp´eraturesT1etT2satisfont les conditionsI < I1etT2> T1. Le courant

Icircule dans le sens des temp´eratures croissantes. Trouver l"´equation diff´erentielle `a laquelle ob´eit

la distribution de temp´eratureT(x). Pour quelle valeurI2de l"intensit´eIobtient-on un gradient de

temp´erature uniforme dT dx=T2-T1L= Cte? Pour le cuivreh= 2,2×10-6V·K-1. CalculerI2en utilisant les donn´ees pr´ec´edentes.

9.Am´elioration de la conductivit´e thermique d"un liquide

On rappelle l"expression, pour une grandeur scalaireF(r,θ,?) exprim´ee en coordonn´ees sph´eriques, du laplacien :

ΔF=1

r2∂∂r? r

2∂F∂r?

+1r2sinθ∂∂θ? sinθ∂F∂θ? +1r2sin2θ∂

2F∂?2

1. Un milieu conducteur thermique de conductivit´eλest ´etudi´e en r´egime permanent. On ´etudie un cylindre

de centreO, d"axeOz, de hauteurL, de surface de base circulaire de rayonL/2, enti`erement empli

de ce mat´eriau (cf. fig. 1 `a gauche); les surfaces de base du cylindre sont port´ees aux temp´eratures

T(z=-L/2) =T1etT(z= +L/2) =T2.

??z L L 2 ?z Figure1 - Am´elioration de la conductance thermique

D´eterminer dans ce milieu la temp´eratureT(z). Calculer en particulier le flux thermique Φ `a travers le

cylindre ´etudi´e. On n´egligera tout effet de bord.

2. Dans le milieu pr´ec´edent, on dispose dans le planz= 0 une sph`ere, de rayona?L, form´ee d"un mat´eriau

de conductivit´e thermiqueλ??λ, de sorte que sa temp´erature soit consid´er´ee comme uniforme´egale `aT

1+T2

2(cf. fig. 1 `a droite). On cherche alors la temp´erature dans le milieuenvironnant, en coordonn´ees

sph´eriques d"axeOz, sous la formeT(r,θ) =T1+T2

2+T2-T1Lcosθf(r).

(a) ´Etablir l"´equation diff´erentielle v´erifi´ee parf(r).

JR SeigneClemenceauNantes

Sciences Physiques MP* 2022-2023Exercices : 12 - Conduction - Convection - Rayonnement - 4

(b) R´esoudre cette ´equation; on pourra chercher des solutions de la formef(r) =Aru. Montrer que la

solution correspond `a une combinaison lin´eaire des deux formes trouv´ees. On prendra garde `a v´erifier

les conditions aux limites pourr=a?θet pourr=L

2enθ= 0 par exemple sans oublier quea?L.

(c) Exprimer le flux thermique conductif ?jcen tout point ext´erieur `a la sph`ere. (d) Calculer le flux thermique Φ ?`a travers le disque de rayonL/2, situ´e dans le planz= 0. Exprimer Φ? en fonction de Φ,aetL.

3. Un liquide homog`ene de conductivit´e thermiqueλcontient, `a raison denpar unit´e de volume, des

sph`eres de tr`es forte conductivit´e thermique et de rayona. En admettant que ces sph`eres soient bien

dispers´ees dans le milieu liquide, montrer que la conductivit´e thermique du milieu semble am´elior´ee par

l"introduction de ces sph`eres; calculer la conductivit´e thermique ´equivalenteλeen fonction deλ,neta.

10.An´emom`etre `a fil chaud

L"an´emom´etrie `a fil chaud est une technique exp´erimentale permettant de mesurer la vitesse d"un fluide. Son

principe est le suivant : on fait parcourir un courant ´electrique dans un fil ´electrique pour le maintenir chaud. Le

fluide qui s"´ecoule autour du fil a tendance `a le refroidir et donc `a faire chuter sa r´esistance´electrique. Une mesure

de cette derni`ere, apr`es calibration, permet de calculer la vitesse du fluide. Ici, on consid`ere un fil m´etallique

conducteur cylindrique de rayonR0= 10μm. Il est parcouru par une intensit´eI= 1A. La r´esistivit´e ´electrique

du m´etal estρe= 1,8×10-8Ω·m. Sa conductivit´e thermique estλ= 370W·m-1·K-1. Sa temp´erature en

p´eriph´erie estT0= 300K.

1. D´eterminer le profil de temp´erature `a l"int´erieur du fil.

2. O`u se trouve la temp´erature maximale dans le fil? D´eterminer num´eriquementTmax-T0. Conclure.

11.Exoplan`ete

Une exoplan`ete, de rayonR= 1000km, situ´ee loin de son ´etoile poss`ede une temp´erature desurfaceTs= 300K

bien sup´erieure `a ce qu"elle devrait ˆetre si elle ne faisait que recevoir le rayonnement de l"´etoile autour de

laquelle elle gravite. On propose d"expliquer sa temp´erature de surface en consid´erant que son coeur est une

boule radioactive de rayona= 10km d´egageant une puissance volumiquep0= 3×10-4W·m-3`a cause

de la d´esint´egration radioactive des noyaux qui la composent. Onconsid`ere que la plan`ete est un milieu de

conductivit´e thermique uniformeλ= 1W·m-1·K-1. On suppose que l"exoplan`ete est `a sym´etrie sph´erique et

que l"on est r´egime ind´ependant du temps. v´erifi´ee par la temp´eratureT(r).

2. En d´eduire la forme de la loiT(r).

3. On ´etudie maintenant la partie non radioactive de l"exoplan`ete. Quelle est l"´equation diff´erentielle v´erifi´ee

parT(r)? En d´eduire l"expression deT(r).

4. D´eterminer la valeur num´erique de la temp´erature au centre de l"exoplan`ete.

B. R´egime d´ependant du temps

12.Mise en ´equilibre thermique, analogie

On consid`ere la conduction thermique entre deux sph`eres de rayons respectifsR1etR2avecR1< R2. Entre

ces sph`eres l"espace est occup´e par un mat´eriau homog`ene etisotrope de conductivit´e thermiqueλsuppos´ee

constante. Les sph`eres sont port´ees respectivement aux temp´eraturesT1etT2< T1. Le r´egime est suppos´e

stationnaire.

1. Calculer en fonction deR1,R2etλla r´esistance thermiqueRthentre les deux sph`eres.

Les deux sph`eres ont une mˆeme capacit´e calorifiqueCet ont une grande conductivit´e thermique de sorte

qu"`a chaque instant on peut consid´erer les temp´eraturesT1etT2comme uniformes. On d´esignera parT01

etT02les temp´eratures initiales des sph`eres. On d´efinira une constante de tempsτqui fixe l"´evolution

des temp´eratures. On supposera que l"ensemble est isol´e thermiquement avec le milieu ext´erieur.

2. D´eterminer les ´equations qui d´eterminent les ´evolutions temporelles des temp´eraturesT1etT2.

3. Quelles analogies peut-on faire?

JR SeigneClemenceauNantes

5 - Exercices : 12 - Conduction - Convection - RayonnementSciences Physiques MP* 2022-2023

13.Estimation de l"ˆage de la Terre par Lord Kelvin

On n´eglige la sph´ericit´e et les sources radioactives de la plan`ete,mais on ne se place pas en r´egime permanent.

On admet que la temp´erature d´epend detet de la profondeurzcompt´ee positivement. Elle v´erifie l"´equation

de diffusion : ρc p∂T ∂t=λ∂2T∂z2

o`uρest la masse volumique,cpla capacit´e thermique massique `a pression constante etλla conductivit´e

thermique.

1. D´emontrer l"´equation diff´erentielle v´erifi´ee parq(puissance surfacique) :

∂q ∂t=D∂2q∂z2 dans la quelle on noteraDla diffusivit´e thermiqueD=λ/ρcp.

Au milieu duxixesi`ecle, Lord Kelvin a imagin´e que la Terre avait ´et´e form´ee `a une temp´erature ´elev´ee

T

1uniforme `a la datet= 0. Il a propos´e d"autre part qu"`a cette mˆeme date, sa surface avait ´et´e soumise

instantan´ement `a une temp´eratureTS. Depuis ce temps-l`a, la plan`ete se refroidirait. Lord Kelvin a

mod´elis´e le refroidissement pour en d´eduire l"ˆage de la Terre. La densit´e de flux thermique est donc une

fonction de la profondeur et du tempsq(z,t).

2. Dans l"hypoth`ese de Lord Kelvin, quelle doit ˆetre la valeur de la densit´e de flux thermique enz= 0

lorsquettend vers z´ero et lorsqu"il tend vers l"infini? Quelle doit ˆetre la valeur de la densit´e de flux

thermique `a une profondeurznon nulle lorsquettend vers z´ero et lorsqu"il tend vers l"infini?

3. V´erifier que la solution propos´ee par Lord Kelvin :

q(z,t) =-A ⎷Dtexp-z24Dt

o`utest le temps ´ecoul´e depuis la formation de la Terre est bien la bonne. Dessiner sch´ematiquement la

valeur absolue de la densit´e de flux thermique en fonction de la profondeur pour deux ´epoques diff´erentes.

4. Les param`etres du probl`eme sontT1-TS,λ,ρetcp. On suppose queAs"exprime par :

A=1 D´eterminer par analyse dimensionnelle, les valeurs des exposants de cette loi.

5. Exprimer la valeur du gradient thermique en surface de la Terre

∂T ∂z. Lord Kelvin a admis queT1-TS

´etait de l"ordre de 1000 `a 2000K et queDest proche de 10-6m2·s-1. Sachant que l"augmentation de

temp´erature mesur´ee dans les mines indiquait un gradient prochede 30K·km-1, quel ˆage de la Terre

Lord Kelvin a-t-il d´eduit de son mod`ele?

6. Que pensez-vous de l"estimation pr´ec´edente? Quel est le ou lesingr´edients que Lord Kelvin n"aurait pas

dˆu n´egliger?

14.R´egime transitoire et s´erie de Fourier

Un solide (C) la forme d"un cylindre droit `a base circulaire de hauteurL, de rayonRest constitu´e d"un mat´eriau

homog`ene et isotrope de masse volumiqueμ, de capacit´e thermique massiquecet de conductivit´e thermique

λsuppos´ees constantes.Td´esigne la temp´erature du cylindre. On appellexla direction parall`ele `a l"axe du

cylindre et on suppose queTne d´epend que dexet det. On place les deux faces extrˆemes de (C) (enx= 0 et

x=L) en contact avec deux sources de chaleur (S?) et (S??) de temp´erature respectivesT?etT??et on empˆeche

tout transfert thermique par la face lat´erale. On poseraa=λ

μc. Pourt <0 on aT?=T??=T1. At= 0 on

change les sources (S?) et (S??) et pourt >0 on aT?=T??=T0. 1. ´Etablir l"´equation de diffusion thermique dans le cylindre.

2. Donner en le justifiant la fonctionT(x,t) juste avantt= 0.

On s"int´eresse d´esormais `a la fonctionT(x,t) pourt >0 et on poseθ=T-T0.

3. Quelles sont les conditions aux limites pourθenx= 0 etx=L? Quelles sont les conditions initiales `a

t= 0 (en fonction dex)?

4. On chercheθ(x,t) sous la formeθ=f(t)g(x).

JR SeigneClemenceauNantes

Sciences Physiques MP* 2022-2023Exercices : 12 - Conduction - Convection - Rayonnement - 6

- Montrer queg(x) est solution de l"´equation diff´erentielled2gdx2=αgo`uaest une constante ind´etermin´ee

`a ce stade des calculs. -`A l"aide des conditions aux limites, montrer que-αest positive (on posera-α=k2) et ne peut prendre que certaines valeurs d´ependant d"un entiern. -`A quelle ´equation diff´erentielle ob´eitf(t)? - Montrer que la solution la plus g´en´erale que l"on peut obtenir par cette m´ethode est :

θ(x,t) =∞?

n=1B nexp-t

τnsinknx

en donnant les expressions deτnetknen fonction den,Leta. 5.

`A l"aide des conditions initiales montrer que le calcul des coefficientsBnse ram`ene au calcul des coef-

ficients de Fourier d"une fonctiong?(x) dont on pr´ecisera la parit´e et la p´eriode. CalculerBnet donner

l"expressionθ(x,t).

6. Calculer le rapportrnentre l"amplitude d"un terme quelconque du d´eveloppement deθet l"amplitude

du premier terme et montrer qu"`a partir d"un instantt1dont on donnera un ordre de grandeur on peut

garder uniquement le premier terme. Donner l"allure deθ(x,t) pourt?t1, pourt > t1puis pourt→ ∞.

`A partir de quel instantt2a-t-on : |T(x,t)-T0|

T0<10-2

Donn´ees num´eriques :L= 1m;R= 2cm;μ= 9000kg·m-3;c= 400J·kg-1·K-1;λ= 400W·m-1·K-1;

T

1= 370K etT0= 300K.

15.Refroidissement d"une plaque, un mod`ele inadapt´e

On sort d"un four une plaque parall´el´epip´edique d"´epaisseur 2a= 2cm et de grandes dimensions selonyetz. On

´etudiera un probl`eme strictement unidimensionnel sur l"axeOxd"origine le centre de la plaque. La plaque est

mise `a refroidir `a l"air de temp´eratureT0= 300K suppos´ee uniforme et constante. Lorsque la plaque sort du four,

elle est `a la temp´eratureTi= 500K. Le mat´eriau est homog`ene de masse volumiqueμ, de capacit´e thermique

massiquec, de conductivit´e thermiqueλ. Avec l"air, il se produit un ph´enom`ene de convection de chaque cˆot´e

de la plaque mod´elis´e par la loi deNewton:?jconv=h(T(x=a)-T0)?exet?jconv=-h(T(x=-a)-T0)?ex. 1. ´Etablir l"´equation de diffusion thermique de la temp´eratureT(x,t) dans la plaque.

2. On poseθ(x,t) =T(x,t)-T0et on recherche des solutions deθ(x,t) sous la formeθ(x,t) =f(x)g(t).

D´eterminer la forme g´en´erale deg(t) et def(x).

3. Montrer que la forme de l"´ecart de temp´erature par rapport`a l"air estθ(x,t) =θ0exp-k2Dtcoskxo`u

0est une constante tout commek.

4. En imposant les conditions aux limites, montrer quekprend des valeurs discr`etes et que le r´egime le plus

lent est celui pour lequel la valeur dekest la plus petite.

5. D´eterminer la valeur du temps caract´eristiqueτde refroidissement de la plaque lorsqu"elle est en cuivre,

puis lorsqu"elle est en bois. Qu"en pensez-vous?

6. Le mod`ele utilis´e n"est pas adapt´e. Pour quelle raison d"apr`es vous?

μen kg·m-3cen J·kg-1·K-1λen W·m-1·K-1

Cuivre9000 390 400

Bois

700 1500 0,1

C. Diffusion de mati`ere

16.Diffusion de neutrons dans une tige

On ´etudie la diffusion des neutrons dans un mat´eriau homog`ene qui v´erifie la loi deFick:

j=-D--→gradn o`u

?jest le vecteur densit´e de flux de neutrons en s-1·m-2,nle nombre de neutrons par unit´e de volume et

Dune constante positive. La diffusion se fait parall`element `a l"axeOx. Les grandeursnet?jne d´ependent que

dexet du tempst.

1. Indiquer les unit´es denet deD. Interpr´eter le signe-dans la loi deFick.

JR SeigneClemenceauNantes

7 - Exercices : 12 - Conduction - Convection - RayonnementSciences Physiques MP* 2022-2023

2. On suppose dans un premier temps que le mat´eriau est une tige desection constanteS, de longueurL,

dans laquelle il ne se produit aucune absorption ou cr´eation de neutrons. Faire un bilan des particules

entrexetx+ dxet ´etablir l"´equation diff´erentielle v´erifi´ee parn.

3. En r´egime permanent, en notantn0etnLles valeurs denenx= 0 etx=L, exprimernetjen fonction

dex.

On consid`ere maintenant que le mat´eriau qui constitue la tige peutabsorber des neutrons et en produire

par des r´eactions de fissions. Le nombreδ2Nade neutrons absorb´es dans un volume dVpendant un

intervalle de temps dtest donn´ee par :δ2Na=n τdVdto`uτest une constante positive. Le nombreδ2Np

de neutrons produits dans le mˆeme volume ´el´ementaire dVpendant dtest donn´e parδ2Np=kδ2Nao`u

kest une constante positive.

4. En faisant un bilan de particules dans un volume de sectionScompris entrexetx+dx, montrer quen

v´erifie l"´equation diff´erentielle suivante : ∂n ∂t=D∂2n∂x2+ (k-1)nτ

5. Quelle ´equation diff´erentielle v´erifie la densit´e de neutronsnen r´egime permanent? On suppose cette

condition r´ealis´ee dans toute la suite.

6. On suppose dans un premier temps qu"il ne se produit pas de r´eactions de fission dans le mat´eriau. De

plus, on suppose que la tige a une longueur suffisamment importante pour la consid´erer comme infinie.

Un flux de neutrons est impos´e enx= 0, de densit´e?j=j0?exavecj0>0.`A l"extr´emit´e de la tige,

on supposera que la densit´e de neutrons est nulle.´Etablir l"expression den. D´eterminer la distanceδ`a

partir de laquelle la densit´e de neutrons est ´egale `a 1% de sa valeurenx= 0.´Evaluer cette distance pour

de l"eau (⎷

Dτ= 3×10-2SI et du carbone (⎷Dτ= 0,8SI). Quel est le mat´eriau le plus efficace pour

absorber les neutrons?

7. On suppose maintenant que le mat´eriau produit des neutrons par fissions et que la quantit´e de neutrons

produits est sup´erieure `a celle des neutrons absorb´es. La tigea une longueur finieL. La densit´e de

neutrons est suppos´ee nulle aux deux extr´emit´es de la tige et uniquement en ces deux positions. On note

n

0la valeur maximale de la densit´e de neutrons `a l"int´erieur de la tige. Exprimernen fonction den0,k,

D,τetxet montrer que cette solution n"est envisageable que si la longueur de la tige prend une valeur

L

Cqu"on exprimera en fonction dek,Detτ.

D. Soleil - Terre

17.Bilan radiatif de la Terre

On donne :Rsoleil= 7×108m; distance moyenne Terre-Soleild= 1,5×1011m; rayon de la terreRT= 6400km

et temp´erature moyenne du sol :T0= 287K. La constante solaireE0est par d´efinition la puissance re¸cue du

soleil par unit´e de surface normale aux rayons solaires au sommet de l"atmosph`ere terrestre. On admet qu"on

peut assimiler l"´emission solaire `a celle d"un corps noir de temp´eratureTS.

1. CalculerE0en fonction ded,RS,TSetσ(constante de Stefan). Calculer ´egalement la puissance solaire

ure¸cue en moyenne par unit´e de surface de la sph`ere de rayonRT. On trouve exp´erimentalementE0=

1,35kW·m-2. En d´eduire une valeur num´erique deTS.

2. Le maximum de l"´emission solaire en fonction de la longueur d"onde est obtenu pourλmax= 0,474μm.

Cette valeur est-elle coh´erente avec la valeur deTSque l"on vient de calculer pour pouvoir assimiler

l"´emission `a celle du corps noir?

3. L"alb´edo d"une surface est le rapport du flux qu"elle diffuse sans l"absorber au flux qu"elle re¸coit. L"alb´edo

Ade l"ensemble Terre-Atmosph`ere pour le rayonnement solaire est ´evalu´e `a 0,34. On consid´erera que

l"atmosph`ere terrestre est pratiquement transparente au rayonnement solaire. Calculer le flux surfacique

moyen?edu rayonnement ´emis par le sol en supposant l"´equilibre radiatif ausol. On n´egligera dans

cette question toute absorption par l"atmosph`ere du rayonnement ´emis par le sol de mˆeme que tout

rayonnement propre de l"atmosph`ere. On exprimera?een fonction deu. On assimile le rayonnement du sol `a celui d"un corps noir de temp´eratureTP. CalculerTP. Comparer `aT0. Commenter.

4. On tient compte maintenant du rayonnement de l"atmosph`ere. On admet que seulement une fractionα

du rayonnementIR´emis par le sol (de temp´eratureT0) peut traverser la totalit´e de l"atmosph`ere. En

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