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Chapitre2

Elementspourcomprendreunenonce

ilfautsereporterauchapitresuivant. proposition.

Exemples-SoitfuneapplicationdeRdansR.

8"2R+;9N2N;8n2N;(n>N=)jun`j<"):

aiderayparvenir.

1.Propositions

Exemples-\2>1"estunepropositionvraie.

\1=2"estunepropositionfausse. vraieetlorsquenestegala7,elleestfausse. l'onconnaitcellesdePetQ.

Propositions

1.1.Negation

P(nonP)

VF FV valeursdeveritequelaproposition(n>2).

1.2.Conjonctionetdisjonction

Denition2.2{SoientPetQdeuxpropositions.

aumoinsdesdeuxpropositionsestfausse.

PQ(PetQ)(PouQ)

VVVV VFFV FVFV FFFF nestegala2,3ou6,(PouQ)estvraie. 4 {20{

ELEMENTSPOURCOMPRENDREUNENONCE

((x2>1etx<2)ou(x29etx<0)).

1.3.Implication

l'enonce\PimpliqueQ"ou\siP,alorsQ".

QestqueP".

4 ((nonP)ouQ).

Exercice-Prouvercetteproposition.

4". quelaproposition(1=0)estfausse. 4 sutdeprendrex=y=0pourobtenir(1=0=)2=3). equivalence((P=)Q)et(Q=)P)). ellessontvraiespourtouslesreelsx. 1 a2. 2 a2. 3 dierentde1. 4 {21{

Propositionsavecdesquantificateurs

1.4.Equivalence

sontequivalentes".

PQ(P=)Q)(Q=)P)(P()Q)

VVVVV VFFVF FVVFF FFVVV

0))estvraiequelquesoitx.

alaproposition(non(n2)). ((nonP)ouQ). 2 deEparl'unedespropositionssuivantes?

1)x2Retx=22N.

2)x2Ret2x2N.

3)x2Retx2estunentierpair.

2.Propositionsavecdesquanticateurs

suivantesprecisentceci. {22{

ELEMENTSPOURCOMPRENDREUNENONCE

x,ouxdesigneunelementdeE.

P(x)",ou\pourtoutxdeE,onaP(x)".

telqueP(x)". deEtelqueP(x)".

Exemples-(8x2R;x2>0)estvraie.

(8x2R;(x2=1=)x=1))estfausse. (9x2R;x3=2)estvraie. (9!x2R;x2=2)estfausse. ensembleE.Onaalors:

1)8x2E;(x2{EA()(non(x2A))

2)8x2E;(x2A\B()(x2Aetx2B))

3)8x2E;(x2A[B()(x2Aoux2B))

4)AB()8x2E;(x2A=)x2B)

5)A=B()8x2E;(x2A()x2B)

(8x2F;P(x)). (9x2F;P(x)). {23{

Negationd'uneproposition

(9n2N;f(n)>2). (8n2N;f(n)>2). 4 (9y2R;(8x2R;y=x2))estfausse. unelettrequin'apasdejaeteutilisee. \(un)n2Nestbornee". 2 suivante8A2R;9x2R;f(x)>A: 3 signe=).

3.Negationd'uneproposition

vraies:

1)(non(nonP))()P.

2)(non(PetQ))()((nonP)ou(nonQ)):

3)(non(PouQ))()((nonP)et(nonQ)):

4)(non(P=)Q))()(Pet(nonQ)):

5)(P=)Q)()((nonQ)=)(nonP)):

1)(non(8x2E;P(x)))()9x2E;(nonP(x))

2)(non(9x2E;P(x)))()8x2E;(nonP(x))

9l2R;8"2R+;9N2N;8n2N;(n>N=)junlj<"):

Lanegationdecettepropositionest:

8l2R;9"2R+;8N2N;9n2N;(n>Netjunlj>"):

{24{

ELEMENTSPOURCOMPRENDREUNENONCE

2)L'applicationfestmajoreesurI:

3)L'intervalleIestinclusdans]1;2[:

2 )Ecrirelanegationdelaproposition ((x2>1etx3<2)ou(x29etx<0)).

4.Quelquesconseilspratiques

cesens. (8x2N;(xestimpair=)x2estimpair)) (8x2N;((8y2N;x6=2y)=)(8z2N;x26=2z))):

Parexemple,sil'ondonnelesysteme(xy+2z=a

3x+5y+z=betsionposelaquestion\ce

3x+5y+z=bestvraie.Orontrouve

souvent\ilfautregardersi(xy+2z=a donnees?Quisontlesinconnues? (9x2R;(x2=y=)y<0))ou((9x2R;x2=y)=)y<0)? \f(x)0;9x2R",quineveutplusriendire. {25{

Quelquesconseilspratiques

EXERCICESD'APPLICATION

Exercicen1

1)Unesuitereelle(un)n2Napourlimite+1.

Exercicen2

1)0

2)xy=0

3)x2=1)x=1

Exercicen3

Exercicen4

8x2Z;8y2Z;9z2Z;9u2Z;9v2Z;(x=zuety=zv)

Exercicen5

Exercicen6

a)8x2E;9y2E;y2)M^emequestionsiE=Z.

Exercicen7

sont-ellesvraies?

1)8x2R;8y2R;P(x;y)

2)8x2R;9y2R;P(x;y)

3)9x2R;8y2R;P(x;y)

4)8y2R;9x2R;P(x;y)

5)9x2R;9y2R;P(x;y):

{26{

ELEMENTSPOURCOMPRENDREUNENONCE

INDICATIONSETSOLUTIONSSOMMAIRES

Exercicen1

1)8A>0;9n2N;8n2N;(n>N=)un>A)

2)(8x2E;x2F)=)(EF)

Exercicen2

1)x0oux>1

2)x6=0ety6=0

3)x2=1etx6=1

Exercicen4

commun(parexemple1).

Sanegationest

9x2Z;9y2Z;8z2Z;8u2Z;8v2Z;(x6=zuouy6=zv)

Exercicen5

1)Faux.Uncontre-exempleestdonnepar:

f(x)=0six<0etf(x)=1six>0 g(x)=0six>0etg(x)=1six<0

2)Vrai.

Exercicen6

1-a)Fauxb)Fauxc)Faux

2-a)Vraib)Fauxc)Vrai

Exercicen7

1)Faux:x=y=1

2)Faux:x=1

3)Faux

4)Vrai

5)Vrai:x=y=0

{27{quotesdbs_dbs18.pdfusesText_24