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1

Universite Paris-Dauphine

DUMI2E

Annee 2015-2016

ALGEBRE LINEAIRE 1

Denis Pasquignon

Ce polycopie reprend en grande partie celui ecrit par Yannick Viossat pour l'annee univer- sitaire 2010-2011 sur ce m^eme cours. 2

Table des matieres

1 Elements de logique

7

1.1 Les propositions

7

1.1.1 Equivalence logique

7

1.1.2 Negation

8

1.1.3 Sens de "et", "ou"

8

1.1.4 Implication

9

1.2 Les quanticateurs \pour tout" et \il existe"

10

1.2.1 Denitions

10

1.2.2 Enonces avec plusieurs quanticateurs

11

1.2.3 Negation

11

1.3 Quelques formes de raisonnement

12

1.3.1 Par contre-exemple

12

1.3.2 Par contraposee

12

1.3.3 Par l'absurde

12

1.3.4 Par recurrence

13

2 Calcul algebrique

15

2.1 Somme et produit

15

2.2 Formules a connaitre

18

3 Un peu de theorie des ensembles

19

3.1 Denitions

19

3.2 Union et intersection de deux ensembles

20

3.3 Dierence de deux parties, complementaire d'une partie

21

3.4 Produit cartesien

23

3.5 Union et intersection d'un nombre quelconque d'ensembles

24

3.6 Partitions d'un ensemble

25

3.6.1 Denition

25

3.6.2 Relations d'equivalence

25

4 Applications

27

4.1 Generalites

27

4.2 Antecedents, image directe, image reciproque

29

4.3 Applications injectives, surjectives, bijectives

31

4.4 Application reciproque d'une application bijective

32

4.5 Prolongements et restrictions

34
3

4TABLE DES MATIERES

5 Ensembles nis, ensembles denombrables

35

5.1 Ensembles nis

35

5.2 Ensembles denombrables

37

6 Les nombres complexes

41

6.1 Denitions elementaires

41

6.2 Conjugue d'un nombre complexe

44

6.3 Module d'un nombre complexe

45

6.4 Argument d'un nombre complexe

46

6.5 Racinesniemes d'un nombre complexe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

6.6 Equation du second degre dansCI. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51

6.7 Geometrie dans le plan complexe

52

7 Les nombres entiers et les nombres rationnels

53

7.1 Le principe de recurrence

53

7.2 La division euclidienne

55

7.3 Le ppcm d'une famille d'entiers

56

7.4 Le pgcd d'une famille d'entiers

57

7.5 Nombres premiers entre eux

60

7.6 Nombres premiers

63

7.7 Decomposition d'un entier en facteurs premiers

64

8 Les polyn^omes

67

8.1 Denitions et vocabulaire

67

8.2 Division euclidienne

69

8.3 Le ppcm d'un famille de polyn^omes

70

8.4 Le pgcd d'une famille de polyn^omes

71

8.5 Polyn^omes premiers entre eux

74

8.6 Polyn^omes premiers

77

8.7 Decomposition d'un polyn^ome en facteurs premiers

77

8.8 Racine d'un polyn^ome

78

8.9 Derivee d'un polyn^ome et formule de Taylor

81

8.10 Multiplicite d'une racine

83

8.11 Applications aux fractions rationnelles

84

9 Matrices87

9.1 Denitions et terminologie

87

9.1.1 Denitions et notations

87

9.1.2 Matrices particulieres

87

9.2 Operations sur les matrices

89

9.2.1 Egalite de deux matrices

89

9.2.2 Somme de deux matrices deMn;p. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .89

9.2.3 Multiplication d'une matrice deMn;ppar un scalaire. . . . . . . . . . . 90

9.2.4 Produit de deux matrices

91

9.2.5 Transposee d'une matrice

95

9.3 Les matrices carrees

96

9.3.1 Quelques matrices carrees particulieres

96

9.3.2 Operations dansMn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .97

9.3.3 Puissances d'une matrice carree

97

9.3.4 Matrices inversibles

99

TABLE DES MATI

ERES5

10 systemes lineaires

101

10.1 Denitions et ecriture matricielle

101

10.2 Systemes faciles a resoudre

102

10.2.1 Systemes triangulaires

102

10.2.2 Systemes echelonnes

103

10.3 Operations elementaires sur les lignes

104

10.3.1 Denition et propriete

104

10.3.2 Disposition pratique des calculs

105

10.4 Methode de Gauss

106

10.4.1 Expose de la methode

106

10.4.2 Reduite de Gauss d'une matrice A

107

10.4.3 Exemples

107

10.4.4 Choix des pivots

109

10.4.5 Cas general : resolution du systeme

111

10.4.6 Solutions d'un systeme lineaire quelconque

112

10.5 Matrices et systemes lineaires

113

10.5.1 Interpretation matricielle des operations elementaires

113

10.5.2 Calcul de l'inverse d'une matrice par la methode du pivot

115

6TABLE DES MATIERES

Notations

Dans toute le polycopie, nous utiliserons les notations suivantes : |INdesigne l'ensemble des entiers naturels,INl'ensemble des entiers naturels non nuls, |ZZdesigne l'ensemble des entiers relatifs,ZZl'ensemble des entiers relatifs non nuls, |Qdesigne l'ensemble des rationnels,Ql'ensemble des rationnels non nuls, |IRdesigne l'ensemble des reels,IRl'ensemble des reels non nuls, |CIdesigne l'ensemble des nombres complexes,CIl'ensemble des nombres complexes non nuls, |IR[X] designe l'ensemble des polyn^omes a coecients reels, |CI[X] designe l'ensemble des polyn^omes a coecients complexes. Si zest un nombre complexe,Re(z) designe sa partie reelle tandis queIm(z) designe sa partie imaginaire. Quelques lettres grecques frequemment utilisees en mathematiques :MinusculeMajuscule alphaA b^etaB gamma delta epsilonE zetaZ etaN theta kappaK lambda muM nuN xi pi rh^oR sigma tauT phi khiX psi omega!

Chapitre 1

Elements de logique

Le lecteur pourra consulter egalement le chapitre "S'exprimer en mathematiques" dans le cours d'Algebre 1ere annee de D. Liret et F. Martinais, chez Dunod.

1.1 Les propositions

Une proposition est unenonce mathematique complet qui est soit vrai soit faux. Par exemple, "2

310" est une proposition fausse; "Dans tout triangle rectangle, le carre de l'hypothenuse

est egal a la somme des carres des deux autres cites" est une proposition vraie. Un axiome est une proposition dont on admet qu'elle est vraie. Un theoreme est une proposition dont on demontre qu'elle est vraie, a l'aide des axiomes, des theoremes deja demontres, et des regles de logique que nous allons etudier. A partir de propositions existantes et d'expression comme "non", "et", "ou", "implique",..., on peut former de nouvelles propositions. Dans la suite, les lettres P, Q, R designent des propositions.

1.1.1 Equivalence logique

Denition 1.1.1Les propositions P et Q sont equivalentes si elles sont vraies simultanement et fausses simultanement et on note P,Q:

On dit quePest vraie si et seulement siQest vraie.On dit que deux propositions equivalentes sont deux propositions ayant les m^emes valeurs

de verite. Pour prouver que P et Q sont equivalentes, on construit un tableau appele table de verite dans lequel on fait appara^tre les dierentes valeurs de verite possibles pour le couple (P, Q) (Vrai et Vrai, Vrai et Faux, ...) et, en correspondance, les valeurs de verite de la proposition P,Q. Ainsi, la table de verite de l'equivalence logiqueP,Qest :PQP,QVVV VFF FVF FFV 7

8CHAPITRE 1. ELEMENTS DE LOGIQUE

La premiere ligne de ce tableau signie que si les propositions P et Q sont vraies, la pro- position P,Q est vraie. La deuxieme ligne signie que si P est vraie et Q fausse alors la proposition P,Q est fausse.

Exemple 1.1.2Pour tout reelx,

x

24, jxj 2, 2x2:

1.1.2 Negation

Denition 1.1.3La proposition "non P", appelee negation de P, veut dire : "P est fausse". La proposition "non P" est fausse si P est vraie, et vraie si P est fausse.

La table de verite de non P estPnon P

VF FV

Proposition 1.1.4Soit P une proposition, on a

P,non(nonP):preuve :Il est clair que P et non(non P) ont les m^emes valeurs de verite.Exemple 1.1.5Soitxun reel, la negation dex >3estx3.

1.1.3 Sens de "et", "ou"

Denition 1.1.6La proposition "P et Q" est vraie si et seulement si les propositions P et Q sont toutes les deux vraies. La proposition "P ou Q" est vraie si et seulement si au moins l'une des propositions P et Q est vraie. Les tables de verite de "et" et du "ou" :PQP et QP ou Q VVVV VFFV FVFV FFFF A noter : en mathematiques, \P ou Q" ne veut pas dire \soit P, soit Q" (comme dans \fro- mage ou dessert" ) mais \soit P, soit Q, soit les deux" . On dit que le \ou" est inclusif.

1.1. LES PROPOSITIONS9

On peut combiner plusieurs de ces expressions. Par exemple, la proposition "(non P) ou Q" veut dire : "non P est vraie ou Q est vraie", c'est a dire : "P est fausse ou Q est vraie". Elle est vraie dans les trois cas suivants : "P fausse, Q fausse", "P fausse, Q vraie" et "P vraie, Qquotesdbs_dbs10.pdfusesText_16