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11 oct 2010 · La première reçoit 240 € de moins que la se- conde et la part du troisième est égale aux trois quarts de la somme des parts des deux autres

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EXERCICES SUR LES EQUATIONS DU PREMIER DEGRE Exercice : Equations à résoudre : a) 12 + x = 5 – 13 x ; 7x – 8 = 3x +2 b) 5 – 12 x + 13,5 = –x + 12 + 

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2/ Tester une équation Avant d'aborder la méthode générale de résolution des équations du 1er degré, on peut toujours tenter de trouver une solution « au 

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Imagine une équation du premier degré à une inconnue ayant pour solution t = - 2 Page 2 2 II) Exercices et problèmes niveau 3 ème

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L'équation admet donc exactement deux solutions : ce sont 2 − et 12 − Page 2 b) ( )( ) 2 1 12 0 x x − − = Un produit de facteurs est nul si, et seulement si  

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Équations du premier degré Cycle 4 - Exercices Corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompris com Savoir si un nombre est solution d'une équation Dire si -2 

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Equations du premier degré et problèmes : cours en 3ème I Equation du premier degré à une inconnue Exemple : Résoudre l'équation 7x+2=4x+9

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Equations avec des nombres complexes

Equations du premier degré

De même qu'une équation du premier degré avec des réels, le principe consiste à isoler le z.

Exemple

Résoudre 3z - = 2 + 5 z.

Cette équation est équivalente aux lignes suivantes :

3z - 5 z = 2 + 2 i

iz222+=- iz--=1 Rappelons que deux nombres complexes sont égaux si leurs parties réelles et imaginaires sont respectivement égales

Exemple

Trouver z tel que iziz7238+=+

Commençons par trouver l'écriture algébrique du premier membre en posant z = x + i y )38(38)(3)(838xyiyxiyxiiyxziz+++=-++=+ .

Par identification, on a : 8x + 3 y = 2

Et : 3x + 8 y = 7

On résout, et on trouve : - 55 y = - 50 d'où : 11

10=y et x = 11

1-

Donc z = i11

10 11 1+-

Equations du second degré

On utilise la même méthode que pour les réels avec deux nuances :

Il n'y a pas d'étude de signe possible

Si le discriminant est négatif, il y a deux solutions complexes conjuguées. Pour résoudre ax² + bx + c = 0, on utilise acb4²-=D et z = a ib 2

D-±- si 0 Attention : on n'écrit pas 4- mais directement ii24=

Exemple

Résoudre 022²=+-zz .

D = - 4 donc iiz+=+=12

22

1 et iz-=12

Lorsque les coefficients de l'équation sont complexes et non réels, on procède de même mais

la difficulté réside dans la racine du discriminant. Soit, on " voit » la réponse immédiatement,

soit on procède par identification.

Exemple

Trouver le nombre complexe z tel que 2i = z².

Soit avec astuce, on remarque que 2i = 1 + 2i - 1 = 1 + 2i + i² = (1 + i) ²

Equations avec des nombres complexes

Soit on procède par identification : on pose z = x + i y. Alors : x² - y ² + 2ixy = 2i d'où par

identification partie réelle, partie imaginaire : x² - y² = 0 et 2 xy = 2. De plus, 22²==iz et ²²²yxz+= d'où x² + y² = 2. En résumé : x² - y² = 0 donc 2x² = 2 et x² = 1 x² + y² = 2 x = 1 ou x = - 1 xy = 1 et y = 1 ou y = - 1

Conclusion : z = 1 + i ou z = - 1 - i.

Equations de degré supérieur à 2

On se ramène au deuxième degré : soit par changement de variable, soit en faisant apparaître

une racine évidente ...

Parfois, la suite de l'exercice peut mettre sur la voie des racines évidentes, alors toujours bien

lire l'exercice en entier avant de commencer

Exemple 1

Résoudre : 04524=++zz . On pose Z = z et on obtient : Z² + 5Z + 4 = 0

9=D . Z = 4- et Z' = - 1. D'où z = 2i , z' = - 2i , z'' = i ou z''' = - i .

Donc les solutions sont : S = {}iiii2;;;2-- .

Exemple 2

Résoudre : 012²23=--+zzz

On remarque que z = 1 est solution de cette équation, on factorise donc par z - 1 : )13²)(1(12²23++-=--+zzzzzz

On résout z² + 3z + 1 = 0 : 5=D donc z = 2

53+- et z' = 2

53--

Les solutions sont donc : S =

îíì+---1;2

53;2
53

Exercices

Résoudre :

1) 0)(2=-+iziz

2) 0)32)(2(=+-+iziz

3) 094=-z

4) 043²=+-zz

5) 013=+z

6) 06²4=-+zz

7) 012²23=+++zzz

8) 025²64=++zz

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