La fonction g n'a donc pas de points critiques, et pas d'extrema locaux sur Dg Optimisation de g sous contrainte explicite Pour tout (x, y) ∈ Dg, la contrainte xy = 9
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La fonction g n'a donc pas de points critiques, et pas d'extrema locaux sur Dg Optimisation de g sous contrainte explicite Pour tout (x, y) ∈ Dg, la contrainte xy = 9
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Universit´e Paris-Dauphine L1 DEGEAD - Math´ematiques - Groupe 4 2017 - 2018
Exercices corrig´es
Merci de me signaler toute coquille pr´esente dans ce document :selim.cornet@dauphine.frFonctions d"une variable
Exercice 2.3
Soient les fonctionsf,g,hd´efinies de la mani`ere suivante : f(x) =?2-3x5-2x, g(x) =⎷2x-5 eth(x) = ln(4x-3)2 1.D ´eterminerleur domaine de d ´efinition.
2. D ´eterminerle domaine d ed ´efinitiondes fonctions marginales de f,g,het les calculer. 3.Donner un p ointx0appartenant aux trois domaines de d´efinition des fonctions marginales def,geth.
4. Calculer l" ´elasticit´edes fonctions f,g,hetfg/henx0. 5.On consid `ereque la fonction hrepr´esente le chiffre d"affaires d"une entreprise en fonction du temps de travailx≥1.
(a) Mon trerque le c hiffred"affaires est stricte mentcroissan tpar r apportau temps de tra vail. (b) Donner un d ´eveloppementli mit´e` al"ordre 2 de hau point 1. (c) En d ´eduirela p ositionde la tangen teau p ointd"abscisse x= 1.Corrig´e
1.La fonction ⎷·´etant d´efinie surR+, dressons un tableau de signe pour d´eterminer le domaine de d´efinition def.
x]- ∞,2/3][2/3,5/2[]5/2,+∞[2-3x+--5-2x++-
2-3x5-2x+-+
fest donc d´efinie sur ]- ∞,2/3]?]5/2,+∞[.gest d´efinie sur [5/2,+∞[. ln ´etant d´efinie surR?+, la fonctionhest
d´efinie sur ]3/4,+∞[. 2.La fonction
⎷·´etant d´erivable sur tout son domaine de d´efinition sauf en 0,fest d´erivable sur ]-∞,2/3[?]5/2,+∞[,
et alorsfm(x) =f?(x) =12 ?5-2x2-3x×-3(5-2x) + 2(2-3x)(5-2x)2=-112(2-3x)1/2(5-2x)3/2. De mˆeme,gest d´erivable sur ]5/2,+∞[ et alorsgm(x) =g?(x) =22 ⎷2x-5=1⎷2x-5.Enfin, ln ety?→y2´etant d´erivables sur tout leur domaine de d´efinition,hest d´erivable sur ]3/4,+∞[ et
h m(x) =h?(x) = 2ln(4x-3)×44x-3=8ln(4x-3)4x-3 3.L"in tersectiondes trois domaines de d ´efinitiondes fon ctionsmarginales est ]5 /2,+∞[. Ainsi,x0= 3 appartient aux
trois domaines de d´efinition. 4.On a, p ourtout x?]- ∞,2/3[?]5/2,+∞[,
e f(x) =xf?(x)f(x)=-11x2(2-3x)1/2(5-2x)3/2?5-2x2-3x=-11x2(2-3x)(5-2x).Pour toutx?]5/2,+∞[,eg(x) =xg?(x)g(x)=x2x-5. Pour toutx?]3/4,+∞[,eh(x) =xh?(x)h(x)=8x(4x-3)ln(4x-3).
Enfin, pour toutx?]5/2,+∞[,efg/h(x) =ef(x)+eg(x)-eh(x) =-11x2(2-3x)(5-2x)+x2x-5-8x(4x-3)ln(4x-3).
1 Universit´e Paris-Dauphine L1 DEGEAD - Math´ematiques - Groupe 4 2017 - 2018 5. (a) ´Etudions le signe dehm. Pourx >1, 4x-3>1 donc ln(4x-3)>0, et 4x-3>0, donchm(x)>0 pour x >1, ce qui prouve quehest strictement croissante sur [1,+∞[. (b)P ourtout x?]3/4,+∞[,h??(x) =8×44x-3(4x-3)-8ln(4x-3)×4(4x-3)2=32(1-ln(4x-3))(4x-3)2. D"o`u le d´eveloppement
limit´e `a l"ordre 2 en 1 : h(x) =h(1)+h?(1)(x-1)+h??(1)2 (x-1)2+(x-1)2ε(x-1) = 16(x-1)2+(x-1)2ε(x-1), avecε(x-1)-→x→10. (c) On calcule, au v oisinagede 1, h(x)-h(1)-h?(1)(x-1) = (x-1)2(16 +ε(x-1)). Or (x-1)2≥0 et16+ε(x-1)≥0 au voisinage de 1 puisque limx→1ε(x-1) = 0. Donc au voisinage de 1, la courbe repr´esentative
dehest au-dessus de la tangente en 1.Exercice 2.19
Soitf:x?→xex2+1/x.
1.Donner le domaine de d ´efinitionde f.
2. Donner le d ´eveloppementlimit ´ede fau pointx= 1 `a l"ordre 2. 3. En d ´eduirela p ositiond ela tangen tede fau voisinage du pointx= 1. 4.Mon trerque fest convexe sur [1,+∞[.
Corrig´e
1.L"exp onentielle´ etantd ´efiniesur R, la fonctionfest d´efinie en tout pointxtel quex2+ 1/xsoit d´efini, c"est-`a-dire
queDf=R?. 2.On calcule, p ourtout x?R?,f?(x) =ex2+1/x+x?
2x-1x 2? e x2+1/x=?2x2+ 1-1x
e x2+1/x, puis f ??(x) =?2x2+ 1-1x
2x-1x 2? e x2+1/x+? 4x+1x 2? e x2+1/x=?4x3-2 + 2x-1x
2-2 +1x
3+ 4x+1x
2? e x2+1/x4x3+ 6x-4 +1x
3? e x2+1/x. Il existe alors une fonctionεtelle qu"au voisinage de 1, f(x) =f(1)+f?(1)(x-1)+f??(1)2 (x-1)2+(x-1)2ε(x-1) =e2+e2(x-1)+72 e2(x-1)2+(x-1)2ε(x-1) avec lim x→1ε(x-1) = 0. 3.L" ´equationde la tangen te` ala courb erepr ´esentativede fen 1 esty=f(1) +f?(1)(x-1). On calcule alors
f(x)-f(1)-f?(1)(x-1) = (x-1)2?72 +ε(x-1)? . Or (x-1)2≥0 et72 +ε(x-1)≥0 au voisinage de 1 puisque limx→1ε(x-1) = 0. Ainsi, au voisinage de 1, on af(x)≥f(1) +f?(1)(x-1), et donc la courbe repr´esentative def
est au-dessus de la tangente en 1 au voisinage de 1. 4. On a, p ourtout x≥1,4x3-4≥0,6x≥0,1x