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Notes de cours - Statistique Descriptive

Licence Mathématiques et informatique appliquées aux sciences humaines et sociales

Université de Bordeaux

UE : Bases en statistiques - Première année Licence MIASHSRédaction: Brigitte Patouille et Jérôme Poix

Enseignants impliqués dans l"UE

Jérémie Bigot, Marie Chavent, Vincent Couallier, Brigitte Patouille

2016-2017

Table des matières

1 Les données5

2 Statistique descriptive à une variable 7

2.1 Distribution statistique associée à un échantillon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Fréquence, effectif cumulé et fréquence cumulée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3 Représentations graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3.1 Diagramme circulaire (camembert) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3.2 Diagramme des effectifs et des fréquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3.3 Diagrammes d"effectifs et de fréquences cumulés . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.4 Paramètres caractérisant une variable statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.4.1 Paramètres (ou indicateurs) de position (ou de centralité) . . . . . . . . . . . 14

2.4.2 Paramètres de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.4.3 Propriétés de la variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3 Statistique descriptive à deux variables 22

3.1 Distribution statistique d"un couple de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.2 Distributions conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2.1Yquantitative etXqualitative (ou quantitative) . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.2.2XetYqualitatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.2.3XetYquantitatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3 4

1 Les données

Lesdonnées statistiquesse présentent sous la forme d"individuspour lesquels sont mesurés un certain nombre decaractères(ou"variables statistiques"). L"ensemble des individus constitue unéchantillon(ou encore unesérie statistique), formant ainsi un sous-ensemble d"un groupe (beaucoup) plus grand appelé"population". Les caractères statistiques peuvent être de plusieurs natures :

Lesvariables qualitatives:

Exemples : nationalité d"une personne, profession. Les valeurs possibles d"une variable qualitative sont appelées lesmodalités; Exemples :"Français", "Britannique", "Professeur", "Médecin". Remarque :Certaines variables qualitatives peuvent parfois comporter un ordre "naturel" ;

Exemple : variable "activité sportive" avec les modalités "peu sportif", "assez sportif", "très sportif".

Lesvariables quantitatives(qu"on peut mesurer);

- Lesvariables quantitatives discrètes: variables prenant leurs valeurs dans un ensemble fini ou dénombrable (en généralN); Exemples : âge d"une personne (en années), nombre d"enfants dans une famille. Pour ces variables, les valeurs possibles sont également appeléesmodalités. - Lesvariables quantitatives continues: variables qui peuvent prendren"importe quelle valeurdans un intervalle deR, c"est à dire mesurées avec une très grande précision. Exemples : taille d"un individu (en mm), poids (en g), temps d"une réaction chimique (en micro- secondes).

En résumé :

Soit uncaractère statistiqueX.

Unéchantillon(ousérie statistique) pour ce caractère peut se représenter par la donnée d"une

suite de nombres : fx1;x2;:::;xng; où : -nest le nombre d"observations (ou encore lataille de l"échantillon) - et8i;1in,xireprésente la valeur du caractèreXpour l"individui. Les données présentées sous cette forme sont appelées lesdonnées brutes. On peut également les représenter sous la forme d"un tableau :IndividuX 1x 12x 2. ..nx nExemple de tableau de données à 4 individus et 3 variables : 5

SexeNombre de frères et soeursTaille(cm)

1M1143

2M2149

3F0144

4F2146

Pour un tableau de données ànindividus etkvariables, on peut étudier les données de plusieurs

façons :

-1 variable à la fois!statistique descriptive à 1 variable, étude d"un caractère statistique;

-2 variables à la fois!statistique descriptive à 2 variables, étudesimultanéede 2 carac- tères statistiques; -+ de 2 variables à la fois!statistique exploratoire, analyse des données (méthodes plus lourdes et plus complexes, calculs intensifs). 6

2 Statistique descriptive à une variable

2.1 Distribution statistique associée à un échantillon

Variables qualitatives ou quantitatives discrètes.

Définition 1 :Une distribution statistique d"un échantillon denobservations d"une variable qua-

litative ou quantitative discrèteX(ou bien d"un caractère qualitatif ou quantitatif discret) est

constituée par la donnée d"un regroupement f(a1;n1);(a2;n2);:::;(ap;np)g; où : - lesai,1ipreprésentent les modalités de la variable statistiqueX(classées le plus souvent en ordre croissant,a1< a2<< ap),pétant le nombre de modalités; - le nombreni,1ip, appeléeffectif de la modalitéreprésente le nombre d"individus pour lesquels la variableXa la modalitéai,1ip. -pX i=1n i=n On peut représenter une distribution statistique discrète par un tableau :X(modalités)a 1a 2:::a pEffectifn 1n 2:::n pExemple :

Données brutes Distribution statistique

(Données regroupéesou"triées à plat")iÂgexi120 218
318
419
517
618
722
818
920

1018ÂgeEffectif

Variables quantitatives continues : deux approches possibles.

Première approche :On peut considérer un échantillon d"un caractère continu comme celui d"un

caractère discret à valeur dans un sous-ensemble fini deR. !même définition de la distribution que dans le cas discret.X(modalités)a 1a 2:::a pEffectifn 1n 2:::n p7 On appellera cette distribution la"distribution empirique"du caractèreX.

Mais si l"hypothèse de continuité du caractère est pertinente, alorsp'n, et (presque) tous les

effectifsniseront égaux à 1. On se retrouve donc avec les données brutes dans ce cas.

!Les "modalités" sont les différentes valeurs prises par le caractère.Elles dépendent ici des

observations de l"échantillon. Remarque 1 :Cette définition de la distribution d"un caractère continu correspond seulement au

classement dans l"ordre croissant des données et au regroupement éventuel des quelques observations

qui pourraient être identiques.

Seconde approche :Pour obtenir une représentation synthétique des données, on a besoin d"ef-

fectuer unregroupement en classes.

Définition 2 :Une distribution statistique d"un échantillon denobservations d"une variable quan-

titative continue (ou d"un caractère quantitatif continu)Xregroupée en classesest constituée

par la donnée d"un regroupement f(C1;n1);(C2;n2);:::;(Cp;np)g; où : - lesCi,1ipsont des intervalles appelésclasseset formant une partition de l"ensemble des valeurs possibles pourX, c"est à dire C

1= [a0;a1[; C2= [a1;a2[;:::; Cp= [ap1;ap[;

ou bien C

1=]a0;a1]; C2=]a1;a2];:::; Cp=]ap1;ap];

aveca0< a1<< ap. - le nombreni,1ip, appeléeffectif de la classereprésente le nombre d"individus pour lesquels la valeur de la variableXest dans la classeCi,1ip.

On peut représenter une distribution statistique continue par un tableau :X(classes)]a0;a1]]a1;a2]:::]ap1;ap]Effectifn

1n 2:::n pRemarque 2 :On a bien sûr pour un échantillon de taillen, n

1+n2++np=n:

Remarque 3 :Quand on passe des données brutes à la distribution, il y a perte d"information,

surtout dans le cas des variables continues, puisqu"on ne connaît plus les valeurs effectivement prises

par la variable.

En résumé :

Echantillon

(données brutes)

Distribution

Regroupement Regroupement

en modalités en classes (qual. ou quant. discret) (quant. continu) 8

Exemples de distributions statistiques :

1. Groupe sanguin de 100 personnes (variable ..Groupe sanguinAOBAB

Effectif40331413

2. Nombre d"enfants dans 80 familles (

Nb d"enfantsEffectif

06 120
227
317
46
53
61

3. Taille (en cm) de 24 individus (

154117111821

156117411841

157117621851

160117711861

163117911881

167218021911

170118111941

4. Poids (en kg) de 92 personnes (

Avec Regroupement/Découpage de classes :

Remarque 4 :Dans le cas continu, la distribution statistique dépend du choix des classes, qui est arbitraire. En pratique, les classes seront choisies de manière "raisonnable" : en fonction du nombre d"observations. en fonction de l"amplitude de l"échantillon = +grande valeur - (+petite valeur). pas trop petites (sinon à la limiteni= 0ouni= 1,8i: ce n"est plus un regroupement en classes!) pas trop grandes (sinon à la limite il ne reste qu"une ou deux classes : plus aucune information sur les données).

On choisit souvent des classes de même amplitude, mais il est fréquent de regrouper des classes

d"effectifs trop faibles, et de couper des classes d"effectifs trop grands.

2.2 Fréquence, effectif cumulé et fréquence cumulée

Définition 3 :Soitn=n1++npl"effectif total d"un échantillon. On appellefréquencede la modalitéai(ou de la classeCi) le nombre f i=nin 9 f

iest la proportion des sujets de l"échantillon qui ont une modalité deXégale àai(ou qui sont

dans la classeCi). SiXest quantitative ou qualitative ordinale et que lesaisont classés par ordre croissantquotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

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Notes de cours - Statistique Descriptive

Université de Bordeaux

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2016-2017

Table des matières

1 Les données5

2 Statistique descriptive à une variable 7

2.1 Distribution statistique associée à un échantillon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Fréquence, effectif cumulé et fréquence cumulée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3 Représentations graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3.1 Diagramme circulaire (camembert) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3.2 Diagramme des effectifs et des fréquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3.3 Diagrammes d"effectifs et de fréquences cumulés . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.4 Paramètres caractérisant une variable statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.4.1 Paramètres (ou indicateurs) de position (ou de centralité) . . . . . . . . . . . 14

2.4.2 Paramètres de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.4.3 Propriétés de la variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3 Statistique descriptive à deux variables 22

3.1 Distribution statistique d"un couple de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.2 Distributions conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2.1Yquantitative etXqualitative (ou quantitative) . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.2.2XetYqualitatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.2.3XetYquantitatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1 Les données

Lesvariables qualitatives:

Lesvariables quantitatives(qu"on peut mesurer);

En résumé :

Soit uncaractère statistiqueX.

SexeNombre de frères et soeursTaille(cm)

1M1143

2M2149

3F0144

4F2146

2 Statistique descriptive à une variable

2.1 Distribution statistique associée à un échantillon

Données brutes Distribution statistique

1018ÂgeEffectif

1= [a0;a1[; C2= [a1;a2[;:::; Cp= [ap1;ap[;

1=]a0;a1]; C2=]a1;a2];:::; Cp=]ap1;ap];

1+n2++np=n:

En résumé :

Echantillon

Distribution

Regroupement Regroupement

Exemples de distributions statistiques :

1. Groupe sanguin de 100 personnes (variable ..Groupe sanguinAOBAB

Effectif40331413

2. Nombre d"enfants dans 80 familles (

Nb d"enfantsEffectif

3. Taille (en cm) de 24 individus (

154117111821

156117411841

157117621851

160117711861

163117911881

167218021911

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4. Poids (en kg) de 92 personnes (

Avec Regroupement/Découpage de classes :

2.2 Fréquence, effectif cumulé et fréquence cumulée