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lim f(x) = f(a) - On reconnaît graphiquement qu'une fonction est continue sur un intervalle I si elle peut être tracée sans lever le crayon

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f (x) − f (x0) x − x0 = ±∞, on dit que la courbe représentative de f admet une demi-tangente verticale en x0 3 Si f est continue en x0 et dérivable à gauche et à  

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Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I et soit x0 ∈ I • Si f est dérivable en x0, alors f′(x0) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe 

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Définition (Dérivabilité en un point ou sur une partie de , tangente) Soient f : D − → une fonction et a ∈ D • On dit que f est dérivable en a si la limite : lim x→a f 

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7 nov 2014 · Si f est dérivable sur un intervalle I alors la fonction f est continue sur I La réciproque de ce théorème est fausse Remarque : La réciproque de ce 

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En faisant tendre b vers a, la dérivabilité au point a entraîne que la droite limite sera d'équation y = f (a)(x − a) + f(a) Graphiquement, si la fonction est dérivable  

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I R f:IÑR aPI f a a I ε ]a´ε,a+ε[ĂI β ]a´β,a+β[ĂI ε1=(ε,β) ]a´ε1,a+ε1[ĂI @xP]a´ε,a[,f(x)´f(a) x´aě0 xÑaf1(a)ě0 @xP]a,a+ε[,f(x)´f(a) f1(a) = 0 a a f a a a,bPR aăb f: [a,b]ÑR f [a,b] ]a,b[ f(a) =f(b) cP]a,b[ f

1(c) = 0

M ā m f[a,b]

f cP[a,b] f(c) =M c‰ac‰b M‰f(a) cP]a,b[ f c f c f1(c) = 0 f(a) =f(b) a b [a,b] a b

Ĕ Ĕ ' ]a,b[

a b a,bPR aăb f: [a,b]ÑR [a,b] ]a,b[ cP]a,b[ f(b)´f(a) = (b´a)f1(c) a b c h(e) c c ĕ AB

φ ś fa b

h h: [a,b]ÝÑR xÞÝÑf(x)´φ(x) h [a,b] ]a,b[ fφ φ ā C 8 h(a) =h(b) (= 0) cP]a,b[ h1(c) = 0 @xP]a,b[,h1(x) =f1(x)´φ1(x) @xP[a,b],φ(x) =f(a) + (x´a)f(b)´f(a) b´a @xP]a,b[,h1(x) =f1(x)´f(b)´f(a) b´a

0 =h1(c) =f1(c)´f(b)´f(a)

b´a f(b)´f(a) = (b´a)f1(c) a,bPR a‰b [a,b

Ø][(a,b),(a,b)] Ę

f: [a,b

Ø]ÑR f [a,b

Ø] ]a,b

Ø[ cP]a,b

f(b)´f(a) = (b´a)f1(c)

Ŀ ĕ abŀ

f(b)´f(a) = (b´a)f1(a+θ(b´a)) a=b θP]0,1[ a‰b f [a,b

Ø] [a,b

Ø]ĂI

]a,b

Ø[]a,b

Ø[ f(b)´f(a) = (b´a)f1(c)

θ=c´a

b´aP]0,1[c´aăb´a

θP]0,1[ f(x) =f(0) +xf1(θx)

f: [a,b

Ø]ÑR [a,b

Ø] ]a,b

Ø[ kPR+ @xP]a,b

ĕ ab cP]a,b

Ø[ f(b)´f(a) =

f: [a,b]ÑR ɍaăb f [a,b] ]a,b[ mM ´f @xPIztau,f(x)´f(a) x´aě0 f f(x)´f(a)x´a ā f1(a)ě0 x1,x2PI x1ăx2

ĕ fx1x2 f

f(x2)ěf(x1) f Iðñ$ f1 ]α,β[ f ]α,β[ f x1,x2PIx1ăx2 f(x1) =f(x2) f f Iðñf1 I I f:xÞÑ1 x x a b f

1 ]a,b] f ]a,b] [a,b]

f:RÑR R ā C1 f x

´α0α

f(x) @R f(x) =$ %x

2(2 +1

|x|)x‰0 0 f R f 0 @x‰0,f(x)´f(0) x´0=xloomoon

Ñ0(2 +1

a |x|) looooooomooooooon f 0 f1(0) = 0 |x|P[1,3] |x|)ą0 f 0 f

1(x) = 2x(2 +1

x ) +x2( ´1 2 1 x x 1 x x(2? x(2 +1 x looooooooomooooooooon

Ñ0´

1 2 1 x loooomoooon

P[´1

2 ,1 2 f C1Rf1 ā 0

α 2?

x(2 +1 x ) 01 4 xP]0,α[ 1 2 1 x ´1 2 1 2 ]0,α[ɍαą0 f C1R f1(0)ą0 f1

I R aPI lP¯R

f I Iztau f1(x)ÝÝÝÑxÑax‰al f(x)´f(a) x´aÝÝÝÑxÑax‰al f1(x) lxÑa f af1(a) =l=xÑax‰af1(x) f1 a xPIztau

ĕ fax f

[a,x

Ø] ]a,x

Ø[ĂIztau cxP]a,x

Ø[ f(x)´f(a) = (x´a)f1(cx)

f1(u)ÝÝÝÑuÑau‰al f1(cx) =f(x)´f(a) x´a f(x)´f(a) x´aÝÝÝÑxÑax‰al f(x) =$ %x 21
x x‰0 0x= 0 x ´1 x f(x)´f(0) x´0=x1 x

ÝÝÝÑxÑ00 f 0f1(0) = 0

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