encore, bien évidemment, géométrie –, l'exponentielle se rencontre un désintégration de noyaux radioactifs et la mousse de bière illustrent toutes deux la loi exponentielle PaR Robin à-dire la pente de la fonction N – la vitesse à laquelle
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[PDF] Exponentielle, radioactivité et bière - Palais de la découverte
encore, bien évidemment, géométrie –, l'exponentielle se rencontre un désintégration de noyaux radioactifs et la mousse de bière illustrent toutes deux la loi exponentielle PaR Robin à-dire la pente de la fonction N – la vitesse à laquelle
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2 et 3 La fonction exponentielle Recherche d'une fonction f dérivable sur R, établir une relation entre le nombre de noyaux radioactifs d'un échantillon et la
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Certains noyaux sont instables et se désintègrent (radioactivité) La fonction exponentielle n'étant pas connue d'une partie des élèves, sa présentation n'est
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Le nombre de noyaux (ou d'atomes) d'une source radioactive diminue au cours du temps, tout noyau étant instable et susceptible de se désintégrer S'il est
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blir la loi de probabilité de la durée de vie d'un noyau radioactif est effectuée de la fonction exponentielle, de l'intégrale d'une fonction continue et de la loi
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Exercice 1 Loi de décroissance radioactive Le nombre de noyaux d'une source radioactive diminue au cours du temps, tout noyau étant instable et susceptible
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Mots-clés : Terminale S, radioactivité, variable aléatoire, loi binomiale laquelle sont introduites les notions de fonctions exponentielle et logarithme, la
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Lors de la correction du devoir on reprend les tracés avec un tableur et on fait varier le pas 3 Introduction de la fonction exp par la désintégration radioactive 4
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d'associer types de radioactivité et impact en termes de dégâts biologiques, On sait que si deux fonctions sont égales (ici, ce sont des fonctions qui dépendent du temps), alors décroissance exponentielle, similaire à la loi de décroissance
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Formes mathmatiques
Exponentielle,
radioactivité et bière32\ DCOUVERTE N¡ 391 \ MARS?AVRIL 2014
L a courbe ci-contre est ce que l"on appelle une exponentielle décroissante. L"exponentielle, crois- sante ou dcroissante, fait partie des courbes immanquables en mathmatiques. Ë l"instar de pi, que l"on retrouve dans des chapitres divers et varis - probabilits, nombres premiers ou encore, bien videmment, gomtrie -, l"exponentielle se rencontre un peu partout, et au-del des mathmatiques galement, de la modlisation de la radioactivit celle nation des mdicaments dans le sang. De nombreuses personnes, en dehors d"un cadre scienti?que, utilisent d"ailleurs l"expression Çcroissance exponentielleÈ - mme si ce n"est pas toujours propos - pour signi?erDÉSINTÉGRATION D"UN CORPS RADIOACTIF
Prenons l"exemple de la radioactivit a?n de com- prendre intuitivement ce qu"est une croissance (ou une dcroissance) exponentielle. Pour modliser le comportement d"un corps radioactif, adoptons le point de vue des physiciens : chacun des noyaux peut, chaque instant, se dsintgrer. Toutefois, contraire-Quel rapport y a-t-il entre
cette courbe, la radioactivit©R.Paillard.
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DCOUVERTE N¡ 391 \ MARS?AVRIL 2014\ 33
Mathématiques
spontanment l"esprit. Et pourtant, les mathmatiques permettent, une fois de plus,PAR ROBIN JAMET, MDIATEUR SCIENTIFIQUE DE L"UNIT DE MATHMATIQUES DU PALAIS DE LA DCOUVERTE
dsintgrer ne change pas au cours du temps. Autre- noyau qui ne s"est pas dsintgr jusqu"alors n"a pas plus de chances de se dsintgrer par la suite. On fait comme si l"on repartait zro chaque instant pour les noyaux restants. On parle gnralement de phno- qui se produisent tape par tape, d"vnements ind- pendants. Les exemples simples d"vnements ind- pendants sont nombreux, commencer par tous les jeux de hasard classiques ! Ainsi, dans le jeu du Çpile ou faceÈ, le rsultat obtenu lors d"un tirage n"in?uence absolument pas le rsultat ct pile n"aura pas plus de chances de tomber sur le cas du Çpile ou faceÈ permet donc d"apprhender d"une fameuse courbe qui dcrit la disparition de radioactivit monnaie. cartez toutes celles qui sont tombes du ct restantes et ritrez l"exprience. Ë nouveau, un certain ra"tre un Ç escalier È d"une forme qui avoisine celle de la courbe ci-contre. On peut raliser galement cette exp- rience avec des ds, en choisissant le nombre de faces qui Ç liminent È un d (?g.1).Bien entendu, plus on se munit d"un grand nombre
on se rapproche de la courbe dessine. Pourquoi une exponentielle? Une courbe exponentielle est dfinie par un nombre, a, et par la valeur prise par la fonc-07-MATH-391 3/26/2014 7:19 AM Page 33
Figure 1.Exprience propose au Technorama de Zurich, ralise avec des ds dont deux faces sur les six Ç liminent È le d.
On voit appara"tre ici un dbut d"escalier exponentiel. Cette manip est prsente galement par le Palais de la dcouverte
dans l"un de ses stands itinrants. Avec l"aimable autorisation du Swiss Science Center Technorama.34\ DCOUVERTE N¡ 391 \ MARS?AVRIL 2014
tion un instant donn tqui vaut a t . Or, si l"on chaque tape : la loi des grands nombres nous autorise affirmer qu" chaque tirage, approximati- bilit d"tre Ç limine È le sera effectivement. Dans le jeu du Çpile ou faceÈ, cela signifie qu" chaque mise de ct. Ainsi, chaque tape, une certaine pas (ce qui signifie qu"une proportion (1 - p) dispa- ra"t). Si l"on part d"une quantit Nde noyaux radio- 2 2N), doncp
3 sance, ce qui permet d"expliquer intuitivement loi exponentielle.DANS LE MONDE CONTINU
petits grains, mais ressemble plutt quelque chose de sera tel que la quantit qui dispara"t (ou appara"t) chaque instant est proportionnelle la quantit exis- tante. Cela signi?e que si l"on prend le cas d"une expo- nentielle croissante, non seulement la population cro"t, mais elle cro"t de plus en plus vite. Ë l"inverse, plus la07-MATH-391 3/26/2014 7:19 AM Page 34
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Mathématiques
quantit d"un lment prsente au dpart est faible et plus sa vitesse de disparition ralentit, sans jamais atteindre zro toutefois (une fraction d"une quantit non nulle n"est jamais nulle!). Ainsi, pour une expo- nentielle dcroissante, la diminution est de plus en plus Formul en termes mathmatiques, on peut dire que si N(t) reprsente la quantit (de noyaux ou autre) restante l"instant t, alors la dérivée de N(N"), c"est- -dire la pentede la fonction N- la vitesse laquelle la quantit volue - est proportionnelle Nelle- mme. Donc N"(t)=kN(t)(k: coefficient de propor- tionnalit). Or, toutes les personnes ayant dj ctoy l"exponentielle savent que sa drive est... l"expo- nentielle elle-mme : la pente de la courbe tout instant est gale sa propre valeur. Le fait de multi- plier par un quelconque coefficient ne change pas fondamentalement les choses. Encore un moyen d"tablir un lien entre la loi simple donne et la courbe exponentielle...DEMI-VIE ET LIMITES DE LA MODÉLISATION
Arnd Leike, un physicien allemand, a remport l"IgNobel* de physique en2002 pour avoir dmontr ment une loi exponentielle : la quantit de mousse disparaissant chaque instant ne dpend que de la quantit de mousse qui subsiste ce mme moment (fig.2). Amus par cette rcompense, dont il connaissait l"existence, Leike s"est rendu la remise des prix. Ë cette occasion, il a prcis cependant que ce bref passage de sa publication ne servait qu" plus Ç accessible È au grand public que la radio- activit, laisse entrevoir effectivement que cette loi peut se retrouver un peu partout, et pointe aussi certain laps de temps, la moiti de la mousse dispa- ra"t, ce que les physiciens nomment la demi-vie.Cela signifie donc qu"au bout du double de cette
dure, il reste un quart de la quantit de mousse initialement contenue dans le verre - puis un le monde sait que la moiti de la moiti de la moiti, etc., d"une quantit ne vaudra jamais zro. Il y aurait donc toujours de la mousse dans le verre mais il ne l"est bien sr que lorsque les quantits en jeu sont assez importantes (et lorsque l"on ne boit Par ailleurs, il est tonnant de constater que le est continu alors qu"il n"y a qu"un nombre fini de noyaux ne soit plus ÇgrandÈ. Les probabilits simples prennent ensuite le relai et garantissent que les noyaux radioactifs finiront par tous se dsin- tgrer (et leur nombre de valoir strictement zro), en R.J.Figure 2.L"auteur de cet article n"a pas hsit se sacri?er pour prendre des photographies de la mousse disparaissant
de mousse d"un clich l"autre, pris intervalles de temps rguliers.