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CHAPITRE 6
Fonctions homographiques
1. Fonctions homographiques
Définition. On appelle fonction homographique toute fonction du type fx axb cxd H H où a, b, c et d sont des constantes réelles vérifiant : ab cdÖ0 (6.1)
Remarques.
Ô=Si , alors a (sinon l'hypothèse (6.1) ne serait pas vérifée) et : cZ0 dÖ0 et Ö0 ()ab x dd +xfx=??o. f est donc une fonction affine non constante dans ce cas.Ô=L'hypothèse (6.1) assure que f ne soit pas une fonction constante. En effet, soit par exemple
fx x x 2 48JJ 1 . Alors le déterminant des coefficients est 21
48
0 J J
Zet on a :
1 2 211\constante 2212
x xfx x o.
Exemples de fonctions homographiques.
Ä= (fonction affine) fxx:~3J21abcdZZJZZ320,,,Ä=gx
x x J H41 abcdZJZZZ104,,,1Ä=hx x 3 5 abcdZZZZ305,,,0Ä=kx
x x 3 4 J H abcdZJZZZ131,,,4Nous écarterons dans la suite
le cas qui correspond aux fonctions affines : ces fonctions ontété étudiées au chapitre 4. La fonction homographique la plus simple (qui n'est pas affine) est :
cZ0 hx x 1 1 :~ avec abcdZZZZ101,,,0 La représentation graphique de est l'hyperbole d'équation h 1 y x Z 1La figure suivante montre la courbe représentative de , tracée dans un repère orthonormé h
1 Oij,, ch C h 1Définition. Une hyperbole est une courbe d'équation Définition. Une hyperbole est une courbe d'équation Y dans un repère
X Z 1 OIJ,, d bien choisi i du plan cartésien.2. Etude des fonctions hx
a x a :~ avec aÖ0 Ô=Au paragraphe précédent, on a représenté la fonction hx x 1 1 :~. Remarquons que cette fonction est strictement décroissante sur o et strictement décroissante sur . oÔ=La courbe représentative de hx
x J J 1 1 :~ s'obtient à partir de celle de par la symétrie orthogonale d'axe b. Voici la courbe représentative de : h 1 Oxgh J1 C h J1 6..22 Remarquons que la fonction est strictement croissante sur et strictement croissante sur .Généralisons :
Remarquons que la fonction est strictement croissante sur et strictement croissante sur .Généralisons :
h J1 h J1 o o o oProposition. Proposition.
Ô=Les courbes :
a h a y x =-` et : a h a y x =-` sont symétriques par rapport à bg. Ox Ô=Si alors est strictement décroissante sur et strictement décroissante suro. a[0h a o Ô=Si alors est strictement croissante sur o et strictement croissante sur . aY0h a oDémonstration. Les deux points Mx
a x ,bg et Mx a x ',Jbg g , appartenant respectivement à ` et sont symétriques par rapport à b puisque leurs ordonnées sont opposées. Donc a h a h Ox: a h a x y` et a a x h y =-` sont symétriques par rapport à bg. Ox Etudions maintenant le sens de variation de , . Remarquons que h est impaire : il suffit donc de calculer le taux de variation de sur o. h a aÖ0 a h a J J Z J J Z J J ZJ H xxTxx hxhx xx xx axx xxxx a xx ha aa a x a x R chbg bgbg bg bg >0 Ô=Si alors ce taux de variation est strictement négatif sur o. Donc est strictement décroissante sur et par symétrie, strictement décroissante sur dans ce cas. a[0 o h a o Ô=Si alors ce taux de variation est strictement positif sur . Donc est strictement croissante sur o et par symétrie, strictement croissante sur dans ce cas. aY0 oh a o Voici quelques courbes représentatives de fonctions : h a C C C h h h 2 1 1 2 C C C h h h J J J 2 1 1 2 6..33Remarquons que la courbe représentative de est bien une hyperbole suivant notre définition page 2.
En effet, on montre comme au chapitre précédent que C admet comme équation h a h a Y X Z 1 dans le repère Oiaj,, c . La petite démonstration de ce fait est laissée comme exercice au lecteur. h3. Etude de quelques fonctions homographiques plus compliquées
a) Etude de la fonction fx x 2 1 3 J H Ô=Tout d'abord : s'agit-il bien d'une fonction homographique ? Oui, car : ()22313 \13 11 xx xfx xx o 1 1x- 1 La définition s'applique avec et on vérifie que le déterminant des coefficients n'est pas nul ! abcdZZJZZJ311,,,Ô=Le domaine de f est évidemment {}\1o.
Ô=Pour représenter graphiquement f, on utilise la méthode du changement de repère, vue au
chapitre précédent :õ=Equation de
f ` dans Oij,, ch : y x y x Z JHøJZ
J 2 1 332 1