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FICHE METHODE sur les FONCTION INVERSE
a) Exemples : ?. On partage équitablement 1 million d "euros entre x personnes ! Combien chacun aura t-il en fonction de x ? f(x) = 1 x ?. Il doit parcourir 100 km ! Combien de temps mettra t-il s"il va à la vitesse de x km.h -1 ? f(x) = 100 x .?. Il y a une réserve de 100 litres d "eau, et actuellement 10 personnes, mais il arrive 2 personnes
par heure ! Quelle sera la part d "eau par personne dans t heures ? f(t) = 10010 + 2t
?. Un rectangle a une aire de 100m² et une longueur de x mètres Que vaut sa largeur en fonction de sa longueur ? : f(x) = 100 x ?. Il y a 8 filles et 2 garçons et il arrive un couple ( garçon, fille) par minute ! Quel sera le pourcentage de fille dans x minutes ? f(x) = 8 + x10 +2x
´ 100 = 100x + 800
2x +10 .
b) Remarques :Le monde est en perpétuelle évolution et les fonctions numériques servent à rendre compte de
ces évolutions. Les évolutions que l"on constate dans la réalité ne sont pas toutes de même nature
( la vitesse de croissance d"un arbre, la position d"une pierre en chute libre,...), à une certaine
" façon » d"évoluer correspond un certain type de fonction, de la même façon que les fonctions
affines ou carrées permettent de décrire une " sorte » d"évolution, certains phénomène peuvent-
être décrits grâce à la fonction inverse, fonction dont il faut connaître les propriétés principales !
Définition 1 : ( fonction inverse )
La fonction inverse associe à tous nombre réel non nul x ÎIR-{0}, l"inverse 1 x de ce nombreOn note f : ???
IR-{0}
¾¾® IR
x½¾¾® 1
x ou encore: f(x) = 1 x pour xÎ IR-{0} . 0 n"a pas d"inverse dans IRExemples : ? .L"inverse de 3 est : 1
3 » 0,33 à 10 -2 près ? .L"inverse de -2 est : 1 -2 = - 0,5. ?.L"inverse de 2 3 est : 3 2 = 1,5.I) A quoi sert la fonction INVERSE ?
II) Qu"est ce que la fonction inverse ?
x y -10-8-6-4-20246810 -10 -5 0 5 10La fonction inverse a des propriétés caractéristiques en rapport avec les phénomènes naturels
qu"elle permet de décrire. Définition 2 : GRAPHIQUE DE LA FONCTION INVERSE . La courbe représentative de la fonction inverse est une hyperbole d"équation y = 1 x . Voici un tableau de valeurs de la fonction inverse : On place dans un repère les points de coordonnées (x ; y = f(x) ) et on obtient le graphique partiel de la fonction inverse ci dessous. ( on joint les points par une courbe intuitive ) . Propriété 1 : IMPARITE DE LA FONCTION INVERSE La fonction inverse est telle que pour tout nombre réel x Î IR-{0} on a 1 -x = - 1 x( l"inverse de l"opposé d"un nombre non nul est égal a l"opposé de l"inverse de ce nombre )
On dit alors que la fonction carrée est " impaire ». Une conséquence est que la courbe de la fonction carrée est symétrique par rapport à O .Preuve : 1
-x = 1 -1´x = 1 -1 ´ 1 x = -1´1 x = - 1 xC.Q.F.D.
VALEURS de f(x) = 1
xVALEURS de x
III) Propriétés de la fonction inverse
x -100 -10 -8 -5 - 4 -2 -1 -0,5 -0,25 -0,125 - 0,1 0 1 x -0,01 -0,1 -0,125 -0,2 -0,25 -0,5 -1 -2 -4 -8 -10 x 0 0,1 0,125 0,25 0,5 1 2 4 5 8 10 100 1 x 10 8 4 2 1 0,5 0,25 0,2 0,125 0,1 0,01 " La courbe est une hyperbole ( en deux parties ) »Exemples : ? 1
-3 = - 1 3 ? 1 -10 = - 110 ? 1
-2 = - 12 .Propriété 2 :
SENS DE VARIATION DE LA FONCTION INVERSE .
Pour la fonction inverse, on a le tableau de variations suivant : Valeurs de x -¥¥¥¥ 0 + ¥¥¥¥Variations de
x ½¾¾® 1 x La fonction inverse est décroissante sur ]- ¥¥¥¥ ; 0 ]. ( plus un nombre négatif est grand et plus son inverse est petit ) La fonction carrée est décroissante sur [ 0 ; + ¥¥¥¥ [. ( plus un nombre positif est grand et plus son inverse est petit )Preuve :
Démontrons que : si a < b < 0 alors
1 a > 1 b ( ce qui montrera la décroissance sur ]-¥ ; 0 ] )Supposons que a < b < 0
l"inégalité 1 a > 1 b est équivalente à 1 a - 1 b > 0 mais aussi à b - a ab > 0 ( même dénominateur ) or b - a est positif car a < b et ab est positif car a et b sont négatifs, donc par quotient, b - a ab est positif donc b - a ab> 0 donc 1 a > 1 b finalement : si a < b < 0 alors 1 a > 1 b .On démontre la croissance sur [0 ; +
¥ [ de la même façon :
Supposons que a > b > 0
Donc b - a est négatif et ab est positif donc b - a ab > 0 donc 1 a > 1 b . finalement : si a > b > 0 alors 1 a > 1 b . C.Q.F.D Propriété 3 : INEGALITE ET FONCTION INVERSE .la propriété suivante sert à démontrer que certaines fonctions en rapport avec la fonction
inverse sont croissantes ou décroissantes. (démontrée ci dessus )Quels que soient les nombres réels a et b :
Pour a et b négatifs : si a < b alors 1
a > 1 bSi on prend les inverses des membres d"une inégalité entre des nombres négatifs stricts alors
on obtient une inégalité de sens inverse.