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Les fonctions Les fonctions linéaires et affines fonction, etc On représente La droite correspondant à une fonction linéaire passe forcément par l'origine

La représentation graphique d'une fonction linéaire est toujours une droite qui passe par l'origine des axes Le nombre correspond en fait à la pente de la droite a

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Soit ax xf → : , une fonction linéaire de coefficient a etC sa courbe représentative Si un point ( ) yxM; appartient à la courbeC , alors ax xfy =

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f (−5)=4 etc On appelle cette famille de fonctions des fonctions linéaires La représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite passant

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3 ∈ R ; π ∈ R ; 4, 56743 ∈ R etc Lorsque nous étudierons des fonctions, nous aurons à considérer des sont une généralisation des fonctions linéaires 2

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Les fonctions linéaires et affines apparaissent comme des exemples usages tels que les bases chimiques, les lubrifiants, le bitume, etc , ne sont pas

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28 mar 2007 · I : Fonction affine - fonction linéaire - fonction constante • • II : Déterminer une fonction linéaire à partir d'une image graphique est d1, etc ) 1

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La notion de fonction linéaire clôt le cycle de travail sur la proportionnalité en formalisant changements de cadre : tableau/graphique, formule/graphique, etc

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Les fonctionsLes fonctionsLes fonctionsLes fonctions linéaires et affineslinéaires et affineslinéaires et affineslinéaires et affines

Une fonction numérique f est une relation entre deux ensembles de nombres E et F. Cette relation

associe à chaque élément de E un élément de F. On note une fonction de la manière suivante :

f : E → F → f() f est la fonctionfonctionfonctionfonction. f() est l'imagel'imagel'imagel'image de .

Si f() = b, alors est l'antécédentl'antécédentl'antécédentl'antécédent de b.

ExExExEx : l'aire du cercle peut être représentée par une fonction. f : R +→ R+ (ensemble des rationnels positifs) Donc : f(3) = 9. 9 est l'image de 3.3 est l'antécédent de 9.

1) Représentation graphique1) Représentation graphique1) Représentation graphique1) Représentation graphique

La représentation graphique d'une fonction sert à lire l'image ou l'antécédent d'un nombre, à connaître la plus petite valeur prise par la fonction, etc. On représente une fonction sur un axe composé d'une abscisse (horizontale) nommée x et d'une ordonnée (verticale) nommée y.

Le croisement des deux axes est l'origine

origineorigineorigine et correspond au point (0 ; 0). Si la droite " monte » quand on la regarde de gauche à droite, on dit que la fonction est croissante croissantecroissantecroissante.

Si elle " descend », on dit qu'elle est décroissantedécroissantedécroissantedécroissante.

2222) ) ) ) Fonction linéaireFonction linéaireFonction linéaireFonction linéaire

Une fonction linéaire peut être décrite par : f : R → R

La droite correspondant à une fonction linéaire passe forcément par l'originepasse forcément par l'originepasse forcément par l'originepasse forcément par l'origine (0 ; 0).

ety sont l'abscisse et l'ordonnée. Ils sont reliés par la relation yyyy = a= a= a= a. C'est l'équation de la droitel'équation de la droitel'équation de la droitel'équation de la droite.

a est le coefficient directeurcoefficient directeurcoefficient directeurcoefficient directeur de la droite.

a caractérise " la pente » de la droite, c'est-à-dire son inclinaison par rapport à l'axe des abscisses. Si a

est supérieur à 0, la fonction linéaire est croissante. Si a est inférieur à 0, elle est décroissante.

ExExExEx :::: ici, l'équation de la droite est y = 2.On remarque que quand = 1, y = 2. 0 x y (f)

0 1 2 3 x

y (f) 3 2 1

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3333) ) ) ) Fonction affineFonction affineFonction affineFonction affine

Une fonction affine peut être décrite par :

f : R → R

La droite correspondant à une fonction affinene passe pas parne passe pas parne passe pas parne passe pas par l'originel'originel'originel'origine.

ety sont reliés par la relation yyyy = a= a= a= a + . C'est l'équation de la droitel'équation de la droitel'équation de la droitel'équation de la droite.

a est le coefficient directeurcoefficient directeurcoefficient directeurcoefficient directeur de la droite.

b est l'ordonnée à l'originel'ordonnée à l'originel'ordonnée à l'originel'ordonnée à l'origine. Il est l'image du nombre 0, donc on a f(0) = b.

ExExExEx : ici, l'équation de la droite est y = 2 - 3.

Ainsi, quand = 4, y = 2 x 4 - 3 = 8 - 3 = 5.

- 3 est l'ordonnée à l'origine l'ordonnée à l'originel'ordonnée à l'originel'ordonnée à l'origine. 0 x y (f)

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MéthodeMéthodeMéthodeMéthode

1) 1) 1) 1) Trouver l'équation d'une droite passant par deux points donnésTrouver l'équation d'une droite passant par deux points donnésTrouver l'équation d'une droite passant par deux points donnésTrouver l'équation d'une droite passant par deux points donnés

• L'équation d'une droite est du type : y = a + .

• Écrire deux équations d'inconnues a et b en remplaçant et y par les coordonnées des deux points.

• Résoudre les deux équations à deux inconnues. • Écrire l'équation de la droite en remplaçant a et b par les valeurs trouvées. ExExExEx : Trouver l'équation de la droite passant par les points (8 ; 1) et (10 ; 2,5).

L'équation est du type : y = a + .

Avec (8 ; 1), on a : 1 = 8a +.

Avec (10 ; 2,5), on a : 2,5 = 10a+.

On résout les deux équations en les soustrayant membre à membre. On obtient :

1,5 = 2a donc a = 0,75

On reporte la valeur de a dans la première équation :

1 = 8 x 0,75 + b

1 = 6 + b

b = - 5

L'équation de la droite est donc

L'équation de la droite est doncL'équation de la droite est doncL'équation de la droite est donc : : : : yyyy = 0,75= 0,75= 0,75= 0,75 ---- 5555

La droite est associée à la fonction affine : f : R → R → 0,75 - 5

2) Calculer le 2) Calculer le 2) Calculer le 2) Calculer le coefficient directeur d'une droitecoefficient directeur d'une droitecoefficient directeur d'une droitecoefficient directeur d'une droite

• L'équation d'une droite est du type : y = a + • Les coordonnées de deux points sur la droite sont notés (;)et(′;′). • Pour calculer le coefficient directeur d'une droite, on applique la formule suivante :

3) Calculer l'ordonnée à l'origine d'une droite

3) Calculer l'ordonnée à l'origine d'une droite3) Calculer l'ordonnée à l'origine d'une droite3) Calculer l'ordonnée à l'origine d'une droite

• L'équation d'une droite est du type : y = a +

• On détermine l'ordonnée à l'origine en utilisant les coordonnées d'un des points de la droite qui,

forcément, vérifient l'équation y = a + dans laquelle on connaît ,et. Si y = a + , on en déduit donc que

4) Déterminer l'équation d'une droite parallèle à une droite 4) Déterminer l'équation d'une droite parallèle à une droite 4) Déterminer l'équation d'une droite parallèle à une droite 4) Déterminer l'équation d'une droite parallèle à une droite yyyy = a= a= a= a +

• Les deux droites sont parallèles, donc elles ont le même coefficient directeur a.

• On détermine l'ordonnée à l'origine b en utilisant les coordonnées d'un point C (C ; yC).

ExExExEx : Déterminer l'équation de la droite (d) parallèle à (d') passant par C. L'équation de (d') est y = 5 + 1. Le point C a pour coordonnées (2 ; 1). (d) est parallèle à (d'). On en déduit donc que la droite (d) a pour équation y = 5 + .

Le point C (2 ; 1) appartient à (d).

On en déduit : 1 = 5 × 2 + = 10 + . Donc = 1 - 10 =-9.

L'équation de la droite (d) est

L'équation de la droite (d) estL'équation de la droite (d) estL'équation de la droite (d) est : : : : yyyy = 5= 5= 5= 5 -

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1) Représentation graphique1) Représentation graphique1) Représentation graphique1) Représentation graphique

Le croisement des deux axes est l'origine

2222) ) ) ) Fonction linéaireFonction linéaireFonction linéaireFonction linéaire

0 1 2 3 x

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3333) ) ) ) Fonction affineFonction affineFonction affineFonction affine

Une fonction affine peut être décrite par :

Ainsi, quand = 4, y = 2 x 4 - 3 = 8 - 3 = 5.

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MéthodeMéthodeMéthodeMéthode

1) 1) 1) 1) Trouver l'équation d'une droite passant par deux points donnésTrouver l'équation d'une droite passant par deux points donnésTrouver l'équation d'une droite passant par deux points donnésTrouver l'équation d'une droite passant par deux points donnés

L'équation est du type : y = a + .

Avec (8 ; 1), on a : 1 = 8a +.

Avec (10 ; 2,5), on a : 2,5 = 10a+.

1,5 = 2a donc a = 0,75

1 = 8 x 0,75 + b

1 = 6 + b

L'équation de la droite est donc

2) Calculer le 2) Calculer le 2) Calculer le 2) Calculer le coefficient directeur d'une droitecoefficient directeur d'une droitecoefficient directeur d'une droitecoefficient directeur d'une droite

3) Calculer l'ordonnée à l'origine d'une droite

3) Calculer l'ordonnée à l'origine d'une droite3) Calculer l'ordonnée à l'origine d'une droite3) Calculer l'ordonnée à l'origine d'une droite

4) Déterminer l'équation d'une droite parallèle à une droite 4) Déterminer l'équation d'une droite parallèle à une droite 4) Déterminer l'équation d'une droite parallèle à une droite 4) Déterminer l'équation d'une droite parallèle à une droite yyyy = a= a= a= a +

Le point C (2 ; 1) appartient à (d).

L'équation de la droite (d) est