Dans un repère orthogonal, la courbe représentative d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées Dans un repère quelconque, la courbe représentative d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine du repère
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1 Les fonctions paires et impaires: Définition: Une fonction f est dite paire si elle vérifie les 2 conditions suivantes: • son ensemble de définition est symétrique par
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Une fonction est paire si f(-x) = f(x) pour toutes les valeurs de x de son domaine Exemple 1: Détermine si les fonctions suivantes sont paire, impaire ou ni
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Cours S2 : Parité d"une fonction Page 1 sur 2
Seconde - Lycée Desfontaines - Melle
Cours S1 - Parité d"une fonction
Pour étudier les variations d'une fonction, il peut être utile (voire indispensable) de démontrer que la fonction possède
certaines particularités et ceci afin de réduire l'intervalle sur lequel on doit étudier cette fonction.
I. Ensemble centré en 0.
Définition :
On dit qu'un ensemble de réels E est centré en zéro lorsque l'opposé de tout réel de E appartient aussi à E
càd si ┐x☻E, -x☻E.Exemples :
[-2;2].............................................car...........................................................................
]-õ;-1]∟[1;+õ[..........................................car..............................................................
IR\{-2}.....................................................car...................................................................
Exercice : Parmi les ensembles de réels suivants, entourer ceux qui sont centrés en 0 : IR ; ]-1;1[ ; ]-1;1] ; ]-1 ;3[ ; IR + ; ]-õ;2[∟]2;+õ[ ; IR \ { }-2;2 ; ]-2;0[∟]0;2[ ; ]-1;0[∟]0;1]II. Fonctions paires, fonctions impaires
Fonction paire Fonction impaire :
Définition :
Exemple :
Montrer que la fonction définie sur IR par f(x)=x4 est paire.
(i) IR est centré en zéro (ii) ┐x☻IR, f(-x)=(-x)4=x4=f(x)
Ainsi f est paire.
Exemple :
Montrer que la fonction définie sur IR par f(x)=x 3 est impaire. (i) IR est centré en zéro (ii) ┐x☻IR, f(-x)=(-x)3= (-x)×(-x)×(-x)=-x3=-f(x)
Ainsi f est impaire.
Représentation
graphique :Exemple : x→x
4Exemple : x→x
32-1-22
34560 1
1 xy2-1-22
3 -1 -2 -3 -40 1 1 xyUne fonction f , définie sur un ensemble Df
est paire lorsque : (i) D f est centré en zéro. (ii) ┐x☻D f, f(-x)=f(x).Une fonction f, définie sur un ensemble Df
est impaire lorsque : (i) D f est centré en zéro. (ii) ┐x☻D f, f(-x)=-f(x)Dans un repère orthogonal, la courbe
représentative d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.Dans un repère quelconque, la courbe
représentative d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine du repère.Cours S2 : Parité d"une fonction Page 2 sur 2
Remarques :
- Etudier la parité d'une fonction revient à déterminer si elle est paire, impaire ou ni paire, ni impaire.
- La fonction nulle est la seule fonction qui soit à la fois paire et impaire. - Pour montrer qu'une fonction définie sur Df n'est pas paire, il suffit : Soit de montrer que son ensemble de définition D f n'est pas centré en zéro ; Soit de montrer qu'il existe un réel a de Df tel que f(-a)Þf(a). - Pour montrer qu'une fonction définie sur D f n'est pas impaire, il suffit de : Soit de montrer que son ensemble de définition D f n'est pas centré en zéro ; Soit de montrer qu'il existe un réel a de Df tel que f(-a)Þ-f(a).