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COURS SECONDE LES FONCTIONS DE REFERENCES
1. La fonction carrée
Définition: La fonction carrée est la fonction f définie sur ? par f(x) = x2 . A tout nombre réel, elle associe son carré.
Variations: Soient a et b deux réels positifs tels que 0 ? a < b ; alors a2 - b2 = (a - b)(a + b) . On sait que a - b < 0 et
a + b > 0, donc le produit a2 - b2 < 0, et ainsi a2 < b2 . L'ordre est conservé, donc la fonction carrée est croissante sur [0; +? [.Soient a et b deux réels négatifs tels que a < b ??0; alors a2 - b2 = (a - b)(a + b) . On sait que a - b < 0 et
a + b < 0, donc le produit a2 - b2 > 0, et ainsi a2 > b2 . L'ordre est inversé, donc la fonction carrée est décroissante sur ] - ? ; 0].Tableau de variations:
x- ? 0 +? x 2+?+? 0 Représentation graphique de la fonction carrée: Cette courbe est une parabole. Elle admet l'axe des ordonnées comme axe de symétrie.Cette fonction est paire.
Voir le cours sur la parité :
http://dominique.frin.free.fr/premiere/crs1S_parite.pdf .2. La fonction inverse
Définition: La fonction inverse est la fonction f définie sur ?\{0} = ?* par f(x) = 1 x . A tout nombre réel non nul, elle associe son inverse. Variations: Soient a et b deux réels strictement positifs tels que 0 ? a < b ; alors 1 a - 1 b = b?a ab .On sait que b - a > 0 et ab > 0, donc le quotient
b?a ab > 0, et ainsi 1 a > 1 b. L'ordre est inversé, donc la fonction inverse est décroissante sur ]0; +? [.Soient a et b deux réels strictement négatifs tels que a < b 0 et ab > 0, et le quotient
b?a ab > 0, ainsi 1 a > 1 b. L'ordre est inversé, donc la fonction inverse est décroissante sur ] - ? ; 0[.Tableau de variations:
x- ? 0 +? 1 x 0 0 Représentation graphique de la fonction inverse: Cette courbe est une hyperbole. Elle admet l'origine comme centre de symétrie.Cette fonction est impaire.
Voir le cours sur la parité :
http://dominique.frin.free.fr/premiere/crs1S_parite.pdf .3. Les fonctions affines
Définition: Une fonction affine est une fonction f définie sur ? par f(x) = ax + b où a ? 0.
Variations: Les variations de la fonction affine sont données par le nombre a : Si a > 0, alors la fonction est strictement croissante.Si a = 0, alors la fonction est constante.
Si a < 0, alors la fonction est strictement décroissante.La représentation graphique d'une fonction affine est une droite d'équation y = ax + b. Le nombre a est appelé le
coefficient directeur de la droite et b est appelé l'ordonnée à l'origine.Voir le cours complet sur les fonctions affines : http://dominique.frin.free.fr/seconde/cours2_fctaffine.pdf .
4. D'autres fonctions de références:
a) La fonction racine carrée: est la fonction f définie sur [0; +? [ par f(x) = ?x. Cette fonction est strictement croissante sur [0; +? [ : Soient a et b deux réels positifs tels que 0 ? a < b ; alors ?a - ?b = a?b ?a??b en utilisant l'identité remarquableA² - B² = (A + B)(A - B).
On sait que a - b < 0 et
?a + ?b > 0, donc le quotient a?b ?a??b < 0, et ainsi ?a < ?b. L'ordre est conservé, donc la fonction racine carrée est croissante sur [0; +? [. Représentation graphique: c'est une demie parabole. b) La fonction valeur absolue : est la fonction f définie sur ? par f(x) = |x|.Cette fonction est strictement croissante sur [0; +? [ et strictement décroissante sur ] - ? ; 0] :
Soient a et b deux réels positifs tels que 0 ? a < b ; alors |a| - |b| = a - b < 0, donc |a| < |b|
L'ordre est conservé, donc la fonction valeur absolue est croissante sur [0; +? [. Soient a et b deux réels négatifs tels que a < b ??0; alors |a| - |b| = - a - (- b) = b - a > 0, donc |a| > |b| . L'ordre est inversé, donc la fonction valeur absolue est décroissante sur ] - ? ; 0[.