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Fonctions sinus et cosinus Les points M et M' sont symétriques par rapport à l' axe des ordonnées cos(π−x)=−cosx et sin(π−x)=−sin x c) Angles dont la

La fonction sinus est dérivable sur [0,π] et pour tout réel x de [0,π], sin′(x) = cos( x) La fonction cosinus est strictement positive sur 0, π 2 , strictement négative

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26 jui 2013 · Les courbes représentatives des fonctions sinus et cosinus sont des sinusoïdes • De la relation cos x = sin (x + 7 2 ) , on déduit la sinusoïde de

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17 nov 2017 · 2 − x) = cos x et cos (7 2 − x) = sin x Les fonctions sinus et cosinus Intervalle d' étude sin et cos sont 27-périodique et respectivement impaire

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Chapitre 7 : Fonctions cosinus et sinus Dans ce chapitre, nous faisons un complément des connaissances sur les fonctions I Définitions et dérivabilité

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Les fonctions cos et sin sont de classe C∞ et 2π-périodiques de R dans [−1, 1] La fonction tan est de classe C∞ et π-périodique de R \ {π 2+ kπ, k ∈ Z}

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Lemme 1 La fonction cosinus est paire, la fonction sinus est impaire Toutes deux sont indéfiniment dérivables et on a : cos = −sin, sin = −cos, cos2 + sin2 = 1

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Chapitre : FONCTIONS SINUS ET COSINUS 1 ACTIVITES P 140 1 Rappels 1 1 Mesure principale définition : On appelle mesure principale d'un angle , la

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Fonctions sinus et cosinus Les points M et M' sont symétriques par rapport à l' axe des ordonnées cos(π−x)=−cosx et sin(π−x)=−sin x c) Angles dont la

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Le cosinus de x, noté cos x, est l'abscisse de M Le sinus de x, noté sin x, est l' ordonnée de M La tangente de x , noté tan x , est donné par l'abscisse de T sur

Fonctions sinus et cosinus.

1. Rappels de trigonométrie................................P2

2. Variations et représentations graphiques des

fonctions sinus et cosinus....................................p8

3. Compléments...................................................p10

Fonctions sinus et cosinus.

1. Rappels de trigonométrie

1.1. Définitions

c est un cercle trigonométrique. ⃗OI=⃗iEt⃗OJ=⃗j. (O;⃗i,⃗j)est un repère orthonormé direct du plan. xest un nombre réel quelconque.

On considère le point L tel que

⃗IL=x⃗j(L appartient à la droite passant par I et de vecteur directeur⃗j, cette droite est tangente en I au cercle c).

M est le point de C qui vient en coïncidence avec L lorsque l'on enroule la droite précédente sur le cercle c

donc xest une mesure en radians de l'angle(⃗i;⃗OM)Le cosinus du nombre réelxque l'on note cosxest l'abscisse du point M dans le repère(O;⃗i,⃗j)(ou l'abscisse du point H dans le repère(O;⃗i)de la droite (OI).

Le sinus du nombre réelxque l'on note

cosxest l'ordonnée du point M dans le repère (O;⃗i,⃗j)(ou l'abscisse du point H dans le repère(O;⃗j)de la droite (OJ).

On a donc :

M(cosx;sinx)

⃗OH=(cosx)⃗i

K(0;sinx)⃗OK=(sinx)⃗j

1.2. Valeurs remarquables

Fonctions sinus et cosinus.

1.3. Propriétés

Pour tout nombre réel x, on a :

-1⩽cosx⩽1 -1⩽sinx⩽1

1.4. Angles associés

a) Angles opposés (⃗i;⃗OM)=x+2kπet (⃗i;⃗OM')=-x+2kπ. Les points M et M' sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses. cos(-x)=cosxetsin(-x)=-sinx b) Angles supplémentaires

Les angles

(⃗i;⃗OM)et (⃗i;⃗OM')sont supplémentaires si et seulement si leur somme est égale à l'angle plat.

Si(

Fonctions sinus et cosinus.

Les points M et M' sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées. cos(π-x)=-cosxetsin(π-x)=-sinx c) Angles dont la différence est l'angle plat Les points M et M' sont symétriques par rapport à O. cos(π+x)=-cosxetsin(π+x)=-sinx d) Angles complémentaires

Les angles(

⃗i;⃗OM)et (⃗i;⃗OM')sont complémentaires si et seulement si leur somme est égale à l'angle droit

positif. Si(

2-x+2kπ.

Les angles(

⃗i;⃗OM)et(⃗OM';⃗j)sont égaux et OK'=OH et OH'=OK. cos

2-x)=sinxetsin(π

2-x)=cosx

Fonctions sinus et cosinus.

e) Angles dont la différence est l'angle droit positif

2+x+2kπ.

Les angles(

⃗i;⃗OM)et(⃗j;⃗OM')sont égaux et OK'=OH et OH'=OK. cos

2+x)=-sinxetsin(π

2+x)=cosx

1.5. Équations : cosx=cosa et sinx=sina

a) Remarque

Pour tout nombre réelx, on a : -1⩽cosx⩽1et-1⩽sinx⩽1donc l'ensemble des solutions de l'équation

cosx=ketsinx=kavec kstrictement supérieur à 1 ou strictement inférieur à -1 est l'ensemble vide. b) cos x=cos a

Nous avons vu que le fonction cosinus est continue (et dérivable) sur ℝ donc le théorème des valeurs

intermédiaires nous permet de conclure que si k∈[-1;1]alors il existea∈ℝtel que cos a=k.

On obtient une valeur exacte de

alorsquekest une valeur remarquable (ou son opposé) pour cosinus. On considère alors un cercle trigonométrique rapporté au repère orthonormé direct (O;⃗i,⃗j) ⃗i=⃗OI ⃗i=⃗OJ

Fonctions sinus et cosinus.

On place le point H(cos a;0), puis on trace la perpendiculaire à (OI) en H. Cette droite coupe le cercle en deux

points distincts (lorsquecosa≠1etcosa≠-1) que l'on note M et M'.

Sur le dessin, on suppose que a est une mesure de

(⃗i;⃗OM). Dans ce cas,-aest une mesure de(⃗i;⃗OM'). Si aétait une mesure de(⃗i;⃗OM')alors-aserait une mesure de(⃗i;⃗OM).

Conclusion :

cosx=cosaÛ {x=a+2kπ x=-a+2kπ

Exemple :

Résoudre dans ℝ l'équationcosx=1

On sait que cosπ

3=1 2. cosx=1

2Û{x=π

3+2kπ

x=-π

3+2kπCas particuliers :

On considère alors un cercle trigonométrique rapporté au repère orthonormé direct

(O;⃗i,⃗j) ⃗i=⃗OI ⃗i=⃗OJOn place le point K(0;sin a), puis on trace la perpendiculaire à (OJ) en K. Cette droite coupe le cercle en deux

points distincts (lorsquesina≠1etsina≠-1) que l'on note M et M'.

Sur le dessin, on suppose que a est une mesure de

(⃗i;⃗OM). Dans ce cas,π-aest une mesure de(⃗i;⃗OM').

Siaétait une mesure de

(⃗i;⃗OM')alorsπ-aserait une mesure de(⃗i;⃗OM).

Fonctions sinus et cosinus.

Conclusion :

sinx=sinaÛ{x=a+2kπ x=π-a+2kπ

Exemple :

Résoudre dans ℝ l'équationsinx=-

On sait que

sinπ

2doncsin(-π

2Û{x=-π

4+2kπ

x=π+π

4+2kπÛ{x=-π

4+2kπ

x=5π

4+2kπ

Cas particuliers :

sinx=1=sinπ

2Ûx=π

2)Ûx=-π

1.7. Formules d'addition

aetbsont deux nombres réels. cos(a-b)=cosacosb+sinasinb cos(a+b)=cosacosb-sinasinb sin(a-b)=sinacosb-cosasinb sin(a+b)=sinacosb+cosasinb

Fonctions sinus et cosinus.

1.8. Formules de duplicationaun nombre réel.

sin2a=2sinacosa

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a2. Variations et représentations graphiques des fonctions sinus et cosinus

2.1. Fonctions périodiques

a) Définition

T est un réel strictement positif fixé.

fest une fonction définie sur D.

On dit que

fest une fonction périodique de période T si et seulement si pour tout x∈D, on a (x-T)∈Det (x+T)∈Det f(x+T)=f(x). b) On peut vérifier que pour tout

c) La représentation graphique d'une fonction périodique d'une fonction périodique de période T est

globalement invariante par les translations de vecteurs directeurs

Concrètement, si on obtient la courbe sur [O;T], on translate le " motif » sur [T;2T] puis sur [2T;3T]... et sur

[-T;0] puis [-2T;-T] ; ....

2.2. Propriétés des fonctions sinus et cosinus

a) sin : ℝ ® ℝ x sinxsin est définie, continue et dérivable sur ℝ.

Pour tout

xréel, sin(x+2π)=sinxdonc sin est périodique de période 2 p .

Pour tout xréel,

sin(-x)=-sinxdonc sin est une fonction impaire.

Pour tout xréel,

sin'(x)=cosxb) cos : ℝ ® ℝ x cosxcos est définie, continue et dérivable sur ℝ. Pour tout xréel, cos(x+2π)=cosxdonc cos est périodique de période 2 p .

Pour tout

xréel, cos(-x)=cosxdonc sin est une fonction paire.

Pour tout

xréel, cos'(x)=-sinx

Fonctions sinus et cosinus.

2.3. Tableaux de variations de sin et cos sur [0;2p]

On a aussisinπ=0.

On a aussi cosπ

2=cos3π

2=0.

2.4. Représentations graphiques

a) Sinus sur [0;2π]Sinus sur ℝ On complète la courbe en effectuant les translations précédentes.

Fonctions sinus et cosinus.

Remarques :

La courbe représentative de sin sur ℝ se nomme sinusoïde. sin est une fonction impaire donc l'origine est un centre de symétrie de la courbe. On peut vérifier que la droite d'équation y=xest tangente à la courbe à l'origine. b) Cosinus sur[0;2π]

Cosinus sur ℝ

On complète la courbe en effectuant les translations précédentes.

Remarques :

Pour tout nombre réelx, on acosx=sin(π

2-x)et la courbe représentative de cos est aussi une sinusoïde.

cos est une fonction paire donc l'axe des ordonnées est un axe de symétrie de la courbe.

3. Compléments

3.1. Inéquations trigonométriques

a) Résoudre dans ℝ : cosx⩾-2Pour tout nombre réelx, on a : -1⩽cosx⩽1donc s=ℝ. b) Résoudre dans ℝ : sinx⩽-3 2 -3

2<-1donc s=AE.

c) Résoudre dans ℝ :

2On considère un cercle trigonométrique rapporté au repère orthonormé direct

(O;⃗i,⃗j) ⃗i=⃗OI ⃗i=⃗OJ

Fonctions sinus et cosinus.

2⃗i.

On noteM1etM2les points d'intersection de la perpendiculaire à l'axe des abscisses et du cercle

trigonométrique. (⃗i;⃗OM1)=x1+2kπ( ⃗i;⃗OM2)=x2+2kπ cosx1=cosx2= 2 Soit M un point du cercle trigonométrique et H son projeté orthogonal sur l'axe des abscisses. ⃗i;⃗OM1)=x+2kπ

On détermine une mesure de

(⃗i;⃗OM1), puis la mesure de(⃗i;⃗OM2)dans le sens direct et dans le même tour de

cercle.

Si on choisit x1=-π

4alors il faut choisir

x2=π 4. (Si on choisissait x1=7π

4alors

x2=9π 4) 2Û

4+2kπ⩽x⩽π

4+2kπs=

4+2kπ;π

4+2kπ]=...∪[--π

4;π

4]∪[7π

4;9π

Remarque :

Si on demande l'ensemble des solutions de l'inéquation appartenant à[0;2π]alors on doit déterminer :

quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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Fonctions sinus et cosinus.

1. Rappels de trigonométrie................................P2

2. Variations et représentations graphiques des

3. Compléments...................................................p10

Fonctions sinus et cosinus.

1. Rappels de trigonométrie

1.1. Définitions

On considère le point L tel que

Le sinus du nombre réelxque l'on note

On a donc :

M(cosx;sinx)

K(0;sinx)⃗OK=(sinx)⃗j

1.2. Valeurs remarquables

Fonctions sinus et cosinus.

1.3. Propriétés

Pour tout nombre réel x, on a :

1.4. Angles associés

Les angles

Fonctions sinus et cosinus.

Les angles(

2-x+2kπ.

Les angles(

2-x)=sinxetsin(π

2-x)=cosx

Fonctions sinus et cosinus.

2+x+2kπ.

Les angles(

2+x)=-sinxetsin(π

2+x)=cosx

1.5. Équations : cosx=cosa et sinx=sina

On obtient une valeur exacte de

Fonctions sinus et cosinus.

Sur le dessin, on suppose que a est une mesure de

Conclusion :

Exemple :

Résoudre dans ℝ l'équationcosx=1

On sait que cosπ

2Û{x=π

3+2kπ

3+2kπCas particuliers :

Sur le dessin, on suppose que a est une mesure de

Siaétait une mesure de

Fonctions sinus et cosinus.

Conclusion :

Exemple :

Résoudre dans ℝ l'équationsinx=-

On sait que

2doncsin(-π

2Û{x=-π

4+2kπ

4+2kπÛ{x=-π

4+2kπ

4+2kπ

Cas particuliers :

2Ûx=π

2)Ûx=-π

1.7. Formules d'addition

Fonctions sinus et cosinus.

1.8. Formules de duplicationaun nombre réel.

2.1. Fonctions périodiques

T est un réel strictement positif fixé.

On dit que

2.2. Propriétés des fonctions sinus et cosinus

Pour tout

Pour tout xréel,

Pour tout xréel,

Pour tout

Pour tout

Fonctions sinus et cosinus.

2.3. Tableaux de variations de sin et cos sur [0;2p]

On a aussisinπ=0.

On a aussi cosπ

2=cos3π

2.4. Représentations graphiques

Fonctions sinus et cosinus.

Remarques :

Cosinus sur ℝ

Remarques :

Pour tout nombre réelx, on acosx=sin(π