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Les chiffres Romains : plusieurs symboles ayant des valeurs diff érentes I=1 V= 5 1111111111111111 = -1 c'est le plus grand nombre n égatif Notation scientifique d'un réel en base b α repr ésente l'erreur d'arrondi normalis ée :

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16726 grammes On utilise plutôt la notation scientifique de la forme a × 10e, e ∈ Z On ne peut pas représenter des réels plus grands que 9,9 Une opération 

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Conversion en décimal Il est très facile d'écrire un nombre en base 10 connaissant son écriture nient est qu'elle ne permet pas de représenter des nombres très grands ou très petits tion scientifique habituelle : Définition : Norme La norme prévoit aussi quatre types de représentations non normali- sées : • le nombre 

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REPRÉSENTATION SCIENTIFIQUE DES NOMBRES DANS DIFFÉRENTES BASES3 n An An ¡ π Un nombre à virgule, ou nombre décimal, à plusieurs écritures différentes Le plus grand nombre représentable dans ce système est 7

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Représentation de l'exposant et de son signe • L'exposant est translatée de manière à toujours coder en interne une valeur positive • Avec 2 digits réservés au 

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Vogt (Henri), professeur à la Faculté des Sciences, rue du Grand-Verger, 29, à Nancy VON KOCH, Sur la distribution des nombres premiers M Hilbert i° Il y a lieu d'adopter une langue scientifique et commerciale de x, y, ou, en employant l'écriture homogène, de la forme e curve normali trigonali del piano [Rend

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Pour calculer avec un grand nombre de décimales en utilisant une formule de série utiliser telles quelles avec les grands nombres : il faut donc programmer gnement scientifique), le programme d'une ligne : evalfi Pi Pour arriver à l' écriture «nor- tableau correspond exactement à cette réécriture sous forme normali-

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l'équation est (Sj et qu'on pose, pour abréger l'écriture, [a ^] ^ plus petit et le plus grand des nombres ÎÎ , Î2î • • • ^ 3 scientifique de Bruxelles, 1884 1886

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Organisation des ordinateurs et systèmes

Représentation des nombres

flottants

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Organisation des ordinateurs et systèmes

Notation exponentielle

Le point décimal "flotte"

(ajustement approprié de l'exposant). •Représentations équivalentes dans la base 10 de 1,234

123 ,40 0.0 x 10

-2

12 ,34 0.0 x 10

-1

1,2 34. 0 x 1 0

0

12 3.4 x 10

1

1 2.3 4 x 10

2

1.2 34 x 10

3

0.1 234 x 10

4

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Organisation des ordinateurs et systèmes

Éléments de la notation

exponentielle -0. 987 6 x 1 0 -3

Signe de

la mantisse

Position du

point décimal

Mantisse

Exposant

Signe de

l'exposant Base

Base de système du nombre!

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Organisation des ordinateurs et systèmes

Représentation normalisée

•Un nombre représenté en virgule flottante est normalisé s'il est sous la forme: •± 0,M * X ±c •M - un nombre dont le premier chiffre est non nul •Exemple: •+ 59,4151 * 10 -5

Normalisé: +0,594151 * 10

-3

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Organisation des ordinateurs et systèmes

Représentation de l'exposant et de

son signe •L'exposant est translatée de manière à toujours coder en interne une valeur positive •Avec 2 digits réservés au codage de l'exposant •Les valeurs positives: [+0, +99] •En appliquant une translation k=50: •Les exposants représentables => [-50,49] •La constante k est appelée constante d'excentrement

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Organisation des ordinateurs et systèmes

Représentation en virgule flottante

•Avec 2 digits réservés au codage de l'exposant avec un excentrement égal à 50 10 et 5 digits pour la mantisse on peut représenter • de .00001 x 10 -50

à .99999 x 10

49

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Organisation des ordinateurs et systèmes

Overflows / Underflows

•De.00001 x 10 -50

à .99999 x 10

49

1 x 10

-55

à .99999 x 10

49

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Organisation des ordinateurs et systèmes

Format typique

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Organisation des ordinateurs et systèmes

La norme IEEE 754

•Un format standardisé •Format simple précision: 32 bits •Bit du signe (1 bit) •Exposant (8 bits) •Mantisse (23 bits) •Format double précision: 64 bits •Bit du signe (1 bit) •Exposant (11 bits) •Mantisse (52 bits)

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Organisation des ordinateurs et systèmes

Format simple précision

32 bits

Mantisse (23 bits)

Exposant (8 bits)

Signe de la mantisse (1 bit)

CSM en base 2, avec un bit caché à 1

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Organisation des ordinateurs et systèmes

Format Double Précision

64 bits

Mantisse (52 bits)

Exposant (11 bits)

Signe de la mantisse (1 bit)

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Organisation des ordinateurs et systèmes

Normalisation dans le format IEEE

754
•La mantisse est normalisé sous la forme •±1,M*2 ±c •Pseudo mantisse •Le 1 précédant la virgule n'est pas codé en machine et est appelé bit caché •Exemple: •Mantisse: •Représentation:

10100000000000000000000

1.1 01

2 = 1.6 25 10

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Organisation des ordinateurs et systèmes

IEEE 754, Représentation de

l'exposent •Constante k d'excentrement appliquée à l'exposant •Simple précision: +127 10 •Double précision: +1023 10 •L'exposant c codé en interne •±c + 127 10 •±c + 1023 10 •Ex., - k = 127 10 •Exposant: •Représentation:

10000111

2 135
10 - 12 7 10 = 8 10 (v ale ur)

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Représentation de l'exposant et de

son signe - Exemple -

Représentez l'exposant 14

10 avec un excentrement 127: 127
10 = + 01111111 2 14 10 = + 00001110 2

Représentation= 10001101

2

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Représentez l'exposant -8

10 avec un excentrement 127: 127
10 = + 01111111 2 - 8 10 = - 00001000 2

Représentation= 01110111

2

Représentation de l'exposant et de son

signe - Exemple -

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Exemple

•Simple précision

0 1 000 001 0 1 100 000 00 000 000 000 000 00

1.11 2 = 1.75 10

130 - 127 = 3

0 = mantisse positive

+1.75 × 2 3 = 14.0

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Exercice - Conversion en virgule

flottante IEEE 754 •Quelle est la valeur décimale des représentations internes suivantes? •Réponse:

1 1 000 001 0

11110110000000000000000

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Organisation des ordinateurs et systèmes

Exercice - Conversion en virgule

flottante IEEE 754 •Quelle est la valeur décimale des représentations internes suivantes? •Réponse: -15.6875

1 1 000 001 0

11110110000000000000000

Réponse

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Organisation des ordinateurs et systèmes

1 1 000 001 0

11110110000000000000000

Solution

En décimal

130 - 127 = 31.11110110000000000000000000

1 + .5 + .25 + .125 + .0625 + 0 + .015625 +

.0078125

1.9609375

2 3 = 15.6875 - 15.6875 ( negatif )

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Organisation des ordinateurs et systèmes

1 1 000 001 0

11110110000000000000000

Solution : Méthode Alternative

En décimal

130 - 127 = 31.11110110000000000000000000

1111.10110000000000000000000

- 15.6875 ( negatif )

Décalez

"Point"

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Exercice - Conversion en virgule

flottante IEEE 754 •Quelle est la représentation interne du nombre 3.14 10 •Remarque: utiliser seulement les 10 chiffres significatifs pour la mantisse •Réponse:

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Organisation des ordinateurs et systèmes

Exercice - Conversion en virgule

flottante IEEE 754 •Quelle est la représentation interne du nombre 3.14 10 •Remarque: utiliser seulement les 10 chiffres significatifs pour la mantisse •Réponse:

Réponse

0 1 000 000 0

10010001111000000000000

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Organisation des ordinateurs et systèmes

Solution : 3.14 en IEEE Simple Précision

3.14 En Binaire (approx):

11.001000111101

•Normalisez (2 1 •Enlevez le bit caché

1001000111101

Exposant = 127 + 1

10000000

Valeur est positive: Bit de signe = 0

0 10000000 10010001111010000000000

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