[PDF] [PDF] 254 Compléments (fonctions trigonométriques inverses)

[PDF] Chapitre V Fonctions arcsin, arccos, arctan 1 Définitions 2 Propriétés

c) les fonctions arcsin et arccos sont continues sur [−1,1], la fonction arctan est continue sur R 3 Quelques formules concernant arctan Proposition 3 1 a) 

[PDF] Tableaux des dérivées et primitives et quelques formules en prime

Vx ∈ R,Vθ ∈] - π 2 ; π 2 [, x = tan(θ) ⇔ arctan(x) = θ Arcsinus Arccosinus Arctangente Propriété 4 1 Vx ∈ [-1; 1],sin(arcsin( 

[PDF] Trigonométrie I Fonctions circulaires

π + Arctan 1 x si x < 0 Arctan x + Arctan 1 x= sign(x) × π 2 III Formules 1 Corollaires du théorème de Pythagore cos2 x + sin2 x = 1 cos2 x = 1 1 + tan2 x

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II Formules de trigonométrie Les formules pour la fonction tan se retrouvent à partir de celles pour les cos et sin : III 2 Les fonctions arccos, arcsin, arctan

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Théorème (Fonctions sinus et cosinus, formules d'addition et de produit) Pour tous x, y ∈ : 2 FONCTIONS ARCSINUS, ARCCOSINUS ET ARCTANGENTE

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sa fonction réciproque appelée arc tangente ainsi : arctan : r → ]- 2 π ; 2 π [ x arctan(x) avec l'équivalence : y = arctan(x) ⇔ x = tan(y) Exemples : arcsin(1) = 2

[PDF] 254 Compléments (fonctions trigonométriques inverses)

les formules trigonométriques usuelles, on montre: ∀x ∈ [ − 1, 1] entier La fonction inverse (ou encore réciproque) déduite est la fonction arctan: R ]− π 2

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Le second se déduit de la formule du binôme de Newton et est démontré dans le chapitre Nous connaissons le développement de arctan d'ordre 5 : arctan(x) 

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2.5.4 Compléments (fonctions trigonométriques inverses)Les fonctions trigonométriquesx

?sin(x),x?cos(x),x?tan(x)n"étant pas monotones surR(la fonctionx ?tan(x)n"est même pas définie surRtout entier), pour construire des fonctions inverses (on dit aussi fonctions réciproques) aux fonctions trigonométriques, on est obligé de se restreindre à des intervalles de monotonie de ces fonctions (on prend en général des intervalles de monotonie maximaux).

I.La fonction arcsin:la fonctionx

?sin(x)est monotone (strictement croissante) sur l"intervalle[-π

2,π

2].

On définit alors son inverse, arcsin:[-1,1]

2,π

2],x?arcsin(x).

Il faut retenir que:

1. ledomaine de définitionde la fonction arcsinus est[-1,1]

2.y=arcsin(x)

sin(y)=xet-π 2 ?y?π 2 Les graphes de ces deux fonctions sont symétriques par rapport à la droite d"équationy=x. En utilisant les règles de dérivation de fonctions composées, on montre que la fonctionx ?arcsin(x)est dérivable sur]-1,1[et que arcsin(x))?=1

1-x2⎷

II.La fonction arccos:la fonctionx

?cos(x)est monotone (strictement décroissante) sur l"intervalle [0,π]. On définit son inverse, arccos:[-1,1] ?[0,π],x?arccos(x).

Il faut retenir que:

1. ledomaine de définitionde la fonction arccos est[-1,1]

2.y=arccos(x)

?(cos(y)=xet0?y?π)

2.5 Techniques d"intégration29

Les graphes de ces deux fonctions se déduisent l"un de l"autre par symé- trie orthogonale par rapport à la droite d"équationy=x. En utilisant les règles de dérivation de fonctions composées, on montre que la fonctionx ?arccos(x)est dérivable sur]-1,1[et que arccos(x))?=-1

1-x2⎷

Remarque:En utilisant les définitions des fonctionsarcsin,arccoset les formules trigonométriques usuelles, on montre: ?x?[-1,1],arcsin(x)+arccos(x)=π 2

En effet, pourx?[-1,1], posonsy=arcsin(x).

Nous avons-π

2 ?y?π

2et sin(y)=x. Or on a sin(y)=cos(π

2-y).

Comme0?π

2 -y?π, on obtient arcsin(x)+arccos(x)=y+arcos(cos(π 2 -y))=π 2.

III.La fonction arctan:la fonction tangente est monotone (strictement croissante) sur l"intervalle]-π

2 2[.

L"image de l"intervalle]-π

2

2[par la fonctionx?tan(x)estRtout

entier. La fonction inverse (ou encore réciproque) déduiteest la fonction arctan:R

2,π

2[. Ce qu"il faut retenir:

1. Ledomaine de définitionde arctan estR

2.y=arctan(x)

tan(y)=xet-π 2 < y <π 2 arctanest dérivable surRet on aarctan(x)?=1 1+x2. IV.Complément à la liste des primitives des fonctions usuelles: λdésignant une constante réelle quelconque, nous avons: 1.? 1

1-x2⎷

dx=arcsin(x)+λ 2.? 1

1+x2dx=arctan(x)+λ

30Intégration: fonction réelle d"une variable réelle.

2.6 Intégrales impropres - Définitions et exemplesUne généralisation de la notion d"intégrale définie.2.6.1 Intégrales (impropres) sur un intervalle non bornéDéfinition 2.30.Soienta?R,f:[a,+∞[

?R. On suppose que pour toutb?a,fest intégrable sur l"intervalle fermé borné [a,b].

On pose alors par définition?

a+∞ f(x)dx=lim b ab f(x)dx. L"expression a+∞ f(x)dxest appelée intégrale impropre defsur? a,+∞? Silim b ab f(x)dxexiste et est un nombre réel, alors l"intégrale impropre a+∞ f(x)dxest dite convergente. Silim b ab f(x)dxn"existe pas ou est infinie, alors? a+∞ f(x)dxest dite divergente Note:Nous n"allons pas aborder ici les théorèmes généraux de convergence des intégrales impropres, mais plutôt considérer des cas simples où on sait calculer? ab f(x)dx. Le passage à la limite lorsquebtend vers+∞(ou lorsqueatend vers - ∞comme ci-dessous) nous permettra de décider de la convergence de l"intégrale impropre considérée.

Exemple 2.31.

1.f:?

1,+∞?

?R,f(x)=1 x 2.

Pourb??

1,+∞?

, on afcontinue sur[1,b]et? 1b f(x)dx=? -1 x 1b =1-1 b

On en déduit lim

b ab f(x)dx=1, donc?

1+∞

f(x)dx=1.

2.f:??

1,+∞?

?R,f(x)=1 x.

On a, pourb?1,?

1b f(x)dx=? ln(x)? 1b =ln(b). Comme lim b ?+∞ln(b)=+∞, on en déduit que l"intégrale impropre

1+∞

f(x)dx diverge.

3. L"intégrale impropre?

0+∞

cos(x)dx diverge.

En effet

0b cos(x)dx=? sin(x)? 0b =sin(b)et lim b ?+∞sin(b)n"existe pas.2.6 Intégrales impropres - Définitions et exemples31quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40