on met enfin les résultats dans un tableau de signes et on y lit l'ensemble solution Exemple : x −∞ −1 1 +∞ (x +1)
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Année 2007-20082nde4
Chap 7:?
???Inéquations et signesI. Inéquationsdu premier degré
Définition 1 :On dit que deux équations ou deux inéquations sontéquivalentessi on peut passer de
l"une à l"autre par utilisationde l"une des quatre règles ci-dessous. Voici ces quatre règles pour passer d"une inéquationà une inéquationéquivalente : Règle 1 :Ajouter ou retrancher un même nombre aux deux membres de l"inéquation. Exemple :2x+3<2 est équivalente à 2x+3-3<2-3 c"est-à-dire 2x<-1 . Règle 2 :Multiplierou diviser par un même nombre positif les deux membres de l"inéquation.Exemple :2x?-1 est équivalente à2x
2?-12c"est-à-direx?-12.
Règle 3 :Multiplierou diviser par un même nombre négatif les deux membres de l"inéquation
en changeantle sens de l"inégalité.Exemple :-3x?2 est équivalente à-3x
-3?2-3c"est-à-direx?-23. Règle 4 :Simplifier les écritures (mettre au même dénominateur ...).Exemple :x+1
2x>3 est équivalente à22x+12x>3 c"est-à-dire32x>3 .
Remarque :On donne toujoursles ensembles solutionsous formes d"intervalles.Rem : Parler de valeurs absolues.
II. Signe deax+b
1) Résolution
Chercherle signe de ax+b revient à résoudre ax+b>0. Exemple :Chercher le signe de 2x+5 revient à résoudre 2x+5>0 :2x>-5 et doncx>-5
2.2x+5 est ainsi positif dès quex>-5
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On peut alors mettre les résultatsdans un tableau de signes. Dans notre exemple précédent cela donnerait : x-∞ -52+∞2x+5-0+
2) Représentation graphique
Si on trace la droite d"équationy=ax+bon peut alors lire sur le graphiquele signe deax+b.Poury=2x-1 :
123-1 -2 -3 -41 2 3-1-2-3-4O x-∞12+∞
2x-1-0+
Poury=-2x+2 :
123-1 -2 -3 -41 2 3-1-2-3-4O x-∞1+∞ -2x+2+0-
III. Inéquationsproduit et quotient
1) Inéquations dedegré 2, inéquationsproduit
Une inéquationde degré deux est une inéquationqui, si elle est développée, contient des??x2??.
Exemple :2x2+1?3.
•Le principe de résolutionest d"obtenir une inéquationéquivalente avec un des deux membres nul,
Exemple :Avec notre exemple :2x2+1-3?0c"est-à-dire2x2-2?0. •puis de factoriser au maximum l"expression,