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Chaque intervalle est associé à une inégalité ou un encadrement concernant les abscisses des points de la droite appartenant à ce segment ou cette demi-droite
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I) Les intervalles de Թ
1) Définition
a) Représentation graphique de Թ : à chaque point de la droite est associé un unique nombre réel appelé abscisse de ce point.Exemple
Les abscisses des points A, B, C, D, E et F sont respectivement :ݔ = 0 ; ݔ = 1 ; ݔ = 4 ; ݔ = -2 ; ݔா = 2,46 et ݔி = - ξ͵
b) Les intervalles de Թ Un intervalle de Թ est représenté par un segment, une demi-droite ou par la droite. Chaque intervalle est associé à une inégalité ou un encadrement concernant les abscisses des points de la droite appartenant à ce segment ou cette demi-droite. ࢇ et ࢈ ( ࢇ < ࢈ ) On obtient donc les différents intervalles suivants :2) Tableau récapitulatif des neufs intervalles de Թ
tervalles sont dans le tableau ci-dessous : M Nombres ࢞ Représentation graphique Notation intervalleM ג
M ג
M ג
M ג
M ג
M ג
M ג
M ג
M ג (d) ࢞א
Remarques importantes :
fermé si ses extrémités lui appartiennent. Par exemple : [6 ; 12] est un intervalle fermé. ouvert si ses extrémités ne lui appartiennent pas Par exemple :] -4 ; 7 [ou] - ; 3 [ sont des intervalles ouverts. Թ est aussi un intervalle, il peut se noter ]- ; + [ aucun réel est aussi un intervalle vide, il se note ØLe symbole se lit infini.
II) Valeur absolue. Distance entre deux nombres réels1) Valeur absolue
a) Définitionݔ est un nombre réel :
La valeur absolue réel ࢞ est la distance de ce réel à 0 sur la droite numérique. La notation ȁ࢞ȁ se lit " valeur absolue de ࢞ »Exemples :
ȁെ͵ȁൌ͵ OB = 3
Conséquence :
Pour tout nombre réel ݔ , ȁݔȁ 0. Une distance étant toujours positive. b) PropriétésPour tout nombre réel ࢞ :
Si࢞ 0 alors ȁ࢞ȁൌ࢞ Si࢞ 0 alors ȁ࢞ȁൌെ࢞ etExemples :
c) Distance de deux réels La distance de deux nombres réels ࢇ et ࢈ est la distance des points A ࢇ et ࢈ sur la droite numérique.On la note ȁࢇെ࢈ȁ
Remarque : ȁܽെܾȁൌȁܾെܽExemples :
La distance de 2 à 8 est 6 : ȁʹെͺȁൌȁെȁൌ d) Propriété Soit ࢇ un nombre réel et ࢘ un nombre réel positif,Définitions :
łPour tous nombres ࢇ, ࢞ réels et entier naturel, le nombre ࢇ est (ࢇ א ॰ et ࢞ א A la calculatrice ξͳͺͺൎͳ͵ǡͳͳ͵ͳ II)1) Intersections
a) Définition Soit ࡱ et ࡲ deux ensembles quelconques. On appelle intersection de ࡱ et ࡲ, et on note ࡱת ࢞ est un élément de ࡱת élément de ࡱ ET ࢞ est un élément de ࡲ. Remarques : ܨתܧൌתܧ. ܧתܨൌSi ܫ et ܬ
également un intervalle fermé borné.
Si ܫ et ܬ
également un intervalle ouvert borné.
b) ExemplesRemarque importante :
Dans tous les exemples, nous avons décalé les intervalles par rapport à l'axe gradué pour des raisons de clarté du dessin, mais en principe, la représentation graphique d'un intervalle reste toujours une partie de l'axe gradué: les intervalles dessinés ci-dessus devraient donc se trouver tous sur l'axe gradué. en bleu. [-2 ; 2] ת en bleu. ]-2 ; 2[ תExemple 3 :
plus petit intervalle est inclus dans le plus grand. ]-2 ; 2[ תExemple 4 : ; 9]
et de [-1 ; 3 ] en rouge. [-1 ; 3] תExemple 5 :
[-3 ; 1] ת [3 ; 9] = Exemple 6 : !
]-1 ; 3[ ת ]3 ; 9[ = 2) Réunions
a) Définition Soit ࡱ et ࡲ deux ensembles quelconques. On appelle réunion de ࡱ et ࡲ, et on note ࡱ ࢞ est un élément de ࡱ élément de ࡱ OU ࢞ est un élément de ࡲ. Remarques : ܨܧൌܧ. ܧܨൌܧSi ܫ et ܬ
systématiquement un intervalle. Par contre, la réunion de deux intervalles fermés bornés est fermée et bornée. b) ExemplesRemarque importante :
Dans tous les exemples, nous avons décalé les intervalles par rapport à l'axe gradué pour
des raisons de clarté du dessin, mais en principe, la représentation graphique d'un intervalle reste toujours une partie de l'axe gradué : les intervalles dessinés ci-dessus devraient donc se trouver tous sur l'axe gradué. en bleu. [-2 ; 2] Exemple 2 : Ici, la réunion est le plus grand des deux intervalles parce que le plus petit intervalle est inclus dans ce plus grand. ]-2 ; 2[ Exemple 3 : Voici un exemple où on ne peut pas écrire la réunion sous la intervalle. [-3 ; 1] un intervalle. Exemple 4: Voici maintenant la réunion de deux intervalles : nombre 3 dans la réunion : ]-1 ; 3[ intervalle. Exemple 5 : Mais en 3, voilà ce que devient la réunion : ]-1 ; 3] Moralité : il faut être attentif (ou attentive) !!!quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46