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Année universitaire 2020-2021Notes du cours de Mathématiques M 12 05 :Mathématiques pour la gestion et statistiques, Semestre 1

M 22 06 :Probabilités, Semestre 2

M 22 07 :Mathématiques financières, Semestre 2Arnaud Rousselle

Table des matières

1 Algèbre matricielle et systèmes linéaires 1

1.1 Premières définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2 Calcul matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2.1 Somme et différence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2.2 Multiplication par un scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2.3 Multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2.4 Transposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.5 Déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3 Systèmes d"équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.3.1 Écriture matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.3.2 Résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.3.3 Application à l"inversion de matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.4 Prolongement : introduction à la programmation linéaire . . . . . . . . . . . .

21

1.4.1 Méthode graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

1.4.2 Forme standard d"un problème d"optimisation linéaire . . . . . . . . .

25

1.4.3 Introduction à la méthode du simplexe . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2 Statistiques descriptives univariées 41

2.1 Vocabulaire statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

2.2 Cas qualitatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

2.3 Cas quantitatif discret sans regroupement en classes . . . . . . . . . . . . . .

44

2.3.1 Tableau statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

2.3.2 Représentations graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

2.3.3 Paramètres statistiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

2.4 Cas quantitatif continu ou discret avec regroupement en classes . . . . . . . .

50

2.4.1 Tableau statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

2.4.2 Représentations graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

2.4.3 Paramètres statistiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

2.5 Complément : d"autres moyennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

3 Statistiques bivariées 59

3.1 Présentation et traitement des données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

3.2 Étude et mesure des liens entre les variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

3.2.1 Indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

3.2.2 Coefficient de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

3.2.3 Coefficient de corrélation linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65
i

TABLE DES MATIÈRES

3.3 Régression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

3.4 Complément : test duχ2d"indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .70

4 Analyse à une variable réelle 75

4.1 Premières définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75

4.2 Fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

76

4.2.1 Fonctions linéaires et affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

76

4.2.2 Fonctions quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77

4.2.3 Fonctions polynomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

4.2.4 Fonction inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

4.2.5 Fonctions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

4.2.6 Fonctions exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80

4.2.7 Fonctions logarithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82

4.2.8 Fonctions puissances et racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

84

4.2.9 Fonctions indicatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85

4.2.10 Fonction valeur absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86

4.3 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86

4.3.1 Définitions formelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86

4.3.2 Limites usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

91

4.3.3 Opérations sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

92

4.3.4 Comparaison de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93

4.3.5 Formes indéterminées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

94

4.4 Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

96

4.5 Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

4.5.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

4.5.2 Dérivées usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

98

4.5.3 Opérations sur les dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

98

4.5.4 Tangente à une courbe en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

99

4.5.5 Applications à l"étude des variations et à la recherche d"extrema . . .

100

4.6 Applications en économie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

102

4.6.1 Coût marginal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

102

4.6.2 Coût moyen, coût marginal et optimum technique . . . . . . . . . . .

103

4.6.3 Revenu marginal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

103

4.6.4 Élasticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

104

4.7 Complément : autour du lien entre variations d"une fonction et signe de sa dérivée

106

5 Suites numériques 109

5.1 Premières définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

109

5.2 Convergence et limites de suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

110

5.3 Suites particulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

112

5.3.1 Suites définies par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

112

5.3.2 Suites arithmétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

112

5.3.3 Suites géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

117

5.3.4 Suites arithmético-géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

121

5.4 Complément : la méthode de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

122
ii

TABLE DES MATIÈRES

6 Mathématiques financières 125

6.1 Intérêts, capitalisation et actualisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

125

6.1.1 Intérêts simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

125

6.1.2 Intérêts composés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

127

6.1.3 Taux nominaux, périodiques et effectifs . . . . . . . . . . . . . . . . .

129

6.1.4 Capitalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

130

6.1.5 Actualisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

130

6.2 Versements périodiques : les annuités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

132

6.2.1 Annuités de début de période . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

132

6.2.2 Annuités de fin de période . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

134

6.2.3 Cas des annuités constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

135

6.3 Empruntsindivis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .137

6.3.1 Empruntsin fine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .141

6.3.2 Emprunts à annuités constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

141

6.3.3 Emprunts à amortissements constants . . . . . . . . . . . . . . . . . .

142

6.3.4 Taux annuel effectif global (TAEG) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

143

6.4 Rentabilité d"un investissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

144

6.4.1 Valeur actuelle nette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

144

6.4.2 Taux de rentabilité interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

145

7 Séries chronologiques 147

7.1 Premières définitions, exemples et motivations . . . . . . . . . . . . . . . . . .

147

7.1.1 Motivations et objectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

148

7.2 Analyse d"une série chronologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

149

7.2.1 Décomposition d"une série chronologique . . . . . . . . . . . . . . . . .

149

7.2.2 Modèle additif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

150

7.2.3 Modèle multiplicatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

150

7.2.4 Quelques manipulations avec un tableur . . . . . . . . . . . . . . . . .

151

7.3 Estimation des composantes d"une série chronologique . . . . . . . . . . . . .

152

7.3.1 Estimation de la tendance générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

152

7.3.2 Estimation de la composante saisonnière . . . . . . . . . . . . . . . . .

154

7.4 Prédiction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

157

7.5 Quelques manipulations avec un tableur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

159

8 Ensembles et dénombrement 161

8.1 Éléments de la théorie des ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

161

8.1.1 Ensembles, sous-ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

161

8.1.2 Opérations sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

162

8.2 Combinatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

167

8.2.1p-listes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .167

8.2.2 Permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

168

8.2.3 Arrangements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

169

8.2.4 Combinaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

169
iii

TABLE DES MATIÈRES

9 Calcul élémentaire des probabilités 173

9.1 Vocabulaire probabiliste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

173

9.2 Équiprobabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

176

9.3 Indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

177

9.4 Probabilités conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

178

10 Variables aléatoires 183

10.1 Premières définitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

183

10.2 Variables aléatoires discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

184

10.2.1 Loi d"une variable aléatoire discrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

184

10.2.2 Moments d"une variable aléatoire discrète . . . . . . . . . . . . . . . .

184

10.2.3 Lois discrètes usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

185

10.3 Variables aléatoires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

191

10.3.1 Loi d"une variable aléatoire continue et densité . . . . . . . . . . . . .

191

10.3.2 Moments d"une variable aléatoire continue . . . . . . . . . . . . . . . .

192

10.3.3 Lois à densités usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

193

10.4 Complément : quelques mots sur les théorèmes limite en probabilité . . . . .

199

10.4.1 Loi forte des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

199

10.4.2 Théorème Central Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

200

10.4.3 Applications en statistique inférentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . .

200
A Table de la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite 205 A.1 Lecture dans la table . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
A.1.1 Lecture directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
A.1.2 Cas des valeurs non indiquées dans la table . . . . . . . . . . . . . . . 205
iv

Chapitre 1

Algèbre matricielle et systèmes

linéaires Lorsque l"on a plusieurs/un grand nombre de données, il est pratique de pouvoir les synthé- tiser sous la forme d"un tableau, d"une matrice. Les objectifs de ce chapitre sont d"introduire la notion de matrice et les opérations sur les matrices ainsi que d"établir un lien entre ma-

trices et systèmes linéaires. On discutera également des méthodes de résolution de systèmes

linéaires.

1.1 Premières définitions

Définition 1.1.On appellematricede taillem×net à coefficients réels un tableau de nombres réels constitué demlignes etncolonnes. Notations 1.1.1.On note Mm,n(R)l"ensemble des matrices de taillem×net à coeffi- cients réels. 2. Soit A? Mm,n(R). Pouri? {1,...,m}etj? {1,...,n}, on noteai,jle coefficient situé sur laieligne et dans lajecolonne de la matriceA. Celle-ci s"écrit alors sous la

Définition 1.2.SoitA? Mm,n(R).

1.

Si m= 1,Aest appelée vecteur ligne.

2.

Si n= 1,Aest appelée vecteur colonne.

3. Si m=n,Aest appelée matrice carrée d"ordren.

Exemple 1.1.Soient

A=( (1 4 2 3 9 7) ), B=( (((1 5 9 13

2 6 10 14

3 7 11 15

4 8 12 16)

))), X=?

1 2 3 4 5?

etY=( (((6 7 8 9) La matriceAest de taille3×2,Best une matrice carrée d"ordre 4,Xun vecteur ligne de taille 5 etYun vecteur colonne de taille 4. 1 CHAPITRE 1. ALGÈBRE MATRICIELLE ET SYSTÈMES LINÉAIRES Définition 1.3.SoitA? Mn,n(R)une matrice carrée. 1. L amatric eAest dite diagonale siai,j= 0, pour tousi,j? {1,...,n}tels quei?=j. Si de plus, pour touti? {1,...,n},ai,i= 1, la matriceAest appelée matrice identité d"ordrenet est notéeIn. 2. L amatric eAest dite triangulaire supérieure siai,j= 0, pour tousi,j? {1,...,n}tels quei > j. 3. L amatric eAest dite triangulaire inférieure siai,j= 0, pour tousi,j? {1,...,n}tels quei < j.

Ainsi, toute matrice diagonaleDest de la forme

D=( (((((d

1,10···0

0 .........0

0···0dn,n)

la matrice identité d"ordrenest de la forme I n=( (((((1 0···0 0 .........0

0···0 1)

et toute matrice triangulaire supérieureUou triangulaire inférieureLest de la forme : U=( (((((u

1,1··· ···u1,n

0......

0···0un,n)

)))))etL=( (((((l

1,10···0

......0 l n,1··· ···ln,n)

1.2 Calcul matriciel

1.2.1 Somme et différence

LasommeA+B(resp.différenceA-B) deAet deBest la matrice de taillem×n dont les coefficients sont donnés parai,j+bi,j(resp.ai,j-bi,j). Remarque 1.1.Pour que leur somme et leur différence soient définies, les matricesAetB doivent être de même tailles.

Exemple 1.2.On a :

?1 3 4

2 5 6?

+?1 4 1

2 4 2?

=?1 + 1 3 + 4 4 + 1

2 + 2 5 + 4 6 + 2?

=?2 7 5

4 9 8?

et ?1 3 4

2 5 6?

-?1 4 1

2 4 2?

=?1-1 3-4 4-1

2-2 5-4 6-2?

=?0-1 3

0 1 4?

2 CHAPITRE 1. ALGÈBRE MATRICIELLE ET SYSTÈMES LINÉAIRES Proposition 1.1.1.L"addition de matric esest associative, c"est-à-dire que, pour tous

A,B,C? Mm,n(R), on a :

(A+B) +C=A+ (B+C).

On notera simplement cette sommeA+B+C.

2. L"addition de matric esest commutative, c"est-à-dire que, pour tousA,B? Mm,n(R), on a :

A+B=B+A.

3. L amatric e0m,n? Mm,n(R)dont tous les coefficients sont nuls est l"élément neutre de l"addition dansMm,n(R), c"est-à-dire que, pour toutA? Mm,n(R), on a :

A+0m,n=0m,n+A=A.

Preuve :

1. 2. 3. et 0

Remarque 1.2.On a ainsi :

A+ (-A) =0m,n.

1.2.2 Multiplication par un scalaire

LeproduitαAest la matrice de taillem×ndont les coefficients sont donnés parαai,j.

Remarque 1.3.En particulier(-1)×A=-A.

Exemple 1.3.On a :

7×?1 4

2 5? =?7 28

14 35?

3 CHAPITRE 1. ALGÈBRE MATRICIELLE ET SYSTÈMES LINÉAIRES

Proposition 1.2.SoientA,B? Mm,n(R)etα,β?R.

On a :

1.(α+β)A=αA+βA;

2.α(A+B) =αA+αB.

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