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STATISTIQUE : ESTIMATION
Préparation à l"Agrégation Bordeaux 1
Année 2012 - 2013
Jean-Jacques Ruch
Table des Matières
Chapitre I. Estimation ponctuelle5
1. Définitions5
2. Critères de comparaison d"estimateurs 6
3. Exemples fondamentaux 6
3.a. Estimation dem6
3.b. Estimation de2en supposantmconnu 7
3.c. Estimation de2lorsquemest inconnu 7
4. Cas particulier de la loi normale 8
5. Construction d"estimateur par la méthode du maximum de vraisemblance 11
5.a. Cas discret11
5.b. Cas à densité12
Chapitre II. Estimation par intervalle13
1. Définition d"une région de confiance 13
2. Construction de régions de confiance 13
3. Exemples classiques d"estimation par intervalle 15
3.a. Estimation de la moyenne quand la variance est connue 15
3.b. Estimation de la moyenne quand la variance est inconnue 15
3.c. Estimation de la variance quand la moyenne est connue 16
3.d. Estimation de la variance quand la moyenne est inconnue 18
4. Comparaison de moyennes et de variances 18
4.a. Intervalle de confiance de la différence de deux moyenne 18
4.b. Intervalle de confiance du rapport de deux variances 20
5. Estimation d"une proportion 20
5.a. Estimation ponctuelle 21
5.b. Estimation par intervalle 21
5.c. Méthode du Bootstrap 22
3CHAPITRE I
Estimation ponctuelle
En statistique, comme dans la théorie des probabilités le hasard intervient fortement. Mais dans la théorie
des probabilités, on suppose la loi connue précisément et on cherche à donner les caractéristiques de la
variable qui suit cette loi. L"objectif de la statistique est le contraire : à partir de la connaissance de la
variable, que peut-on dire de la loi de cette variable?1. Définitions
SoitXune variable aléatoire dont la densité de probabilitéf(x;)dépend d"un paramètreappartenant
àIR. A l"aide d"un échantillon issu deX, il s"agit de déterminer au mieux la vraie valeur0de. On
pourra utiliser deux méthodes : -estimation ponctuelle: on calcule une valeur vraisemblable^de0-estimation par intervalle: on cherche un intervalle dans lequel0se trouve avec une probabilité élevée.
Définition 1.Unn-échantillondeXest unn-uplet(X1;X2;:::;Xn)tel que lesXkont la même loi queXet sont indépendantes.Uneréalisation de l"échantillonest alors unn-uplet(x1;x2;:::;xn)de valeurs prises par l"échantillon.Définition 2.Unestatistiquede l"échantillon est une variable aléatoire'(X1;X2;:::;Xn)où'est
une application deRndansR. UnestimateurTdeest une statistique à valeurs dansI. Uneestimationest la valeur de l"estimateur correspondant à une réalisation de l"échantillon.Exemple:X n=1n n X k=1X kest un estimateur de l"espérance mathématique. Définition 3.Lebiaisde l"estimateurTdeestE[T]0. S"il est nul, on dit queTest un estimateur sans biais. L"estimateurTnestasymptotiquement sans biaissilimE[Tn] =0.On note souvent le biaisb(T). Définition 4.L"estimateur est ditconvergentsi la suite(Tn)converge en probabilité vers0:8" >0;P(jTn0j> ")!n!+10:
On parle d"estimateurfortement convergentlorsqu"on a convergence presque sûre.D"après Bienaymé-Tchebychev pour qu"un estimateur asymptotiquement sans biais soit convergent il
suffit queVar(Tn)!n!+10:
56Chapitre I. Estimation ponctuelle
2. Critères de comparaison d"estimateurs
Un bon critère de comparaison est lerisque quadratique. Définition 5.SoientTun estimateur de. Le risque quadratique est défini par R(T;) =E[(T)2]On peut alors comparer deux estimateurs. Définition 6.On dit queT1est unmeilleur estimateurqueT2si82I; R(T1;)R(T2;)
et92I; R(T1;)< R(T2;):Un estimateur est ditadmissibles"il n"existe pas d"estimateur meilleur.
L"erreur quadratique moyenne deTse décompose en deux termes, le carré du biais et la variance deT:
E[(T)2] =b2(T) +Var(T):
Cette décomposition permet de se ramener à une discussion sur la variance pour les estimateurs sans
biais de. Définition 7.SoientT1etT2deux estimateurs sans biais de. On dit queT1est unplus efficace queT2si