[PDF] [PDF] Estimations et intervalles de confiance - Institut de Mathématiques

[PDF] Quelques rappels sur les intervalles de confiance - Cedric-Cnam

Les bornes de l'intervalle de confiance IC dépendent de l'échantillon, elles sont donc aléatoires Par abus de langage, On recherche dans la suite des fonctions pivotales particulières adaptées aux cas étudiés ce cas, la distribution de la moyenne empirique tend vers une loi normale d'après le théorème central limite

[PDF] Intervalles de confiance - Université de Rennes 1

s'intéresse la statistique est de décrire une loi de probabilité `a partir Donnons tout de suite des exemples archi-classiques de telles familles : Voici `a présent la définition mathématique d'un intervalle de confiance telle qu'on peut pour θ, toutes deux basées principalement sur l'utilisation du théor`eme limite central :

[PDF] Statistiques

Définition 1 3 1 La v a X suit une loi uniforme sur l'intervalle borné [a, b] si elle a Un résultat général de probabilité (le théor`eme central limite, TCL) justifie l'ap L'intervalle de confiance de la variance σ2 se calcule `a partir de l'échantillon 

[PDF] Estimation et tests statistiques, TD 5 Solutions

Exercice 1 – Dans un centre avicole, des études antérieures ont montré que la masse c) Donner un intervalle de confiance au niveau 95 , puis 98 , de la masse approcher cette loi par la loi normale N(np,√np(1 − p)), et donc F suit 

[PDF] Estimations et intervalles de confiance - Institut de Mathématiques

mations : intervalle de confiance d'une proportion, d'une moyenne si la variance qui ne suit plus une loi normale mais une loi dite de Student à n − 1 degrés

[PDF] Cours de Statistiques inférentielles

Une variable aléatoire réelle X suit une loi normale (ou loi gaussienne, loi de Corollaire 2 3 2 (Théorème central limite) Soit une suite (Xn) de variables aléatoires L'intervalle de confiance pour la moyenne d'une population de variance σ2 

[PDF] Lois normales

exemple la détermination d'intervalles de confiance), on cherche à approcher pour tout entier naturel non nul n, la variable aléatoire Xn suit la loi binomiale

[PDF] STATISTIQUE : ESTIMATION - Institut de Mathématiques de Bordeaux

Intervalle de confiance de la différence de deux moyenne 18 On suppose dans ce paragraphe que X suit la loi normale N(m, σ2) théorème central limite s'avère être un très bon outil, pour obtenir un intervalle de confiance asymptotique

[PDF] Intervalles de confiance - Mathieu Mansuy

1 2 Intervalle de confiance par l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev On considère une suite (Xn) de variables aléatoires i i d suivant la même loi de Bernoulli 

[PDF] Estimation: intervalle de fluctuation et de confiance

Confiance Th éorie approximation 1,96 ? intervalle ? Estimation Term 1 Estimation: intervalle de √np(1 − p)suit une loi normale N(0; 1) • Xn − np √ np(1 

[PDF] intervalle de confiance student

[PDF] intervalle de confiance d'une moyenne excel

[PDF] unité commerciale définition

[PDF] climat définition cycle 3

[PDF] definition de meteorologie

[PDF] unité commerciale physique et virtuelle complémentaire

[PDF] definition meteo

[PDF] dispense cap petite enfance

[PDF] deaes

[PDF] formule variance

[PDF] problème du second degré seconde

[PDF] bpjeps

[PDF] moyenne nationale bac francais 2017

[PDF] moyenne nationale math bac s

[PDF] moyenne nationale bac philo 2015

Estimations et intervalles de confiance

Estimations et intervalles de confiance

Résumé

Cette vignette introduit la notion d"estimateur et ses propriétés : ponctuelle de paramètres de loi : proportion, moyenne, variance. La connaissance des lois de ce estimateurs permet l"estimation par in- tervalle de confiance et donc de préciser l"incertitude sur ces esti- mations : intervalle de confiance d"une proportion, d"une moyenne si la variance est connue ou non, d"une variance.

Retour au

plan du cour s

1 Introduction

Le cadre est le suivant : on dispose de données observées (en nombre fini) et l"on désire tirer des conclusions de ces données sur l"ensemble de la popu- lation. On fait alors une hypothèse raisonnable : il existe une loi de probabilité sous-jacente telle que les "valeurs observables" des différents éléments de la population étudiée puissent être considérées comme des variables aléatoires indépendantes ayant cette loi. Un aspect important de l"inférence statistique consiste à obtenir des "esti- mations fiables" des caractéristiques d"une population de grande taille à partir d"un échantillon extrait de cette population. C"est un problème de décision concernant des paramètres qui le plus souvent sont : l"espérance mathématique ; la proportion p; la v ariance2. Ces paramètres sont a priori inconnus car la taille réelle de la population étant très grande, il serait trop coûteux de tester tous les éléments de la population. Ainsi, comme un échantillon ne peut donner qu"une information partielle sur la population, les estimations que l"on obtiendra seront inévitablement entachées d"erreurs qu"il s"agit d"évaluer et de minimiser autant que possible. En résumé, estimer un paramètre inconnu, c"est en donner une valeur ap-

prochée à partir des résultats obtenus sur un échantillon aléatoire extrait de lapopulation sous-jacente.

Exemple :Un semencier a récolté 5 tonnes de graines de Tournesol. Il a besoin de connaître le taux de germination de ces graines avant de les mettre en vente. Il extrait un échantillon de 40 graines, les dépose sur un buvard humide et compte le nombre de graines ayant évolué favorablement. On remarque que ce contrôle est de type destructif : l"échantillon ayant servi au contrôle ne peut plus être commercialisé. Il s"agit donc d"évaluer la proportionpdes graines de la population à grand effectif, présentant un certain caractèreX: succès de la germination. Même avec une population d"effectif restreint, un contrôle depne peut être calculée. Le modèle s"écrit commenréalisationsxide v.a.r. indépendantes de Ber- noulliXidéfinies par : X i=1si l"individuiprésente le caractèreX

0sinon.

Il est naturel d"estimerpparx

n=1n P n i=1xi;qui est la proportion des indi- vidus ayant le caractèreXdans l"échantillon. En effet, la LGN nous assure de la convergence en probabilité de la v.a.r.X=1n P n i=1Xivers l"espérance de X

1, c"est-à-direp;Xest l"estimateur de la proportionpetpest estimée par

la réalisationx ndeX. Dans l"expérience de germination, 36 graines ont eu une issue favorable avecxi= 1. La proportion estimée estx= 40=36 = 0;9 C"est une estimation diteponctuelle. D"autre part, dans toute discipline scien- tifique, il est important d"avoir une indication de la qualité d"un résultat ou encore de l"erreur dont elle peut-être affectée. Ceci se traduit en statistique par la recherche d"un intervalle, ditintervalle de confiance, dont on peut assurer, avec un risque d"erreur contrôlé et petit, que cet intervalle contient la "vraie" valeur inconnue du paramètre. Dans la suite nous nous intéresserons donc à deux types d"estimations : soit une estimation donnée par v aleurscalaire issue des réalisations des v.a.r.Xi: l"estimationponctuelle; soit une estimation donnée par un ensemble de v aleursappartenant à un intervalle : l"estimation parintervalle de confiancecontrôlé par un risque d"erreur fixéa priori.1

Estimations et intervalles de confiance

2 Estimation ponctuelle

2.1 Estimateur

Convergence

DÉFINITION1. - Unn-échantillon aléatoire issu d"une v.a.r.Xest un en- semble(X1;:::;Xn)denv.a.r. indépendantes et de même loi queX. Soitun paramètre associé à la loi deX, par exemple=E(X)ou= Var(X). À partir de l"observation d"un échantillon aléatoire(X1;:::;Xn), on souhaite estimer le paramètre. DÉFINITION2. - Un estimateurbndeest une fonction qui dépend unique- ment dun-échantillon(X1;:::;Xn). Il est dit convergent s"il est "proche" de au sens de la convergence en probabilité : pour tout >0, P jbnj> !n!+10:

Dans l"exemple de l"introduction, la quantité

1n P n i=1Xiest un estimateur convergent depet si, par exemple, on a observé21pièces défectueuses sur un lot de1500pièces prélevées, l"estimation ponctuelle depobtenue estx n= 21=1500 = 1;4%. Pour estimer l"espérancedes variables aléatoiresXi, on utilise la moyenne empiriqueX n=1n nquotesdbs_dbs2.pdfusesText_2