d) Représentation graphique : La courbe représentative de la fonction cube est appelée une cubique Cette courbe admet un centre de symétrie, le point O origine du repère En effet, pour un réel x , (– x)3 = – x3
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Conclusion : si deux nombres sont de même signe, la fonction cube préserve leur ordre Dans ce cas encore, la fonction cube 4) Courbe de la fonction cube
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Il s'agit dans un premier temps de déterminer le sens de variation de la fonction f définie par f (x) = x3 et de visualiser sa courbe représentative à l'aide de
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Définition : La fonction cube est la fonction f définie sur ℝ par ( ) = 2 Représentation graphique Remarque : Dans un repère orthogonal, la courbe d'
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3 tableau de signes de la fonction cube : valeur de x −∞ 0 +∞ signe de f(x) = x3 x3 = 0 ⇐⇒ x3 > 0 ⇐⇒ x3 < 0 ⇐⇒ x3 a le même que x 4 la courbe
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Sens de variation : Soit f une fonction affine définie sur R par f( )x ax b = + • Si a > 0 Remarque : La courbe représentant la fonction cube admet l'origine du
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Étudier le sens de variation d'une fonction sur un intervalle I consiste à montrer qu'elle est soit croissante, soit La courbe représentative de la fonction cube est
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Thématique(s) du programme : Maîtrise des fonctions de référence : Fonction cube Pré-requis : Ce travail met en jeu la fonction cube : courbe, variations,
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La fonction cube est croissante sur [0; +0 2 Courbe et tableau de variation sur R • Symétrie par rapport à 0
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COURS TERMINALE STD2A LES FONCTIONS DE RÉFÉRENCE
1. La fonction cube
a) Définition : C"est la fonction f définie sur ℝ par f(x) = x3 .Elle associe à un nombre réel son cube.
b) Variations : On utilise l"identité remarquable : a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2). Pour déterminer les variations de la fonction cube, on considère deux nombres réels a et b tels que 0 a < b ; alors a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2) ; le signe de a - b est strictement négatif puisque si a < b alors a - b < 0, et le signe de a2 + ab + b2 est strictement positif puisque 0 a < b. Le produit est donc négatif et a3 < b3 . La fonction cube conserve l"ordre des nombres sur [0 ; +∞ [, donc c"est une fonction strictement croissante sur [0 ; +∞ [.De même, si a < b
0 ; alors a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2) ; le signe de a - b est strictement négatif , et le signe de a2 + ab + b2 est strictement positif car somme de nombres positifs. Le produit est donc négatif et a3 < b3 . La fonction cube conserve l"ordre des nombres sur ] - ∞; 0], donc c"est une fonction strictement croissante sur ] - ∞; 0]. Elle est donc strictement croissante sur ℝ. c) Tableau de variations :On obtient alors le tableau de variations :
Il n"y a pas d"extremum.
d) Représentation graphique :La courbe représentative de la fonction
cube est appelée une cubique. Cette courbe admet un centre de symétrie, le point O origine du repère.En effet, pour un réel x , (- x)3 = - x3 . Le point M(x ; x3 ) et le point M"(- x ; - x3 ) sont symétriques par rapport au
point O. e) Comparaison de nombres et inéquations :Propriété
: cette propriété se déduit du tableau de variations de la fonction cube : pour tous réels a et b, si a b , alors : a3 b3 . Les cubes de deux nombres sont rangés dans le même ordre que ces deux nombres. Démonstration : on considère deux nombres réels a et b tels que a < b ; alors a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2) ; deux cas se présentent : si les deux nombres a et b sont positifs, alors a2 + ab + b2 est strictement positif si les deux nombres a et b sont négatifs, alors a2 + ab + b2 est aussi strictement positif (produit des signes et somme). Donc dans les deux cas, a2 + ab + b2 est strictement positif ; de plus (a - b) < 0 puisque a < b ; donc le produit (a - b)(a2 + ab + b2) est négatif, et a3 - b3 < 0, soit a3 b3 . f) Comparaison des réels x, x2 , x3 pour x > 0 :Propriété
: si 0 x 1 , alors x3 x2 x ; si x > 1 , alors x x2 x3 .La démonstration sera faite en exercice.
g) Fonction dérivée : La fonction dérivée de la fonction cube est la fonction définie sur ℝ par 3x2 . Cette fonction est positive sur donc la fonction est croissante sur .ℝ ℝ La tangente à la courbe au point d"abscisse 0 est horizontale.La tangente à la courbe en un point d"abscisse non nulle admet une tangente parallèle au point d"abscisse opposée.
x- ∞ +∞ f(x)+∞