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Fonction cube.

I) Définition

Soit ࢌ la fonction définie sur un Թ par :

Exemples :

= 8 A L@ 6 9 A 7 L 6 9 L 569

II) Etude de la fonction cube

1) Variations de f sur Թ La fonction ࢌ est strictement croissante sur Թ.

On peut reformuler le théorème ainsi :

Soit ࢇ et ࢈ deux nombres réels tels que ࢇ൏࢈ alors ࢌሺ ൏ࢌሺ࢈ሻ. Preuve. Soit deux réels ܽ et ܾ Tout d'abord montrons que ሺܽ െ ܾሻሺܽ En développant ሺܽ െ ܾሻሺܽ On a donc finalement :ሺࢇ െ ࢈ሻሺࢇ • Lorsque les deux nombres ࢇ et ࢈ ont le même signe : - Premier cas : on suppose ૙൑ࢇ൏࢈.

Alors ܽെܾ൏Ͳ et ܽ

Donc ሺܽ െ ܾሻሺܽ

On obtient donc ܽ

Donc finalement :

C'est-à-dire :

- Second cas: on suppose ࢇ൏࢈൑૙

Alors ܽെܾ

Or ܾܽest positif comme produit de deux nombres négatifs. ܽ et ܾ donc :

Donc ሺܽ െ ܾሻሺܽ

On obtient donc ܽ

Donc finalement :

C'est-à-dire :

Conclusion : si deux nombres sont de même signe, la fonction cube préserve leur ordre strict. • Lorsque les deux nombres ࢇ et ࢈ sont de signes différents : Si deux nombres sont de signes opposés, celui qui est négatif a son image négative, celui qui est positif a une image positive. Dans ce cas encore, la fonction cube préserve leur ordre strict.

2) Tableau de variations

ݔ െλ 0 + 0

3) Tableau de valeurs

࢞ -100 -10 -5 -2 -1 0 1 2 5 10 1 00 ࢌሺ࢞ሻ -1 000 000 -1 000 -125 -8 -1 0 1 8 125 1 000 1 000 000

4) Courbe de la fonction cube.

a) Courbe : On observe sur ce dessin que la courbe est symétrique par rapport à l'origine du repère. b) Explications: • La fonction cube est symétrique par rapport à l'origine du repère: Soit ݔ un nombre réel, son opposé െݔ a pour image :

donc ݂ሺെݔሻൌሺെͳ ൈ ݔሻൈሺെͳ ൈ ݔሻൈሺെͳ ൈ ݔሻ

donc ݂ሺെݔሻൌሺെͳሻൈሺെͳሻൈሺെͳሻൈݔൈݔൈݔ

donc ݂ሺെݔሻൌെͳൈݔ enfin ݂ሺെݔሻൌെ݂ሺݔሻ Conclusion : l'image de l'opposé de ࢞ est l'opposé de l'image de ࢞ Graphiquement cela a pour conséquence que la courbe est symétrique par rapport à l'origine du repère. • Comportement de la fonction lorsque les valeurs de ࢞ sont grandes

1°) Images de nombres entiers naturels.

࢞ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ࢌሺ࢞ሻ 0 1 8 27 64 125 216 343 512 729 A partir de ces résultats, on peut donner quelques conjectures concernant la fonction cube : Quand ݔ devient grand, ݂ሺݔሻ semble devenir très grand aussi

2°) Images de puissances de 10.

On utilise la règle de calcul : ൫ࢇ

Par exemple, pour ݔൌͳͲ

ൌ ͳͲͲͲͲ ൌ ݀݅ݔ݈݈݉݅݁, on obtient: Là encore la conjecture semble aussi se confirmer

3°) Images des nombres négatifs.

Exemple : ݂ሺെʹሻൌሺെʹሻൈሺെʹሻൈሺെʹሻൌͶൈሺെʹሻൌെͺ

On constate (voir tableau précédent au 1°) que ݂ሺെʹሻ est l'opposé de ݂ሺʹሻ.

Ce fait se généralise à tous les nombres négatifs, en vertu de la remarque suivante : Soit ݔ un nombre réel, son opposé െݔ a pour image :

donc ݂ሺെݔሻൌሺെͳ ൈ ݔሻൈሺെͳ ൈ ݔሻൈሺെͳ ൈ ݔሻ

donc ݂ሺെݔሻൌሺെͳሻൈሺെͳሻൈሺെͳሻൈݔൈݔൈݔ = െݔ

ainsi lorsque ࢞ devient très petit ࢌሺ࢞ሻ l'est aussi.

IV) Les problèmes que posent la fonction cube.

La fonction cube est présente au programme de la classe de première économique et sociale. A l'instar de la fonction racine carrée, elle présente deux difficultés spécifiques : • Un problème lié à la recherche d'antécédents ;

• Un problème lié à la notion de nombre dérivé.(Voir les fiches de cours sur la notion

de dérivé) La compréhension de ces problèmes est essentielle pour un élève de première. Ils sont les précurseurs de difficultés rencontrées dans le parcours des années suivantes sur l'étude de fonctions incontournables en mathématiques financières. Recherche d'antécédents pour la fonction cube.

Soit ࢇ un nombre réel donné.

Il relève de la classe de seconde de connaître la définition d'antécédent du nombre ܽ

On peut se convaincre de l'existence d'un antécédent du nombre ܽ cube à l'aide de la représentation graphique de celle-ci : On constate ici l'existence d'un antécédent de la valeur ܽ

Théorème :

Soit ࢇ un nombre réel et ࢞

un antécédent de ࢇ par la fonction cube. Alors, quel que soit ࢞ un nombre réel, si ്࢞࢞ , alors ࢌሺ࢞ሻ്ࢇ.

En d'autres termes, ࢞

est l'unique antécédent de ࢇ. Preuve. Soit ݔun nombre réel. Si ݔ്ݔ , alors ݔ൏ݔ ou ݔ൐ݔ Comme la fonction cube est strictement croissante, ݂ሺݔሻ൏݂ሺݔ ሻ ou, respectivement, ሻ. Donc ݂ሺݔሻ ് ݂ሺݔ ሻ, donc ݂ሺݔሻ ് ܽ Notation. L'unique antécédent de ܽ par la fonction cube est noté ξܽ Attention ! Ce nombre est du même signe que ܽ

Exemples : comme ݂ሺ͵ሻൌʹ͹, on peut affirmer que ʹ͹ admet ͵comme antécédent par

݂. En vertu du théorème précédent, c'est le seul.

On pourra donc noter :

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