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Matrices
ramène à des manipulations sur les matrices. Ceci est vrai en particulier pour la résolution des systèmes linéaires.
Dans ce chapitre,Kdésigne un corps. On peut penser àQ,RouC.1. Définition
1.1. DéfinitionDéfinition 1.
UnematriceAest un tableau rectangulaire d"éléments deK. Elle est dite detaillenpsi le tableau possèdenlignes etpcolonnes. Les nombres du tableau sont appelés lescoefficientsdeA.Le coefficient situé à lai-ème ligne et à laj-ème colonne est notéai,j.Un tel tableau est représenté de la manière suivante :
A=0 BBBBBB@a
1,1a1,2...a1,j...a1,p
a2,1a2,2...a2,j...a2,p
a i,1ai,2...ai,j...ai,p a n,1an,2...an,j...an,p1 CCCCCCAouA=ai,j
16i6n16j6pouai,j.
Exemple 1.
A=12 5
0 3 7 est une matrice 23 avec, par exemple,a1,1=1 eta2,3=7.Encore quelques définitions :Définition 2.
Deux matrices sontégaleslorsqu"elles ont la même taille et que les coefficients correspondants sont égaux.
L"ensemble des matrices ànlignes etpcolonnes à coefficients dansKest notéMn,p(K). Les éléments deMn,p(R)
MATRICES1. DÉFINITION2sont appelésmatrices réelles.1.2. Matrices particulières Voici quelques types de matrices intéressantes :•Sin=p(même nombre de lignes que de colonnes), la matrice est ditematrice carrée. On noteMn(K)au lieu de
Mn,n(K).
0 B BB@a1,1a1,2...a1,n
a2,1a2,2...a2,n............
a n,1an,2...an,n1 C CCA Les élémentsa1,1,a2,2,...,an,nforment ladiagonale principalede la matrice. Une matrice qui n"a qu"une seule ligne (n=1) est appeléematrice ligneouvecteur ligne. On la noteA=a1,1a1,2...a1,p.
De même, une matrice qui n"a qu"une seule colonne (p=1) est appeléematrice colonneouvecteur colonne. On
la note A=0 B BB@a 1,1 a2,1...
a n,11 C CCA.La matrice (de taillenp) dont tous les coefficients sont des zéros est appelée lamatrice nulleet est notée0n,p
ou plus simplement 0. Dans le calcul matriciel, la matrice nulle joue le rôle du nombre 0 pour les réels.
1.3. Addition de matricesDéfinition 3(Somme de deux matrices).
SoientAetBdeux matrices ayant la même taillenp. LeursommeC=A+Best la matrice de taillenpdéfinie
par c ij=aij+bij.En d"autres termes, on somme coefficients par coefficients. Remarque : on note indifféremmentaijoùai,jpour les
coefficients de la matriceA.Exemple 2.
SiA=32
1 7 etB=0 5 21alorsA+B=3 3 3 6
Par contre siB0=2
8 alorsA+B0n"est pas définie.Définition 4(Produit d"une matrice par un scalaire). Le produit d"une matriceA=aijdeMn,p(K)par un scalaire2Kest la matriceaijformée en multipliant chaque coefficient deApar. Elle est notéeA(ou simplementA).Exemple 3.SiA=1 2 3
0 1 0 et=2 alorsA=2 4 6 0 2 0 La matrice(1)Aest l"opposéedeAet est notéeA. LadifférenceABest définie parA+(B).MATRICES2. MULTIPLICATION DE MATRICES3
Exemple 4.
SiA=21 0
45 2etB=1 4 2 75 3
alorsAB=352 3 01 L"addition et la multiplication par un scalaire se comportent sans surprises :Proposition 1. Soient A, B et C trois matrices appartenant à M n,p(K). Soient2Ket2Kdeux scalaires. 1.
A +B=B+A : la somme est commutative,
2.A +(B+C) = (A+B)+C : la somme est associative,
3. A +0=A : la matrice nulle est l"élément neutre de l"addition,4.(+)A=A+A,
5.(A+B) =A+B.Démonstration.Prouvons par exemple le quatrième point. Le terme général de(+)Aest égal à(+)aij. D"après
les règles de calcul dansK,(+)aijest égal àaij+aijqui est le terme général de la matriceA+A.Mini-exercices.
1.SoientA=
7 20114
,B=1 2 32 3 13 2 1
,C=2160 33 12
,D=121 0 10 1 01 1 1,E=
1 23 08 6
. Calculer toutes les sommes possibles de deux de ces matrices. Calculer 3A+2Cet 5B4D. Trouvertel queACsoit la matrice nulle. 2.Montrer que si A+B=A, alorsBest la matrice nulle.
3. Que vaut0A? et1A? Justifier l"affirmation :(A) = ()A. Idem avecnA=A+A++A(noccurrences deA).2. Multiplication de matrices2.1. Définition du produit
Le produitABde deux matricesAetBest défini si et seulement si le nombre de colonnes deAest égal au nombre de
lignes deB.Définition 5(Produit de deux matrices). SoientA= (aij)une matricenpetB= (bij)une matricepq. Alors le produitC=ABest une matricenq dont les coefficientscijsont définis par :c ij=p X k=1a ikbkjOn peut écrire le coefficient de façon plus développée, à savoir : c ij=ai1b1j+ai2b2j++aikbkj++aipbpj. Il est commode de disposer les calculs de la façon suivante. 0 B B@ 1 C CA B A!0 BB@ 1
C CA0 B B@j j cij1 C CA ABMATRICES2. MULTIPLICATION DE MATRICES4Avec cette disposition, on considère d"abord la ligne de la matriceAsituée à gauche du coefficient que l"on veut
calculer (ligne représentée par desdansA) et aussi la colonne de la matriceBsituée au-dessus du coefficient que
l"on veut calculer (colonne représentée par desdansB). On calcule le produit du premier coefficient de la ligne par
le premier coefficient de la colonne (ai1b1j), que l"on ajoute au produit du deuxième coefficient de la ligne par le
deuxième coefficient de la colonne (ai2b2j), que l"on ajoute au produit du troisième...2.2. Exemples
Exemple 5.
A=1 2 3
2 3 4 B=0 @1 2 1 1 1 11 AOn dispose d"abord le produit correctement (à gauche) : la matrice obtenue est de taille22. Puis on calcule chacun
des coefficients, en commençant par le premier coefficientc11=11+2(1) +31=2(au milieu), puis les autres (à droite). 0 @1 2 1 1 1 11 A 1 2 3