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On appelle fonction racine carrée, la fonction définie sur l'intervalle [0 ; + ∞[ d' où – possède le même signe que – ( car √ √ ≥ 0 par définition ) La fonction est donc strictement croissante sur [0 ; + ∞[, 2) Tableau de variations et courbe :

[PDF] Tableau de variation :

et la fonction f n'a pas d'extrémum sur IR \{0} x ↦ x La fonction racine carrée est définie pour x 0 Tableau de variation : sur [ 0 ; + [ f est croissante f '(x) = 1 2 x

[PDF] fonction racine carree

tableau de valeurs, courbe, tableau de signes, tableau de variations, extremums sont donnés par l'activité précédente • pour résoudre algébriquement une 

[PDF] FONCTIONS DE REFERENCE - maths et tiques

Propriété : La fonction racine carrée est strictement croissante sur l'intervalle 0;+ ∞⎡⎣⎡⎣ On dresse le tableau de signes du trinôme −x2 +7x −10 :

[PDF] Fonction Racine carrée - Meilleur En Maths

La fonction racine carrée est strictement croissante sur [0; +∞[ On a donc le tableau de variation suivant: x 0 + ∞ f(x) Courbe représentative:

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b) Variations : Pour déterminer les variations de la fonction racine carrée, on considère deux nombres réels a et b tels que puisque si a < b alors a – b < 0, et le signe de a + b est strictement positif On obtient alors le tableau de variations :

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6 fév 2010 · 1 4 Fonctions se ramenant à la fonction carrée 3 1 Étude de la fonction racine carrée On obtient donc le tableau de variation suivant :

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15 fév 2016 · 4 4 2 Comparaison des fonctions carrée, identité et racine carrée 8 5 4 2 Tableau de variation et courbe d'une fonction 13

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Une série de tableaux de variations à connaître pour certaines fonctions usuelles : fonctions affines, carré, racine carrée, inverse, valeur absolue A Fonctions 

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13 août 2009 · Signe de la fonction f Selon l'équation de la fonction La fonction f est : Remplissez le tableau suivant en donnant les caractéristiques des deux fonctions présentées Trouver l'équation d'une fonction racine carrée

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TABLE DES MATIÈRES 1

Fonctions carrée et inverse.

Autres fonctions élémentairesPaul Milan

LMA Seconde le 6 février 2010

Table des matières

1 La fonction carrée

2

1.1 Fonction paire

2

1.2 Étude de la fonction carrée

3

1.3 Représentation de la fonction carrée

3

1.4 Fonctions se ramenant à la fonction carrée

4

1.5 Application

5

2 La fonction inverse

6

2.1 Fonction impaire

6

2.2 Étude de la fonction inverse

8

2.3 Représentation de la fonction inverse

8

2.4 Fonctions se ramenant à la fonction inverse

9

2.5 Application

10

3 La fonction racine carrée

11

3.1 Étude de la fonction racine carrée

11

3.2 Représentation

12

4 La fonction cube

13

4.1 Étude de la fonction cube

13

4.2 Représentation

14

4.3 Application

15 2

1 La fonction carrée

1.1 Fonction paireDéfinition 1On dit qu"une fonction f définie dans l"ensemble de définition Dfest

une fonction paire si et seulement si : 1) l"ensemble D fest symétrique par rapport à "zéro»

2)8x2Dfon a f(x)=f(x)Remarque :Dfdoit être symétrique par rapport à l"origine.

C"est à dire que six2Dfalorsx2Df.

Rf2gn"est pas symétrique. On ne peut pas comparerf(2) àf(2) (qui n"existe pas).

Par contreRf2;2gest symétrique.

Exemples :

2La fonctionfdéfinie surRpar :f(x)=x2est paire. En eet on a :

f(x)=(x)2=x2=f(x) etRest bien évidemment symétrique

2Soit les fonctionf1etf2les fonctions définies par :

f

1(x)=2x4+x21 etf2(x)=1x

21
Montrer que les fonctionsf1etf2sont paires sur leur ensemble de définition. f

1est définie surRdonc symétrique et :

f

1(x)=2(x)4+(x)21=2x4+x21=f1(x)

Doncf1est paire.

f

2est définie surRf1;1gdonc symétrique et :

f

2(x)=1(x)21=f2(x)

Doncf2est paire.

2Montrons que la fonctiongdéfinie surRparg(x)=x23xn"est pas paire. Pour

montrer que la proposition est fausse, trouvons un contre-exemple : g(2)=(2)23(2)=4+6=10 etg(2)=223(2)=46=2

Commeg(2),g(2), la fonctiongn"est pas paire.

D"autres fonctions que l"on a pas encore vues sont paires. C"est par exemple le cas de la fonction cosx

de puissances paires possèdent cette propriété.Propriété 1La courbe représentativeCfd"une fonction fonction paire f est symé-

trique par rapport à l"axe des ordonnée.paul milan6 février 2010lma seconde

1.2 Étude de la fonction carr´ee3Tout pointM(x;f(x)) de la courbeCfpossède un point symétrique

M

0(x;f(x)=f(x)) sur la courbe.

1.2 Étude de la fonction carréeDéfinition 2On appelle fonction carrée, la fonction définie surRpar :

f(x)=x2Propriétés :La fonction carrée est une fonction paire, donc sa représentation est symétrique par rapport à l"axe des ordonnées. Variation :Soit deux réelsx1etx2tels quex2>x1. Calculons alors la quantité : f(x2)f(x1)=x2 2x2 1 =(x2x1)(x2+x1) On sait quex2>x1doncx2x1>0. Le signe def(x2)f(x1) est du signe dex2+x1. Six2>x1>0 alorsf(x2)f(x1)>0 donc la fonction est croissante. Six10%+11.3 Représentation de la fonction carrée

Définition 3La représentation de la fonction carrée est une parabole de sommet O.Comme cette parabole est symétrique par rapport à l"axe des ordonnée, on cherchera

des points dont les abscisses sont positives. On complétera alors par les point symétriques. Tableau de valeurspaul milan6 février 2010lma seconde

1.4 Fonctions se ramenant`a la fonction carr´ee4x00,511,52

x

200,2512,254

On obtient alors la parabole suivante :

Remarque :La parabole était bien connue des grecs, soit donc bien avant la création du concept de fonction. Cette courbe fait partie de ce que les grec appelait les " conniques ». Elles correspondent aux section d"un cone par un plan. La parabole est

obtenue avec un plan parallèle à un génératrice du cone.1.4 Fonctions se ramenant à la fonction carrée

Définition 4On définit une fonction f surRpar : f(x)=ax2 La représentation de ces fonctions sont des paraboles. Les variations de f sont identiques à la fonction carrée lorsque a>0. La parabole est tournée vers le haut. Les variations de f sont contraires à la fonction carrée lorsque a<0. La parabole est tournée vers le bas.Variations : paul milan6 février 2010lma seconde

1.5 Application5a>0x10+1x

2+1& 0%+1a

2>a1a<0x10+1x

21
%0&1ja2j>ja1j Remarque :Une parabole de sommetS(x0;y0) a pour fonction associéefde la forme : f(x)=a(xx0)2+y0

1.5 Application

En géométrie, on appelle parabole une courbe constituée des point M équidistants d"un point F appelé foyer et d"une droite fixe.

1)Construction de la parabole

On donne le foyer de la paraboleF(0;1) et la droitedfixe d"équationy=1.Hest le

projeté orthogonal deMsur la droited. On obtient alors la figure suivante :Comme les pointMsont équidistants deFet de la droited, on peut écrire :

MF=MH Mest donc sur la médiatrice de [FH]. Pour tracer un pointM, on prend un point quelconqueHsur la droited. On trace ensuite la médiatrice de [FH].Mest alors l"intersection de cette médiatrice avec la perpendiculaire àdenH. Avec un logiciel,

on peut alors obtenir l"ensemble des pointsMlorsqueHparcourtd. On obtient alors :paul milan6 février 2010lma seconde

6 Remarque :On remarque que la médiatrice est alors la tangente enMà la parabole ainsi tracée.

2)Relation entre les coordonnées

On noteM(x;y) les coordonnées du pointM. On obtient alors les coordonnées de H(x;1). On calcule alors les distances au carréeMF2etMH2. MF

2=(xxF)2+(yyF)2=x2+(y1)2

MH

2=(xxH)2+(yyH)2=(y+1)2

De l"égalité des distances, on en déduit : x

2+(y1)2=(y+1)2

x

2+y22y+1=y2+2y+1

4y=x2 y=14 x2

On retrouve la fonctionf(x)=14

x2qui est représentée par un parabole.

2 La fonction inverse

2.1 Fonction impaireDéfinition 5On dit qu"une fonction est impaire sur son ensemble de définition Df

si, et seulement si : 1) l"ensemble D fest symétrique par rapport à "zéro»

2)8x2Dfon a f(x)=f(x)paul milan6 février 2010lma seconde

2.1 Fonction impaire7Exemples :

1) La fonction fdéfinie parf(x)=xsurRet la fonctiongdéfinie parg(x)=1x surR sont impaire. En eet : f(x)=x=f(x) g(x)=1x=1x =g(x) 2)

La fonction fdéfinie surRparf(x)=x3+2xx

2+1est impaire. En eet :

f(x)=(x)3+2(x)(x)2+1=x3+2xx

2+1=f(x)

3) P arcontre la fonction fdéfinie surRparf(x)=5x3 n"est pas impaire. Montrons le par un contre exemple : f(1)=2 etf(1)=8 doncf(1),f(1) Remarque :La fonction impaire tire son nom par le fait que les polynôme dont les

puissances sont uniquement impaires vérifient cette propriété.Propriété 2La courbeCfd"une fonction impaire f est symétrique par rapport à

l"origine du repère.Tout pointM(x;f(x)) de la courbeCfpossède un point symétrique M

0(x;f(x)=f(x)) sur la courbe.

Remarque :Toute courbe d"une fonction impaire, définie en 0, passe par l"origine.paul milan6 février 2010lma seconde

2.2 Étude de la fonction inverse82.2 Étude de la fonction inverse

Définition 6On appelle fonction inverse, la fonction définie surRpar : f(x)=1x Propriétés :La fonction inverse est une fonction impaire. VariationsSoit deux réels non nulsx1etx2tels quex2>x1. Calculons la quantité : f(x2)f(x1)=1x 21x
1 =x1x2x 1x2 commex2>x1alors le numérateur est négatif six2>x1>0 ou six1