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1 cos2 x −1−cotan 2 x = −1 sin2 x 2 Valeurs remarquables +π/2 dont l' image par sinus vaut x (Arcsin est une fonction) On a donc les relations suivantes :

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En particulier : cos(kπ)=(−1)k 2 FONCTIONS ARCSINUS, ARCCOSINUS ET ARCTANGENTE Arcsin x +Arccosx est constante sur [−1, 1] de valeur π 2

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Arctan, dérivée, valeurs particulières et limites, propriétés de convexités, inégalités classiques, limite remar- quable Arctan(x) x en 0 Compositions de tan et

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Soit x ∈ R On pose t = Arctan (x) de sorte que x = tan(t) et −π 2

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3 sept 2018 · 6 3 Fonction Arctangente (a) Sur la première ligne, les valeurs particulières de x obtenues aux définition puis des valeurs particulières 6

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arcsin 3 43 Exercice 4 13 Calculer la valeur exacte de sin 1 2 arcsin 7 25 Exercice 4 14 Simplifier Quel identités particulières obtient-t-on? Exercice 4 51

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f(x)=arcsin(x) g(x)=arccos(x) h(x)=arctan(x) a) Fonctions hyperboliques Cas particuliers : •Si n est un entier Sinus et cosinus : valeurs remarquables Non

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6 4 3 2 sin01 2p2 2p3 21
cos1p3 2p2 21
20 tan01p31p3??? ????? 2 ;p1 2 ;p2 2 ;p3 2 ;p4 2 ? ?? ????? ???cos??? ???? =12 tan??? ?????? ???Rnf2 ??????? ? ? ?????? ?limx!(2 +k)+tanx=1;? ?????? ?limx!(2 +k)tanx= +1? 2x? cos(x) = cosxcos(x) =cosxcos(+x) =cosx sin(x) =sinxsin(x) = sinxsin(+x) =sinx tan(x) =tanxtan(x) =tanxtan(+x) = tanx cos( 2 x) = sinxsin(2 x) = cosxtan(2 x) =1tanx= cotanx

2x+ sin2x= 1????cos??sin????? ?????

cos(a+b) = cosacosbsinasinb() cos(ab) = cosacosb+ sinasinb sin(a+b) = sinacosb+ sinbcosa() sin(ab) = sinacosbsinbcosa cos2x= cos2xsin2xsin2x= 2sinxcosx = 2cos 2x1 = 12sin2x cos

2x=1 + cos2x2

sin2x=1cos2x2 tan(a+b) =tana+ tanb1tanatanbtan(ab) =tanatanb1 + tanatanb cosacosb=12 (cos(ab) + cos(a+b)) sinasinb=12 (cos(ab)cos(a+b)) sinacosb=12 (sin(ab) + sin(a+b)) cosp+ cosq= 2cosp+q2 cospq2 cospcosq=2sinp+q2 sinpq2 sinp+ sinq= 2sinp+q2 cospq2

8x2I; g(f(x)) =x??8y2J; f(g(y)) =y :

?? ?? ????x2I??y2J?y=f(x),x=f1(y)? f

1(x)0=1f

0(f1(x)):

??????y=x? ?? ? ???? ?8x2[1;1];cos(arccosx) =x? ?????2[0;]??

8x2]1;1[;arccos(x)0=1p1x2:

2]0;[????sin >0??sin=p1cos2=p1cos2(arccosx) =p1x2? ?? ?? ????

;2 2 ;2 i? ;2 ]??? ???sin=x? ?? ? ???? ?8x2[1;1];sin(arcsinx) =x? ?????2[2 ;2

8x2]1;1[;arcsin(x)0=1p1x2:

;2 [?sin()0=cos6= 0? ???? ????x2]1;1[? arcsin(x)0=1cos(arcsinx)? ????= arcsinx?2]2 ;2 [????cos >0??cos= ;2 2 ;2 h? ;2 [??? ???tan=x? ?? ? ???? ?8x2R;tan(arctanx) =x? ?????2]2 ;2

8x2R;arctan(x)0=11 +x2:

;2 [?tan()0= 1 + tan26= 0???? ????x2R? arctan(x)0=11 + tan

2(arctanx)=11 +x2?

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