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Fonction logique : Expression de variables et d'opérateurs 1 1 1 1 AB CD Exercice Trouver la forme simplifiée des fonctions à partir des deux tableaux ?

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Master MEEF CAPES Maths Option Informatique

1http://liris.cnrs.fr/nicolas.pronost/UCBL/CapesInfo/

Hamid Ladjal

hamid.ladjal@univ-lyon1.fr hamid.ladjal@liris.cnrs.fr

Logique combinatoire et représentation

numérique des données 2 1) logique combinatoire

2)Circuits combinatoires

3)Représentation et codage des données

Plan

Logique combinatoire

Opérateurs de base

Propriétés

Circuits combinatoires

3 4

Introduction

circuitsélectroniques. Chaque circuit fournit une fonction logiquebien déterminée; opérations logiques ou arithmétiques (addition, soustraction,

Circuit

AF(A,B)

B 5 Pour concevoir et réaliserce circuit on doit avoir un modèle mathématique de la fonctionréalisée par ce circuit .

Ce modèle doit prendre en considération le

système binaire. Le modèle mathématique utilisé est celui de

Boole.

Introduction

Algèbre de Boole

1854 : Georges Boole propose une algèbre

Propositions vraies ou fausses

et opérateurs possiblesAlgèbre de Boole

Étude des systèmes binaires :

Possédant

(des sous ensembles : les circuits logiques)

Algèbre binaire

Définitions:

États logiques: 0 et 1, Vrai et Faux, H et L (purement symbolique)

Variable logique: Symbole pouvant prendre

comme valeur des états logiques (A,b,c, Out ...)

Fonction logique

( f = not(a)^ (c OR r.t) ) Propriétés indispensables aux systèmes logiques

Calcul propositionnel

8 Algèbre de Boole sur [0,1] = algèbre binaire

2 lois de composition interne(LCI)

1 application unaire

2 LCI : ET, OU

Somme (OU, Réunion, Disjonction)

s = a + b = a v b

Produit (ET, intersection, Conjonction)

s = a . b = ab = a ^ b

Application unaire :

Not (complémentation, inversion, négation, non) s = a = not(a) = a

Fonctions logiques

Fonction logiqueà n variables f(a,b,c,d,...,n)

[0,1]n [0,1] Une fonction logique ne peut prendre que deux valeurs

Les cas possibles forment un ensemble fini ( 2n)

Descriptions, preuves possibles par énumération comparer f(a,b,c,..n) et g(a,b,c,..,n) = comparer les tables représentant f et g La table de fonction logique = table de vérité 10

Opérateurs logiques de base

OU ( OR )

Le OUest un opérateur binaire ( deux variables) , à pour rôle de réaliser la somme logique entre deux variables logiques.

Le OU fait ladisjonction entre deux variables.

Le OU est défini parF(A,B)= A +B ( il ne faut pas confondre avec la somme arithmétique)

ABA + B

000 011 101
111
12

ET ( AND )

Le ETest un opérateur binaire ( deux variables) , à pour rôle de réaliser le Produit logique entre deux variables booléennes.

Le ETfait laconjonction entre deux variables.

Le ET est défini par: F(A,B)= A.B

ABA .B

000 010 100
111
13

NON ( négation )

NON: est un opérateur unaire ( une seule variable) qui à inverser

F(A)= NonA =

( lire : A barre ) A 01 10 A

Tables de vérité de ET, OU, NON

14 ab s = a + b 01 0 1 01 11 s = a . b ab01 0 1 00 01

S est vrai si a OU b

est vrai.

S est vrai si a ET b

sont vrais. a 0 1 1 0 s = a

S est vrai

si a est faux a b s

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

a b s

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

a s

0 1

1 0

Deux autres opérateurs : NAND,NOR

15 s = a b = a+b ab01 0 1 10 00

S est vrai si ni a, ni b

ne sont vrais.

NOR (Not-OR)

ab s = a b = a.b 01 0 1 11 10

S est vrai si a OU b

est faux.

NAND (Not-AND)

NAND et NOR ne sont pas associatifs

Encore un opérateur : XOR

S est vrai si a OU b est vrai mais pas les deux.

XOR (Ou-Exclusif)vaut 1 si a est différent de b

Opérateur de différence (disjonction)

Encore un opérateur : XOR

17 18

Simplification des fonctions logiques

Simplification /optimisation ?

Méthodes "classiques» de simplifications :

-pas de solution unique -indépendant de la technologie technologiques. 20

Simplification des fonctions logiques

réduire le nombre de termesdans une fonction et de réduire le nombre de variablesdans un terme Cela afin de réduire le nombre de portes logiquesutilisées réduire le coût du circuit Plusieurs méthodes existent pour la simplification :

La Méthode algébrique

Les Méthodes graphiques : ( ex : tableaux de karnaugh )

Propriétés de ET,OU,NON

Commutativité

a+b = b+a a.b = b.a

Associativité

a+(b+c) = (a+b)+c a.(b.c) = (a.b).c

Distributivité

a.(b+c) = a.b+a.c a+(b.c) = (a+b).(a+c)

Idempotence

a+a = a a.a = a

Absorption

a+a.b = a a.(a+b) = a

Involution

a = a

Propriétés de ET,OU,NON

Elément neutre

a+0 = a a.1 = a

Elément absorbant

a+1 =1 a.0 = 0

Inverse

a+a= 1 a.a= 0

Théorème de "De Morgan"

a+b = a . b a.b = a + b

Théorème du Consensus

a.x+b.x+a.b = a.x+b.x (a+x)(b+x)(a+b)=(a+x)(b+x) i i i iquotesdbs_dbs14.pdfusesText_20

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Hamid Ladjal

Logique combinatoire et représentation

2)Circuits combinatoires

3)Représentation et codage des données

Logique combinatoire

Opérateurs de base

Propriétés

Circuits combinatoires

Introduction

Circuit

AF(A,B)

Ce modèle doit prendre en considération le

Boole.

Introduction

Algèbre de Boole

1854 : Georges Boole propose une algèbre

Propositions vraies ou fausses

Étude des systèmes binaires :

Possédant

Algèbre binaire

Définitions:

Variable logique: Symbole pouvant prendre

Fonction logique

Calcul propositionnel

2 lois de composition interne(LCI)

1 application unaire

2 LCI : ET, OU

Somme (OU, Réunion, Disjonction)

Produit (ET, intersection, Conjonction)

Application unaire :

Fonctions logiques

Fonction logiqueà n variables f(a,b,c,d,...,n)

Les cas possibles forment un ensemble fini ( 2n)

Opérateurs logiques de base

OU ( OR )

Le OU fait ladisjonction entre deux variables.

ABA + B

ET ( AND )

Le ETfait laconjonction entre deux variables.

Le ET est défini par: F(A,B)= A.B

ABA .B

NON ( négation )

F(A)= NonA =

Tables de vérité de ET, OU, NON

S est vrai si a OU b

S est vrai si a ET b

S est vrai

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

0 1

1 0

Deux autres opérateurs : NAND,NOR

S est vrai si ni a, ni b

NOR (Not-OR)

S est vrai si a OU b

NAND (Not-AND)

NAND et NOR ne sont pas associatifs

Encore un opérateur : XOR

S est vrai si a OU b est vrai mais pas les deux.

Opérateur de différence (disjonction)

Encore un opérateur : XOR

Simplification des fonctions logiques

Simplification /optimisation ?

Méthodes "classiques» de simplifications :

Simplification des fonctions logiques

La Méthode algébrique

Propriétés de ET,OU,NON

Commutativité

Associativité

Distributivité

Idempotence