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Multiplication et division
1) Typologie des problèmes
On peut représenter les problèmes sous forme de schéma avec les lettres A, B, C, D. L'inconnue est A, B, C ou D.
Situation de proportion simple avec présence de l'unitéProblème de multiplication
" J'ai collé 32 timbres sur chaque page d'un album de 14 pages. Combien y a-t-il de timbres dans l'album ? »1 ࢻ 32
14 ࢻ D
D = B x C
Problème de partage
" la valeur d'une part » = division partition, on partage un nombre par un autre. " J'ai collé 448 timbres dans un album de 14 pages. Il y a le même nombre de timbres sur chaque page. Combien y a-t-il de timbres sur chaque page ? »1 ࢻ C
14 ࢻ 448
D = B x C ou D = (B x C) + r (r compris entre 0 et B)Problème de groupement
" le nombre de parts» = division quotition, on cherche combien de fois un nombre est contenu dans un autre. " J'ai collĠ 448 timbres dans un album. Il y a 14 timbres sur chaque page. Combien de pages ont été remplies ? »1 ࢻ 14
B ࢻ 448
D = B x C ou D = B x C + r (r compris entre 0 et C) Situation de proportion simple sans présence de l'unitĠA ࢻ B
C ࢻ D
Ces problèmes sont résolus en faisant intervenir des procédures liées à la proportionnalité.
objet A ࢻ (C fois plus ou C fois moins) ࢻ objet BSituation de produit de mesures
Problème de multiplication " Quel est le nombre de carreaux d'une page quadrillée de 25 sur 60 carreaux ? »
Modélisation : tableau à double entrée.
Problème de division
" Jean a 4 chemises différentes. Combien doit-il acheter de pantalons pour avoir 20 façons de s'habiller ? »Modélisation : équation (20 = 4 * x)
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2) Procédures de résolution
Problèmes de multiplication
Proportionnalité simple avec présence de l'unité J·ML MŃOHPp 6 NRvPHV GH 4 ŃUM\RQV. Combien ai-je de crayons ? ༃ Utiliser un support ou un schéma ࢻ avec des bâtons par ex. ༄ Faire des additions ࢻ 6 + 6 + 6 + 6 = 24 ༅ Faire des multiplications ࢻ 6 x 4 = 24 J·ai acheté 48 boîtes de 6 crayons. Combien ai-je de crayons ? ༃ Faire des additions (procédure coûteuse !) en regroupant les termes ༄ Faire une multiplication ࢻ 48 x 6 = 288 J·ai acheté 48 boîtes de 34 crayons. Combien ai-je de crayons ? ༄ Faire une multiplication avec éventuellement une calculatrice ࢻ 48 x 34 = 1632Produit de mesures
Combien puis-je composer de menus différents avec 3 entrées, 4 plats et 2 desserts ? ༃ Écriture de tous les couples possibles ༄ Arbre de dénombrement ༅ Tableau à double entrée ༆ Raisonnement (à chaque entrée on associe 4 plats, ce qui donne 4 x 3, etc.)Problèmes de division
On range 273 ±XIV dans des boîtes de 12. Combien de boîtes peut-on remplir ?༇ Pose de la multiplication à trou ࢻ c'est souvent une première étape vers une procédure plus élaborée
༉ Essais par approches successives ࢻ 12 x 30 puis 12 x 25 puis 12 x 15 puis 12 x 20... pour se rapprocher de 273.
༊ Quotients partiels au hasard ࢻ l'élève fait un essai de multiple puis retire ce multiple au dividende. Il recommence
་ Quotients partiels au hasard avec des multiples de 10. ༌ Utilisation de la division.X et Y petits
X grand et Y petit
X et Y grands
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Reconnaître si un nombre est un multiple de n
༃ Chercher si le nombre dans la table de multiplication " prolongée » ༄ Essayer des nombres k tels que n x k soit égal au nombre cherché ༅ Diviser le nombre donné par n pour voir si le reste est nul ༆ Utiliser une propriété connue ࢻ les multiples de 5 se terminent par 0 ou 5, etc.3) Variables didactiques
Pour tous les problèmes : - la familiarité avec le contexte Pour les problèmes résolus avec une multiplication ou une divisionͻ Type de problème : les " proportion simple » sont plus faciles que les " problèmes de mesure ».
ͻ Types de nombres utilisés : les nombres décimaux à virgule sont problématiques.ͻ Taille des nombres
ͻ Outils de calculs disponibles ou non
Pour les problèmes résolus avec une divisionͻ Edžistence ou non d'un reste
4) Erreurs et difficultés fréquentes
Pour les problèmes avec des nombres entiers uniquementͻ Erreur dans le choix de la procédure de résolution : due au contexte ou à l'énoncé, quand certains mots prêtent à
ͻ Erreur dans l'exécution de la procédure ou dans l'interprétation de calculs effectués
ͻ Erreurs de calcul
Pour les problèmes avec des nombres à virguleͻ Difficulté à faire intervenir la multiplication : dans des problèmes du type " Un kilo de sucre coûte 5,70 Φ. J'ai acheté
0,735 kilos de sucre. Combien ai-je payé ? », les élèves ont du mal à voir qu'il faut multiplier 5,70 par 0,735.
ͻ Difficulté lorsque " la division ne s'arrête pas » : c'est le cas de 12/13 par exemple. Il faut donner une réponse
forcément imprécise.ͻ Diviser un entier par un nombre à virgule n'est pas au programme de primaire. Il faut trouver de nouvelles procédures
pour ce type de problèmes (ex : Combien de fois je peux avoir 9,25 dans 74 ? Au lieu de diviser simplement 74 par 9,25).
Difficultés dans les calculs de la multiplication ͻ Distributivité, commutativité, associativité de la multiplicationͻ Techniques opératoires :
- les tables ne sont pas parfaitement mémorisées - la décomposition en base 10 n'est pas automatiqueDidactique en pratique
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- les retenues sont mal gérées (certains élèves les traitent comme celles des additions) - les calculs ne sont pas faits dans l'ordre - le " décalage » qui correspond à l'existence d'un 0 n'est pas pris en compte.Difficultés dans les calculs de la division
ͻ La diǀision fournit deux résultats qu'il faut interpréter : le quotient et le resteͻ Techniques opératoires :
- il faut considérer le dividende " de gauche à droite » - la division exige d'effectuer simultanément des divisions, multiplications, soustractions - si on ne pose pas les soustractions partielles, le calcul devient très complexe - les chiffres écrits pour le quotient sont provisoires et peuvent changer !Difficultés dans la notion de multiple
ͻ Confusion multiple et multiplication : 24 est-il un multiple de 3 ? ࢻ 24 x 3 ͻ Si Y est multiple de X, cela ne veut pas dire que X est multiple de Yͻ Extension abusive des propriétés de certains nombres : 18 est multiple de 4 car 8 est dans la table de 4.
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