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?Corrigé du baccalauréat S Asie 18 juin 2013?

EXERCICE15points

Commun à tous les candidats

PartieA

1.Le grossiste a deux fournisseurs et il y a dans chaque boîte des traces de pesticides ou non. On

a donc un arbre 2×2 : A 0,8? S 0,1 S0,9 B 0,2? S 0,2 S0,8

2. a.En suivant la quatrième branche :

p?

B∩

S? =p(B)×pB?S? =0,2×0,8=0,16. b.On calcule de même : p?

A∩

S? =p(A)×pA?S? =0,8×0,9=0,72. {A;B} étant une partition de l"univers, on a donc : p? S? =p?

A∩S?

+p?

B∩S?

=0,72+0,16=0,88.

3.Il faut donc calculer :

p

S(B)=p(S∩B)

p(S).

On a vu quep?

S? =0,88, doncp(S)=1-p?S? =0,12.

DoncpS(B)=0,2×0,2

0,12=412=13≈0,33 au centième près.

PartieB

1.On a vu que la probabilité de tirer une boîte de façon aléatoire dans le stock du grossiste sans

trouver de pesticides est égale à 0,88. C"est une épreuve de Bernoulli.

Répéter de façon indépendante 10 fois cette expérience est donc une épreuve de Bernoulli de

paramètresn=10 etp=0,88. La variableXsuit donc une loi binomialeB(10 ; 0,88).

2.Il faut trouverp(X=10)=?1010?×0,8810×(1-0,88)10-10=0,8810≈0,28 au centième près.

3.Il faut trouver :

p(X?8)=p(X=8)+p(X=9)+p(X=10)=?10

8?×0,888×(1-0,88)10-8+?10

0,233043+0,379774+0,278501≈0,891318≈0,89 au centième près

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

PartieC

1.On vérifie tout d"abord que :•n=50 et 50?30;

•np=50×0,88=44 et 44?5;

•n(1-p)=50×0,12=6 et 6?5.

On sait qu"alors l"intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% est égale à : I f=?

0,88-1,96×?

0,88×(1-0,88)?50; 0,88+1,96×?

0,88×(1-0,88)?50?

,d"oùaucentièmeprès: I f=[0,79 ; 0,98].

2.L"inspecteur de la brigadede répression constate une proportion de lots sans pesticides de

50-12

50≈0,76. Or 0,76?If, donc il doit constater au risque de 5% que la publicité est men-

songère.

EXERCICE26points

Commun à tous les candidats

PartieA

Voir la figure.

PartieB

1. a.Le coefficient directeur de la tangente à la courbeCfau point A est égal àf?(a). Or

f ?(x)=ex, doncf?(a)=ea.

b.De même le coefficient directeur de la tangente à la courbeCgau point B est égal àg?(b).

Org?(x)=-(-e-x), doncg?(b)=e-b.

c.Si les deux tangentes sont égales le coefficient directeur deleurs équations réduites sont

égaux, soit :

f ?(a)=g?(b)??ea=e-bet par croissance de la fonction logarithme népérien : a=-b??b=-a.

2.Une équation réduite de la tangente à la courbeCfau point A est égale à :

y-ea=ea(x-a)??y=xea+ea(1-a). Une équation réduite de la tangente à la courbeCgau point B est égale à : y-?1-e-b?=e-b(x-b)??y=xe-b+1-e-b-be-b.

Ou en remplaçant-bpara:

y=xea+1-ea+aea??y=xea+1+ea(a-1).

Si les deux tangentes sont égales, leurs équations réduitessont les mêmes. On a déjà vu l"éga-

lité des coefficients directeurs. Les ordonnées à l"originesont aussi les mêmes soit : e

Doncaest solution de l"équation dansR:

2(x-1)ex+1=0.

PartieC

Asie218 juin 2013

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

1. a.SurR,?(x)=2xex-ex+1.

On sait que lim

x→-∞ex=0 et limx→-∞xex=0, d"où par somme de limite : lim x→-∞?(x)=1. La droite d"équationy=1 est asymptote horizontale à la courbe représentative de?.

On a lim

xto+∞(x-1)=+∞et limx→+∞ex=+∞, d"où par somme de limites : limx→+∞?(x)=+∞.

b.Somme de fonctions dérivable surR,?est dérivable surRet : ?(x)=2ex+2(x-1)ex=2xex. Comme, quel que soitx?R; ex>0, le signe de??(x) est celui dex. Donc sur ]-∞; 0[, ?(x)<0 : la fonction est décroissante sur cet intervalle et sur ]0 ;+∞[,??(x)>0 : la fonc- tion?est croissante sur cet intervalle. D"où le tableau de variations : c. x-∞0+∞ f ?(x)-0+

1+∞

-1f(x)

2. a.Sur ]-∞; 0] la fonction?est continue et strictement décroissante à valeurs dans [-1 ; 1].

Comme 0?[-1 ; 1] il existe un réel uniqueαde ]-∞; 0] tel quef(α)=0. Le même raisonnement sur l"intervalle [0 ;+∞[ montre qu"il existe un réel unique de cet intervalleβtel quef(β)=0. Donc l"équation?(x)=0 admet exactement deux solutions dansR. b.La calculatrice donne successivement :?(-2)≈0,18 et?(-1)≈-0,47, donc-2<α<-1; ?(-1,7)≈0,013 et?(-1,6)≈-0,05, donc-1,7<α<-1,6; ?(-1,68)≈0,001 et?(-1,67)≈-0,005, donc-1,68<α<-1,67; ?(-1,679)≈0,00041 et?(-1,678)≈-0,0002, donc-1,679<α<-1,678.

Conclusion au centième prèsα≈-1,68.

De la même façon on obtientβ≈0,77.

PartieD

1.Le coefficient directeur de la tangente en E àCfest eα.

Le coefficient directeur de la droite (EF) est :

1-eα-eα

-α-α=1-2eα-2α. Orαest solution de l"équation : 2(x-1)ex+1=0, autrement dit

2(α-1)eα+1=0??2αeα=2eα-1, d"où en revenant au coefficient directeur de la droite

(EF) :

1-2eα

-2α=-2αeα-2α=eα Conclusion : la droite (EF) est bien la tangente à la courbeCfau point d"abscisseαet la tan- gente à la courbeCgau point d"abscisse-α.

2.Le coefficient directeur de la tangente à la courbeCgau point d"abscisse-αest e-(-α)=eα.

On a vu dans la question précédente que la droite (EF) a pour coefficient directeur eαet contient le point F. Conclusion la droite (EF) est la tangente à la courbeCgau point d"abscisse-α.

Asie318 juin 2013

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

EXERCICE34points

Commun à tous les candidats

1. Affirmation1: VRAIE

On a--→AB?-?

3-2 ;-1?et--→AC?-1 ;?3-2?.

D"où--→AC=?2-?

3?--→AB.

Les vecteurs sont colinéaires donc les points A, B et C sont alignés.

2. Affirmation2: FAUSSE

On calcule successivement :

EB

2=8 ; EC2=8 et ED2=19

4+2?3?=8.

Les points B, C et D ne sont pas équidistants de E.

3. Affirmation3: VRAIE

Une équation du plan (IJK) estx+y+z=1. Un point commun à ce plan et à la droiteDa ses coordonnées telles que :

2-t+6-2t-2+t=1??5=2t??t=5

2. Ce point commun existe donc et a pour coordonnées -1

2; 1 ;12?

4. Affirmation4: VRAIE

(EFGH) est un carré donc le milieu T de [HF] est le milieu de [EG].

On a donc

-→ET=1

2--→EG.

En prenant par exemple le repère

A,--→AB ;--→AD ;-→AE?

calculons le produit scalaire :

·?--→EG+--→GC?

=?-→AE+1

2--→EG?

·?--→EG+--→GC?

Or ABCDEFGH est un cube, donc

-→AE·--→EG=0 et--→EG·--→GC=0.

De plus-→AE=---→GC et EG=c?

2,cétant la mesure du côté du cube.

Finalement :

-→AT·--→EC=-c2+1

2?c?2?2=-c2+c2=0.

Les vecteurs sont orthogonaux donc les droites (AT) et (EC) sont orthogonales.

EXERCICE45points

Candidatsn"ayantpas choisi l"enseignementde spécialité

PartieA

1.Initialisation: la relation est vraie au rang 0;

Hérédité: supposons que pour tout naturelptel queup>1. 1+3up

Par hypothèse de récurrence on a :

u p-1 et commeup>1, 3+up>4>0 donc son inverse1

3+up>0 et finalementup-13+up>0,

c"est-à-dire queup+1=1+3up

3+up>1

Conclusion : la propriété est vraie au rang 0, et elle est héréditaire à partir de tout rang, donc

d"après le principe de récurrence, pour tout entier natureln,un>1.

Asie418 juin 2013

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

2. a.Quel que soit le natureln,un+1-un=1+3un3+un-un=1+3un-3un-u2n3+un=1-u2n3+un=

1-un)(1+un)

3+un. b.On sait que quel que soit le natureln,un>1?u2n>12?1-u2n<0 et comme 3+un>0 et finalementun+1-un<0 ce qui signifie que la suite(un)est décroissante.

La suite

(un)est décroissante et minorée par 1 : elle convergevers une limite supérieure ou

égale à 1.

PartieB

1. i123 u0,8001,0770,976

2.Il semble que la suite converge vers 1 par valeurs alternativement supérieures et inférieures.

3. a.Vn+1=un+1-1

un+1+1=1+0,5un

0,5+un-1

1+0,5un

La suite

(vn)est donc géométrique de raison-1 3. b.On av0=2-1

2+3=13.

On sait qu"alors pour tout natureln,vn=1

3×?

-13? n

4. a.Quel que soit le natureln,?

-1 3? n ?1, doncvn?13et par conséquentvn?=1. b.vn=un-1 un+1??vn(un+1)=un-1??vnun+vn=un-1?? v nun-un+=-1-vn??un(vn-1)=-1-vnet commevn?=1, u n=-1-vn vn-1=1+vn1-vn. c.Comme-1<-1

3<1, on sait que limn→+∞?

-13? n =0, soit limn→+∞vn=0, donc d"après le résul- tat précédent lim n→+∞un=1 1=1.

EXERCICE45points

Candidatsayantchoisi l"enseignementde spécialité

PartieA

1. a.On a :?xE?=5

4×2+34×2

y E?=3

4×2+54×2???xE?=4

y

E?=4?xF?=5

4×(-1)+34×5

y F?=3

4×(-1)+54×5???xF?=5

2yF?=11

2?xG?=5

4×(-3)+34×3

y G?=3

4×(-3)+54×3???xG?= -3

2yG?=3

2 b.OE2=22+22=8, donc OE=2? 2. OE ?2=42+42=32, donc OE?=4?

2. Donc OE?=2OE.

OG

2=(-3)2+32=9+9=18, donc OG=3?

2;

Asie518 juin 2013

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

OG?2=?-32?

2+?32?

2=184, donc OG?=3?

2

2. Donc OG?=12OG.

On aA=?

5 4343
454?

PartieB

1.Il suffit d"écrire avant le FIN POUR : afficherx, affichery

2.Il semble que les cordonnées sont de plus en plus grandes touten se rapprochant (les points

images sont de plus en plus proches de la droitey=x.)

PartieC

1.Initialisation: pourn=1, on a bienA1=?

5 4343
454?
et :

1=20+1

22etβ1=20-122.

Hérédité: supposons que pour tout naturelptel que :Ap=?αpβp pαp? et p=2p-1+1

2p+1etβp=2p-1-12p+1.

La relationAp+1=A×Apentraîne que :

p+1=5

4αp+34βpet

p+1=3

4αp+54βp, soit en utilisant la relation de récurrence :

p+1=5 4? 2 p-1+12p+1? 34?
2 p-1-12p+1?

842p-1+2412p+1=2p+12p+2.

De même :

p+1=3 4? 2 p-1+12p+1? 54?
2 p-1-12p+1? =842p-1-2412p+1=2p-12p+2.

Donc les relations sont vraies au rangp+1.

On a donc démontré par récurrence que pour tout entier natureln?1, on a : n=2n-1+1

2n+1etβn=2n-1-12n+1.

2. a.L"égalité?xn

y n? =An?22? se traduit par : xn=2αn+2βn y n=2βn+2αn

On a quel que soit le natureln,xn=yn.

b.OE2n=x2n+y2n=2x2n; Avecxn=2αn+2βn=2?αn+βn?etαn+βn=2n, on obtient OE 2 n=2×4(2n)2=22n+3.

Or lim

n→+∞22n+3=+∞, donc limn→+∞OEn=+∞.

Asie618 juin 2013

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

Annexe

à rendreavecla copie

Exercice2

-1 -2 -31 234

1 2 3 4 5-1-2-3-4-5

O Cf Cg

Asie718 juin 2013

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