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13. Introduction a la abilite
MTH2302D
S. Le Digabel,
Ecole Polytechnique de Montreal
A2017 (v1)
MTH2302D: abilite1/30
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Plan
1. Introduction
2. Taux de panne
3. Distributions usuelles
4. Fiabilite des systemes
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1. Introduction
2. Taux de panne
3. Distributions usuelles
4. Fiabilite des systemes
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La theorie de la abilite sert a etudier l'aptitude de systemes a fonctionner correctement durant une periode donnee. Un dispositif peut se trouver dans l'un des deux etats suivants : I Apte a fonctionner correctement, c'est-a-dire en etat de service. I Inapte a fonctionner correctement, c'est-a-dire en panne ou hors-service.
Nous posons les hypotheses suivantes :
I Au depart, chaque dispositif est en etat de service. I Les defaillances se produisent generalement de facon aleatoire. Nous denissons laabilited'un dispositif pour une duree donnee comme etant la probabilite qu'aucune defaillance ne se produise pendant cette duree.
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I Etant donne que les defaillances se produisent de facon aleatoire, et an de pouvoir traiter le concept de abilite, nous associons a chaque dispositif une v.a. non negativeT representant la duree de vie (ou temps jusqu'a une panne) du dispositif. I Laabilitedu dispositif a l'instantt0est la probabilite qu'il fonctionne encore a l'instant t :
R(t) =P(T > t) = 1FT(t)2[0;1].
I CommeFTest une fonction croissante, la abiliteR(T)est une fonctiondecroissante. I
R(0) = 1etlimt!+1R(t) = 0.
I
P(t1< Tt2) =R(t1)R(t2).MTH2302D: abilite5/30
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I La v.a.Test generalement continue, mais elle peut parfois ^etre discrete, par exemple si elle represente le nombres de cycles d'operation. I SiTest continue, on notefsa densite, et si elle est discrete, on notepsa fonction de masse :P(T=t) =p(t)2[0;1]. I f(t) =F0T(t) =R0(t)0. I
Laduree de vie moyenne, ouMean Time To Failure
(MTTF), est donnee par=E(T). I
Si le systeme peut ^etre repare, on note :
I Mean Time Between Failures(MTBF) : temps moyen entre deux pannes. IMean Time To Repair(MTTR) : temps moyen de reparation.
IOn aMTBF=MTTF+MTTR.MTH2302D: abilite6/30
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I
Cas discret :
I
R(t) =P(T > t) =1P
i=t+1p(i) = 1FT(t) = 1tP i=0p(i). I =E(T) =1P i=0ip(i) =nouveau1 P i=0R(i). I
Cas continu :
I
R(t) =P(T > t) =1R
tf(s)ds= 1FT(t) = 1tR
0f(s)ds.
I =E(T) =1R
0tf(t)dt=
nouveau1 R
0R(t)dt.
Exemple 1 :Prouver que=1P
i=0R(i). Exemple 2 :ExprimerR(t)etsiTExp().MTH2302D: abilite7/30
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1. Introduction
2. Taux de panne
3. Distributions usuelles
4. Fiabilite des systemes
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Taux de panne (ou taux de defaillance)
I Le taux de panner(t)est deni pour que la quantiter(t)dt represente la probabilite qu'une machine fonctionnant encore aprestunites de temps tombe en panne durant lesdtunites de temps supplementaires. On considere quedtest petit. I r(t)dt=P(t < Tt+dtjT > t). I Le taux de panne est un bon indicateur de la valeur de la distribution comme modele de abilite tenant compte de l'usure. Lorsquetest assez grand,rdevrait ^etre strictement croissante. I
SiTest discrete,0r(k)1et
r(k) =p(k)P 1 j=kp(j)=p(k)R(k1)pourk2 f0;1;:::g.MTH2302D: abilite9/30
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Taux de panne : cas continu
I r(t)dt'f(t)dtR(t)et commef(t) =R0(t), on a r(t) =R0(t)R(t)0. I
On peut en deduire queR(t) = exp
tR
0r(x)dx
Exemple 3 :Exprimer le taux de panner(t)siTExp()et si
TGeom(p).
Exemple 4 :TrouverR(t),etr(t)siTUnif(a;b)aveca0.
Exemple 5 :Prouver queR(t) = exp
tR
0r(x)dx
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Taux de panne dans un intervalle
Le taux de panne d'un systeme dans un intervalle]t1;t2]est deni par
FR(t1;t2) =P(t1< Tt2jT > t1)t=1tR(t1)R(t2)R(t1)
avect=t2t1et0t1< t2.
Sitdevient tres petit :limt#0FR(t1;t2) =r(t1).
Exemple 6 :ExprimerFR(t1;t2)siTExp().MTH2302D: abilite11/30
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Taux moyen de panne
Le taux moyen de panne d'un systeme dans un intervalle]t1;t2]est deni par
AFR(t1;t2) =1tt
2Z t
1r(t)dt=1t[ln(R(t1))ln(R(t2))].
siTExp(),AFR(t1;t2) =.MTH2302D: abilite12/30
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1. Introduction
2. Taux de panne
3. Distributions usuelles
4. Fiabilite des systemes
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Distributions usuelles : loi normale tronquee
I
TN+(;).
I fT(t) =1p2cexp (t)222 pourt0et c= (1(=))1. I On peut montrer querest strictement croissante.MTH2302D: abilite14/30
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Distributions usuelles : loi exponentielle
Tres utilisee mais peu realiste a cause de son taux de panne constant. Elle est cependant souvent acceptable a condition de la considerer dans un intervalle de temps[t1;t2]ni. I
TExp()avec >0.
I f(t) =et. I
R(t) =et.
I r(t) =(constante). I
E(T) == 1=.
I
FR(t1;t2) =1e(t2t1)t
2t1. I
AFR(t1;t2) =.MTH2302D: abilite15/30
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Distributions usuelles : loi de Weibull
I
TW(;)avec >0et >0.
I f(t) =t1exp(t)pourt >0. I
W(;= 1) =Exp().
I
R(t) = exp(t).
I r(t) =t1. I rest croissante (IFR{Increasing Failure Rate) si >1et decroissante (DFR{Decreasing Failure Rate) si <1. Si = 1,rest constante (distribution exponentielle). I
FR(t1;t2) =1t
2t1
1exp((t
2t 1)) I
AFR(t1;t2) =(t
2t 1)t 2t1.
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Distribution de Weibull mixte
I Motivation :dans de nombreuses situations reelles, le taux de panne devrait d'abord decro^tre, puis stagner un certain temps, et enn augmenter. Ces trois phases correspondent auxpannes precoces, auxpannes aleatoires, puis a l'usure:r adopte une forme debaignoire.quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50
[PDF] 13 Introduction à la fiabilité - GERAD