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La plus petite valeur de l'entier m pour laquelle P(230 ⩽ X ⩽ m) ⩾ 0, 95 est m = 285 http ://www maths-france 2 c Jean-Louis Rouget, 2016 Tous droits

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10 oct 2016 · DS 08/11/2016 page 12 DV 17/11/2016 2° 1,5 3° 1,75 D'après ASIE Juin 2016 1 a représente TS Corrigé bac blanc 2017 Exercice 1 : A

S ASIE juin 2016

Exercice 1 5 points

Un maraîcher est spécialisé dans la production des fraises.

Cet exercice envisage dans la partie A la production des fraises, et dans la partie B leur conditionnement.

Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

Partie A : production de fraises

Le maraîcher produit ses fraises dans deux serres notées A et B ; 55 % des fleurs de fraisier se trouvent dans la

serre A. et 45 % dans la serre B. Dans la serre A, la probabilité pour chaque fleur de donner un fruit est égale

à 0,88, dans la serre B, elle est égale à 0,84.

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Une ré-

ponse non justifiée ne sera pas prise en compte.

Proposition 1 :

La probabilité qu'une fleur de fraisier, choisie au hasard dans cette exploitation donne un fruit est égale à 0,862.

Proposition 2 :

On constate qu'une fleur, choisie au hasard dans cette exploitation, donne un fruit. La probabilité qu'elle soit

située dans la serre A, arrondie au millième, est égale à 0,439.

Partie B : conditionnement des fraises

Les fraises sont conditionnées en barquettes. La masse (exprimée en gramme) d'une barquette peut-être modéli-

sée par une variable aléatoire X qui suit la loi normale d'espérance μ=250 et d'écart-type σ.

La représentation graphique de la fonction de densité de la loi de probabilité de la variable aléatoire X est don-

née ci-après.

1. On donne

P(X⩽237)=0,14. Calculer la probabilité de l'événement " lamasse de la barquette est comprise

entre 237 et 263 grammes ».

2. On note Y la variable aléatoire définie par : Y=X-250σ

a. Quelle est la loi de la variable aléatoire Y ? b. Démontrer que P (Y⩽-13σ)=0,14 c. En déduire la valeur de

σ arrondie à l'entier.

3. Dans cette question, on admet que σ vaut 12. On désigne par n et m deux nombres entierss.

a. Une barquette est conforme,si sa masse exprimée en gramme, se trouve dans l'intervalle [250-n;250+n].

Déterminer la plus petite valeur de n pour qu'une barquette soit conforme, avec une probabilité supérieure

ou égale à 95 %.

b. On considère dans cette question qu'une barquette est conforme si sa masse, exprimée en gramme, se trou-

ve dans l'intervalle [230;m]. Déterminer la plus petite valeur de m pour que la barquette soit conforme,

avec une probabilité supérieure ou égale à 95 %.

S ASIE juin 2016

CORRECTION

Partie A : production de fraises

On note :

A : " la fleur de fraisier choisie au hasard est située dans la serre A » B : " la fleur de fraisier choisie au hasard est située dans la serre B »

F : " la fleur de fraisier choisie au hasard donne un fruit »̄F : " la fleur de fraisier choisie au hasard ne donne pas de fruit »

L'énoncé précise :

" 55 % des fleurs de fraisier se trouvent dans la serre A et 45 % dans la serre B »

" Dans la serre A la probabilité pour chaque fleur de donner un fruit est 0,88 et dans la serre B elle est égale

à 0,84 »

Conséquences

P(A)=0,55 P(B)=P(̄A)=0,45

PA(F)=0,88 PA(̄F)=1-0,88=0,12

PB(F)=0,84 PB(̄F)=1-0,84=0,16

On construit l'arbre pondéré

Proposition 1 :

Justifications :

En utilisant l'arbre podéré ou la formule des probabilités totales

P(F)=P(A∩F)+P(B∩F)=P(A)×PA(F)+P(B)×PB(F)=0,55×0,88+0,45×0,84=0,484+0,378= 0,862.

Proposition 2 :

Justifications :

On considère PF(A)

PF(A)=P(A∩F)

P(F)=0,484

0,862=0,561 à 10-3 près

0,561≠0,439

Partie B

1. X suit la loi normale d'espérance μ=250 et d'écart-type σ donc :

P(X<+237)=P(X⩽250-13)=P(250+13⩽X)=P(263⩽X)=0,14 et

P(237⩽X⩽263)=1-2×0,14=0,72 On joint la représentation grapfique de la fonction de répartition

FAUSSE

S ASIE juin 2016

2.a. Y=X-250σ=X-μσ donc Y suit la loi normale centée est réduite.

b. (X⩽237)⇔

P(X⩽237)=0,14=P(Y⩽-13σ) En utilisant la calculatrice pour la loi normale centrée et réduite, on obtient :

P(Y⩽-1,08)=0,14

donc -1,08=-13σ σ=13

10,08=12 à l'entier près

3.a. Une barquette est conforme si sa masse ,exprimée en gramme, appartient à l'intervalle [250-n;250+n]

avec n un entier naturel. On veut déterminer le plus petit entier naturel n tel que P(250-n⩽X⩽250+n)⩾0,95 . Le cours nous donne le résultat suivant : si X suit la loi normale de moyenne

μ et d'écart-type σ alors

Pour l'exemple : P(250-2×12⩽X⩽250+2×12)=P(250-24⩽X⩽250+24)=0,95

Si h et k sont des entiers naturels tels que h<24 que P(250-h⩽X⩽250+h)b. Une barquette est conforme si sa masse , exprimée en gramme, appartient à l'intervalle [230;m].

On veut déterminer le plus petit entier naturel m tel que

P(230⩽X⩽m)⩾0,95.

En utilisant la calculatrice on obtient :

P(230⩽X⩽284)=0,9499

P(230⩽X⩽285)=0,9504 donc le plus petit entier naturel m tel que P(230⩽X⩽m)⩾0,95 est m=285.

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S ASIE juin 2016

Partie A : production de fraises

Proposition 1 :

Proposition 2 :

Partie B : conditionnement des fraises

1. On donne

2. On note Y la variable aléatoire définie par : Y=X-250σ

σ arrondie à l'entier.

3. Dans cette question, on admet que σ vaut 12. On désigne par n et m deux nombres entierss.

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CORRECTION

Partie A : production de fraises

On note :

L'énoncé précise :

à 0,84 »

Conséquences

P(A)=0,55 P(B)=P(̄A)=0,45

PA(F)=0,88 PA(̄F)=1-0,88=0,12

PB(F)=0,84 PB(̄F)=1-0,84=0,16

On construit l'arbre pondéré

Proposition 1 :

Justifications :

Proposition 2 :

Justifications :

On considère PF(A)

PF(A)=P(A∩F)

P(F)=0,484

0,862=0,561 à 10-3 près

0,561≠0,439

Partie B

1. X suit la loi normale d'espérance μ=250 et d'écart-type σ donc :

FAUSSE

S ASIE juin 2016

2.a. Y=X-250σ=X-μσ donc Y suit la loi normale centée est réduite.

P(Y⩽-1,08)=0,14

10,08=12 à l'entier près

3.a. Une barquette est conforme si sa masse ,exprimée en gramme, appartient à l'intervalle [250-n;250+n]

μ et d'écart-type σ alors

P(230⩽X⩽m)⩾0,95.

En utilisant la calculatrice on obtient :

P(230⩽X⩽284)=0,9499