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Soient x et y deux variables, on définit la fonction f(x, y) qui dépend de deux valeurs x et y f est donc une Exercice 1 : Déterminer le domaine de Exercice 5 : Trouver les points critiques (ou singuliers) des fonctions suivantes : f (x, y) = x2

Pour chacune des fonctions suivantes étudier la nature du point critique donné : Déterminer les points stationnaires de la fonction f de deux variables définie

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Exercice 1 Trouver les Solution Toutes les fonctions a),··· ,h) sont de classe C2 dans R2 parce que elles sont compo- Les deux points critiques sont P1 = (1 ,1) et P0 = (0,0) On calcule la Il existe une fonction d'une variable g : R+ ↦→ R

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Définition Les points critiques d'une fonction f de deux variables sont les points o `u son gradient s'annule Page 13 Points critiques : exemples Exemple Les

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AES 2013-2014

Fonctions a deux variables

1) Denition d'une fonction a deux variables :

Soientxetydeux variables, on denit la fonctionf(x;y) qui depend de deux valeursx ety.fest donc une fonction deRRdansR, c'est a dire qu'a un couple de valeurs deR elle associe une valeur dansR. Par exemple sif(x;y) =x2+y2alorsf(3;1) = 32+ 12= 10. L'ensemble de denition defest donc un sous ensemble deRR, c'est a dire un ensemble de couples (x;y) pour lesquels on peut calculerf(x;y).

Exercice 1 :

Determiner le domaine de denition des fonctions suivantes. f(x;y) =x3y4x

2+y2;f(x;y) =xy+xyxy

;f(x;y) =x2+yx+y2; f(x;y) =x3+y3x

2y2;f(x;y) =x4+y44x2y2:

Le dessin d'une fonction de deux variables sera en dimension 3, cela sera une surface. Une facon de visualiser cette surface est de construire des courbes de niveau comme on le fait dans les cartes topographiques.

Exercice 2 :

On appelle courbe de niveaucl'ensemble des points de coordonnees (x;y) veriantf(x;y) = cdans le plan (0;x;y). Dessiner les courbes de niveau pourc= 0;1;2 des fonctions suivantes : a)f(x;y) = 2xy4 b)f(x;y) =x2+y2 c)f(x;y) =xy.

2) Regle de derivation :

Pour une fonction a deux variables, on a deux derivees partielles premieres , l'une par rapportxet l'autre par rapport ay.

On denit :

@f(x;y)@x , on derive par rapport axen considerantycomme une constante. @f(x;y)@y , on derive par rapport ayen considerantxcomme une constante.

Par exemple pourf(x;y) = 3x2y, on a@f(x;y)@x

= 6xyet@f(x;y)@y = 3x2.

Exercice 3 :

Calculer les derivees partielles premieres pour les fonctions a deux variables proposees dans l'exercice 2. 1

Exercice 4 :

Determiner la productivite marginale par rapport axet la productivite marginale par rapport aypour les fonctions de production suivantes : a)z= 2x1=2y3: b)z=xy+ 7x2y36y+ 5: c)z= (xy)3:

3) Condition pour l'existence d'un extremum :

On cherche les couples (x;y) qui annulent les deux derives partielles@f(x;y)@x et@f(x;y)@y Les couples de valeurs (x;y) qui annulent les deux derives partielles sont appeles "point critique" ( ou point singulier) de la fonction. Les extremums de la fonction seront parmi les couples trouves ( il peut y en avoir plusieurs ou pas). Mais ceci n'est qu'une condition necessaire, c'est a dire qu'il peut y avoir parmi eux des couples qui ne conviennent pas.

Exercice 5 :

Trouver les points critiques (ou singuliers) des fonctions suivantes : f(x;y) =x2xy+y2+x+y+ 1; f(x;y) =x3+ 3x2y15x12y; f(x;y) = (1 +x)(1 +y); f(x;y) =x2+xyy2+ 3xy; f(x;y) = (1x)(1y)(x+y1); On cherche alors une condition susante, pour cela il faut utiliser les derives partielles d'ordre 2. On les note :

2f(x;y)@x

2: on derive a nouveau par rapport axl'expression@f(x;y)@x

2f(x;y)@x@y

: on derive par rapport ayl'expression@f(x;y)@x

2f(x;y)@y@x

: on derive par rapport axl'expression@f(x;y)@y

2f(x;y)@y

2: on derive a nouveau par rapport ayl'expression@f(x;y)@y

On obtient alors 4 derivees partielles d'ordre 2, un theoreme arme que sous des condi- tions de continuite, @2f(x;y)@x@y =@2f(x;y)@y@x , c'est a dire que l'ordre de derivation n'a pas d'importance.

On se place en un point critique de la fonctionf.

On calcule alors

H=@f2(x;y)@x

2@f2(x;y)@y

2@f2(x;y)@x@y

2 Cette expression peut ^etre une constante mais aussi dependre dexety. L'existence d'un extremum depend du signe deH. 2 - SiH >0, il y a un extremum et il y a deux sous cas : @2f(x;y)@x

2>0 c'est un minimum local,

@2f(x;y)@x

2<0 c'est un maximum local.

- SiH <0 c'est un col ( ou point selle). - SiH= 0, le critere est muet, c'est a dire qu'il faudrait regarder des derivees d'ordre superieur a 2.

Exercice 6 :

Etudier les minima et maxima des fonctions de base suivantes : a)f(x;y) =x2+y2. b)f(x;y) =x2y2 c)f(x;y) =xy.

3) Une batterie d'exercices :

Exercice 7 :

Etudier les minima et maxima des fonctions suivantes : a)f(x;y) =x3+y33xy. b)f(x;y) =x2xy+y2+ 3x2y+ 1.

Exercice 8 :

Soitf(x;y) = 2x23xyy2.

Trouver tous les points extremaux defet dire pour chacun d'eux s'il s'agit d'un maximum, d'un minimum ou d'un col.

Exercice 9 :

Soitf(x;y) =x23y24x+ 12y2xy.

Determiner les valeurs du couple (x;y) qui annulent les derivees partielles de premier ordre de la fonctionf. Donner la nature du point correspondant a ce couple.

Exercice 10 :

Soitf(x;y) =y3x3+ 147x27y.

Trouver tous les points extremaux def( il y en a 4) et dire pour chacun d'eux s'il s'agit d'un maximum, d'un minimum ou d'un col.

Exercice 11 :

On considere une bo^te sans couvercle de volume 1 (unite de volume) et dont les dimensions de la base rectangulaire sontxety. Soitfla fonction donnant l'aire des parois de la bo^te.

1) Montrer quef(x;y) =xy+2x

+2y

2) Existe-t-il de telles bo^tes d'aire aussi grande que l'on veut?

3) Le point critique de la fonctionfest-il un extremum? local ou absolu?

Exercice 12 :

Etudier les points extremaux des fonctions :

a)f(x;y) =x3xy2, b)f(x;y) =x2+y2xy+x+y. 3

Exercices pour les plus rapides

Exercice 1Soitf(x;y) =x2+y2+x3+xy.