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Chapitre n°5 : Les polynômes - Corrigé Exercices complémentaires Compétence exercée : expliciter des savoirs Exercice n°1 Sans réaliser les opérations

Déterminer les racines réelles et complexes de Allez à : Correction exercice 9 Exercice 10 Factoriser sur ℝ et sur ℂ le polynôme ( )

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Exercice 6 Quels sont les polynômes P ∈ C[X] tels que P divise P ? Exercice 7 Calculer pgcd(P, Q) lorsque : 1 P = X3 − X2 − X − 2 et Q = X5

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Exercice 19 14 Soit n ∈ N, montrer que le polynôme Pn =1+X + X2 2 + X3 3 + ···+ Xn n n'a pas de racine multiple Exercice 19 15 Déterminer λ

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Cours de mathématique 3ème année ² Institut Saint-Stanislas Exercices complémentaires : Les polynômes (Première partie) - Corrigé

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Chapitre n°5 : Les polynômes - Corrigé

Exercices complémentaires

Compétence exercée : expliciter des savoirs

Exercice n°1

Sans réaliser les opérations suivantes, indique le degré et le terme indépendant du résultat : a) (6x2 - 2x4 ² 17 + x) (2x2- x + 2) Degré : 6 Terme indépendant : -34 b) (2x ² 3) - (5x + 2) Degré : 1 Terme indépendant : -5 c) (7x3 ² 2x4 - 3)3 Degré : 9 Terme indépendant : -27

Exercice n°2

Calcule :

P(-3) = 2x4 ² 5x2 ² 6 + 2x3 ² 4x4 -2x4 + 2x3 ² 5x2 ² 6 -267 Q = -4x3 ² 5x2 + x ² 1 -2,25 ou -9/4 R = 3x3 ² (-2x2 + x) ² 7 3x3 + 2x2 ² x ² 7 12,86

Exercice n°3

Questionnaire à choix multiples :

a) Le reste de la division de 3x3 ² 2x2 + x ² 2 par x2 ² 2 est égal à 16.

Vrai Faux

b) IH GHJUp G·XQ SURGXLP GH GHX[ SRO\Q{PHV HVP pJMO ?????? des degrés de ces deux polynômes. au produit au quotient à la somme à la différence c) Diviser un nombre par 10-2 Ń·HVP OH PXOPLSOLHU SMU -100 Vrai Faux F·HVP OH PXOPLSOLHU SMU 100 Cours de mathématique 3ème année ² Institut Saint-Stanislas Exercices complémentaires : Les polynômes (Première partie) - Corrigé

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Compétence exercée : appliquer une procédure

Exercice n°4

Ecris en notation scientifique les nombres suivants, en arrondissant la mantisse au centième près : a) -457,1254000 -4,57 . 102 b) 7 . 102 . (-3,1 . 10-3) -2,17 c) 0,00056 . 105 . 0,4 . 109 2,24 . 1010

Exercice n°5

Ecris les nombres suivants en notation décimale : a) 3 . 103 . 5 . 10-7 0,0015 b)

30000000

c) 0,00025 . 10-5 . 7 . 109 17,5

Exercice n°6

Voici trois polynômes :

P(x) =

6xx2x3245

3x5 ² 2x4 + x2 + 6

Q(x) =

4)2x(x3x25

2x5 ² 3x2 ² 6x - 4

R(x) =

3x2x2 x443

-2x4 + 4x3 + 2x + 3 a) Quelle est la différence entre la somme de Q et R et P ? -x5 + 4x3 ² 4x2 ² 4x - 7 Cours de mathématique 3ème année ² Institut Saint-Stanislas Exercices complémentaires : Les polynômes (Première partie) - Corrigé

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b) Quel polynôme faut-il ajouter à P pour obtenir Q ? -x5 + 2x4 - 4x2 - 6x - 10 c) Quel polynôme faut-il retrancher de Q pour obtenir R ?

2x5 + 2x4 ² 4x3 ² 3x2 ² 8x - 7

d) Divise P par (x ² 3) par la méthode de Horner.

3 -2 0 1 0 6

3 Quotient = 3x4 + 7x3 + 21x2 + 64x + 192 Reste = 582 e) Divise R par x2 ² x + 1.

Euclide !

Quotient = -2x2 + 2x + 4 Reste = 4x - 1

Cours de mathématique 3ème année ² Institut Saint-Stanislas Exercices complémentaires : Les polynômes (Première partie) - Corrigé

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Exercice n°7

Effectue les opérations suivantes et ordonne ta réponse sans la compléter. a) -4x (7x ² 4) (3 + 5x2) = -140x4 + 80x3 -84x2 + 48x b) -2x (5x + 4) ² (9x2 + 7x ² 12) = -19x2 ² 15x + 12 c) (3x ² 5) (2x + 3) ² (4x ² 1) (x + 3) = 2x2 ² 12x - 12

Exercice n°8

Calcule en utilisant les produits remarquables quand cela est possible : a) (2x2- x)2 ² (-3x + 2x2)2 = 4x4 ² 4x3 + x2 ² 4x4 + 12x3 ² 9x2 = 8x3 ² 8x2 b) (-4x3 ² 2x2)2 = 16x6 + 16x5 + 4x4 c) (2x ² x2) (x2- 2x) ² (3x2 ² x)2 = - (-2x + x2) (x2- 2x) ² (3x2 ² x)2 = - (x2 ² 2x)2 -(3x2 ² x)2 = -x4 +4x3 ²4x2 ²9x4 + 6x3 ² x2 = -10x4 + 10x3 ² 5x2 d) (5x + 1) (25x2 + 1) (5x ² 1) = (25x2 ² 1) (25x2 + 1) = 625x4 - 1 e) (3x ² 4)3 = 27x3 ² 108x2 + 144x - 64 f) 27x6 ² 8 = (3x2 ² 2) (9x4 + 6x2 + 4) Cours de mathématique 3ème année ² Institut Saint-Stanislas Exercices complémentaires : Les polynômes (Première partie) - Corrigé

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Exercice n°9

Résous les équations suivantes en utilisant les produits croisés. a) 3 2x4 5 x9

S = {37/17}

b) 2 7 6 x5

S = {-4,2}

Exercice n°10

Effectue. Aucun exposant négatif ne doit subsister dans la réponse finale. a) (-4x-3y2z-1)-3 = b) 2 3 3 x 12 x 81 c) 3 02 6 yx 3 x5 d) 6x8y3 . (-2x-4y-3) = -12x4

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