Page 1 Mathématiques MPSI Pierron Théo ENS Ker Lann Page 2 2 Page 3 Table des matières I Algèbre 1 1 Ensembles 3 1 1 Vocabulaire général
Classe préparatoire MPSI Programme de mathématiques Table des matières Objectifs de formation 2 Descriptionetpriseencomptedescompétences
Page 1 Mathématiques MPSI Pierron Théo ENS Ker Lann Page 2 2 Page 3 Table des matières I Algèbre 1 1 Ensembles 3 1 1 Vocabulaire général
TOUT LE PROGRAMME EN UN SEUL VOLUME MATHS MPSI un seul ouvrage le programme de la première année MPSI des Classes Préparatoires aux
Résumé du cours en fiches Mathématiques Daniel Fredon MPsi•MP Ancien maître de conférences à l'université de Limoges
[PDF] programme mpsi maroc
[PDF] fonction de consommation keynésienne exercice
[PDF] fonction de consommation definition
[PDF] fonction d'investissement keynésienne
[PDF] fonction de consommation néoclassique
[PDF] corrigé bac lv1 anglais 2017
[PDF] fonction d'offre microéconomie
[PDF] seuil de fermeture wikipedia
[PDF] municipalité définition québec
[PDF] différence entre ville et municipalité
[PDF] mamrot répertoire municipalités
[PDF] qu'est ce qu'une municipalité
[PDF] carte région administrative québec
[PDF] analyse grammaticale des adverbes
[PDF] mucoviscidose a 60 ans
Mathématiques MPSI
Pierron Théo
ENS Ker Lann
2
Table des matièresI Algèbre1
1 Ensembles3
1.1 Vocabulaire général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Opérations sur les parties d"un ensemble . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Relations d"ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Applications7
2.1 Vocabulaire général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.1 Fonction et application . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.2 Restriction et prolongement d"applications . . . . . . .8
2.1.3 Composition d"applications . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.4 Image directe et réciproque de parties par une application 9
2.2 Injections, surjections, bijections . . . . . . . . . . . . . . .. . 10
2.2.1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.2 Étude des bijections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3 Le principe de récurrence13
3.1 Axiomes de Péano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2 Principe de récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4 Ensembles finis17
4.1 Notion d"ensemble fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.1.1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.1.2 Résultats essentiels sur les ensembles finis . . . . . . . 18
4.2 Analyse combinatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.2.1 Résultats généraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.2.2 Combinaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5 Arithmétique dansZ21
5.1 Structure additive deZ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5.2 PGCD et PPCM de deux entiers . . . . . . . . . . . . . . . . 22
i iiTABLE DES MATIÈRES
5.2.1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5.2.2 Entiers premiers entre eux . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.2.3 Algorithme d"Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.3 Nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
6 Le corps des réels29
6.1 Relation d"ordre surR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6.1.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6.1.2 Bornes supérieure et inférieure d"une partie deR. . . 30
6.2 Théorème de la borne supérieure . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6.2.1 Énoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6.2.2 Partie entière d"un réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
6.2.3 Notion d"intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
6.3 Droite numérique achevée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
7 Les complexes35
7.1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
7.2 Rappels sur les complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
7.2.1 Opérations dansC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
7.2.2 Conjugaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
7.2.3 Module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
7.3 Forme trigonométrique d"un complexe . . . . . . . . . . . . . . 37
7.3.1 Écriture trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
7.3.2 Calcul numérique d"un argument . . . . . . . . . . . . 38
7.4 Exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
7.4.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
7.4.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
7.4.3 Étude de formes trigonométriques . . . . . . . . . . . . 40
7.5 Racinesn-ièmes d"un complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
7.5.1 Définition et expression . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
7.5.2 Extraction des racines carrées d"un complexe sous forme
algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
7.5.3 Équation du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . 43
8 Géométrie plane45
8.1 Repérage d"un point dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . 45
8.1.1 Repère cartésien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
8.1.2 Orientation du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
8.1.3 Repérage polaire du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
8.2 Identification dePdansC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
8.2.1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
TABLE DES MATIÈRESiii
8.2.2 Représentation analytique complexe d"applicationsde
PdansP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
8.3 Outils géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
8.3.1 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
8.3.2 Produit mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
8.3.3 Un exercice corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
8.4 Étude des droites du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
8.4.1 Description d"une droite dans un repère quelconque . .53
8.4.2 Étude quand le repère d"étude est orthonormé direct . 55
8.4.3 Distance d"un point à une droite . . . . . . . . . . . . . 57
8.4.4 Angles de droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
8.5 Étude des cercles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
8.5.1 Repérage cartésien d"un cercle . . . . . . . . . . . . . . 58
8.5.2 Autres paramétrages d"un cercle . . . . . . . . . . . . . 61
8.5.3 Intersection droite-cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
9 Coniques65
9.1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
9.2 Ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
9.3 Hyperbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
9.3.1 Paramétrages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
9.3.2 Asymptotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
9.4 Parabole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
10 Courbes du second degré75
10.1 Changements de repères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
10.1.1 Effet d"une translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
10.1.2 Effet d"une rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
10.2 Étude deA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
11 Géométrie dans l"espace usuel 79
11.1 Repérage dansE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
11.1.1 Repère cartésien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
11.1.2 Orientation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
11.2 Outils géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
11.2.1 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
11.2.2 Produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
11.2.3 Produit mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
11.3 Plans de l"espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
11.3.1 Représentation dans un repère quelconque . . . . . . . 83
11.3.2 Dans un repère orthonormé . . . . . . . . . . . . . . . 84
ivTABLE DES MATIÈRES
11.4 Droites de l"espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
11.4.1 Dans un repère quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . 85
11.4.2 Distance d"un point à une droite . . . . . . . . . . . . . 87
11.4.3 Perpendiculaire commune à deux droites . . . . . . . . 88
11.5 Étude des sphères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
12 Groupes, anneaux, corps93
12.1 Lois de composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
12.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
12.1.2 Propriétés des lois de composition internes . . . . . . .93
12.1.3 Élements remarquables d"un ensemble . . . . . . . . . 94
12.1.4 Propriétés des lois associatives . . . . . . . . . . . . . . 95
12.1.5 Notations multiplicatives . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
12.1.6 Notations additives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
12.2 Groupes et morphismes de groupes . . . . . . . . . . . . . . . 96
12.3 Sous-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
12.4 Structure d"anneau et de corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
12.4.1 Définitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
12.4.2 Règles de calculs dans un anneau . . . . . . . . . . . . 100
13 Résolution de systèmes linéaires 103
13.1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
13.2 Pivot de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
13.2.1 Opération de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
13.2.2 Quelques exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
13.3 Compléments pour limiter les calculs . . . . . . . . . . . . . . 106
13.4 Compatibilité d"un système linéaire . . . . . . . . . . . . . . .107
14 Structure d"espace vectoriel 109
14.1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
14.2 Sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
14.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
14.2.2 Stabilité de la notion de sous-espace vectoriel . . . .. 112
14.2.3 Somme de sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . 114
14.3 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
14.3.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
14.3.2 Image directe et réciproque de sous-espaces vectoriels . 118
14.3.3 Équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
14.3.4 Structure deL(E,E?) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
14.4 Liens entre applications linéaires et sommes directes. . . . . . 120
14.4.1 Construction d"une application linéaire . . . . . . . . .120
TABLE DES MATIÈRESv
14.4.2 Projecteurs d"un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . 121
14.4.3 Symétries d"unK-espace vectoriel . . . . . . . . . . . . 123
15 Familles de vecteurs125
15.1 Décomposition d"un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
15.1.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
15.1.2 Familles génératrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
15.1.3 Familles libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
15.2 Bases d"un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
15.2.1 Définition et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
15.2.2 Existence de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
15.2.3 Notion de dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
15.2.4 Théorème fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
15.3 Étude pratique d"une famille de vecteurs . . . . . . . . . . . .132
15.4 Systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
16 Applications linéaires en dimension finie 137
16.1 Image d"une famille de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
16.1.1 Deux propositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
16.1.2 Image d"une base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
16.1.3 Théorème fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
16.2 Calcul de dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
16.2.1 Résultats généraux et applications directes . . . . . .. 140
16.2.2 Étude des suites récurrentes linéaires . . . . . . . . . . 140
16.3 Rang d"une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
16.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
16.3.2 Théorème du rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
16.3.3 Équations d"hyperplans . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
16.4 Description analytique d"une application linéaire . .. . . . . . 144
16.4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
16.4.2 Usage d"une représentation analytique . . . . . . . . . 145
16.4.3 Opérations sur les applications linéaires . . . . . . . .. 147
17 Sous-espaces vectoriels d"un espace vectoriel de dimension
finie151
17.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
17.1.1 Dimension d"un sous-espace vectoriel . . . . . . . . . . 151
17.1.2 Représentation d"un sous-espace vectoriel . . . . . . .. 152
17.2 Somme de sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . 152
17.2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
17.2.2 Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
viTABLE DES MATIÈRES
18 Calcul matriciel157
18.1 Vocabulaire général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
18.2 Opérations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
18.2.1 Addition et produit par un scalaire . . . . . . . . . . . 158
18.2.2 Multiplication de deux matrices . . . . . . . . . . . . . 158
18.2.3 Transposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
18.3 Le pivot de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
18.3.1 Outils de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
18.3.2 Pivot de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
18.3.3 Résolution d"un système linéaire . . . . . . . . . . . . . 161
18.3.4 Calcul d"un inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
18.4 Interprétation matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
18.4.1 Matrice d"une application linéaire . . . . . . . . . . . . 163
18.4.2 Traduction des égalités vectorielles . . . . . . . . . . . 164
18.4.3 Changement de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
18.5 Exemple de transformation algèbre/technique . . . . . . .. . 167
18.5.1 Transformation algébrique→technique . . . . . . . . . 167
18.5.2 Transformation d"un problème numérique . . . . . . . . 168
18.5.3 Application à la notion de rang d"une matrice . . . . . 169
19 Déterminant173
19.1 Le groupe des permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
19.2 Un peu de vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
19.3 Différentes notions de déterminant . . . . . . . . . . . . . . . 176
19.3.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
19.3.2 Déterminant d"une famille de vecteurs . . . . . . . . . 176
19.3.3 Déterminant d"une matrice carrée . . . . . . . . . . . . 177
19.3.4 Déterminant d"un endomorphisme . . . . . . . . . . . . 177
19.4 Calcul de déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
19.5 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
19.5.1 Orientation d"unR-espace vectoriel de dimension finie . 179
19.5.2 Calcul d"inverses de matrices . . . . . . . . . . . . . . . 181
19.5.3 Systèmes de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
20 Espaces euclidiens185
20.1 Produit scalaire sur un espace vectoriel réel . . . . . . . .. . . 185
20.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
20.1.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
20.1.3 Norme d"un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
20.2 Orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
20.2.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
TABLE DES MATIÈRESvii
20.2.2 Orthogonal d"une partie deE. . . . . . . . . . . . . . 188
20.2.3 Familles orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
20.3 Cas de la dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
20.3.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
20.3.2 Existence de bases orthonormées . . . . . . . . . . . . 190
20.4 Projection orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
20.4.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
20.4.2 Distance d"un vecteur à un sous-espace . . . . . . . . . 193
20.4.3 Orthonormalisation de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . 194
21 Groupe orthogonal197
21.1 Automorphisme orthogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
21.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
21.1.2 Caractérisations algébriques . . . . . . . . . . . . . . . 198
21.1.3 Caractérisation matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . 198
21.1.4 Structure deO(E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
21.2 Étude quand dim(E) = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
21.2.1 Étude deO(E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
21.2.2 Complément surSO(E) . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
21.3 Étude quand dim(E) = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
21.3.1 Complément surO(E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
21.3.2 Détermination pratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
22 Compléments de géométrie affine 207
22.1 Espaces affines réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
22.2 Sous-espaces affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
22.2.1 Définitions et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40
×
if you Get
No preview available Click on (Next PDF)
Next PDF