[PDF] [PDF] Statistique pour petits échantillons

[PDF] Statistique pour petits échantillons

Statistique pour petits échantillons Ecole Doctorale Concr`etement cette hypoth`ese nulle H0 signifie que l'effectif de l'échantillon considéré est faible devant 

[PDF] Tests statistiques élémentaires - Institut de Mathématiques de

une réponse du type rejet/acceptation de l'hypothèse statistique considérée La loi de H est tabulée pour de petits effectifs et, pour des effectifs plus importants  

[PDF] quelques Rep`eres en STATISTIQUES pour Doctorants

Statistiques inférentielles et tests Pour des petits échantillons d'effectif total n1 et n2 inférieurs `a 25, le test consiste `a comparer n1n2Dobs et une valeur seuil 

[PDF] Statistique pour petits échantillons

25 jui 2008 · Statistique pour petits échantillons Ecole Doctorale des effectifs sont inférieurs `a une fraction de 1/10 de la population Dans ce cas nous 

[PDF] Tests de normalité - Université Lumière Lyon 2

procéder au test statistique proprement dit devrait être incontournable, surtout pour les petits effectifs Fort heureusement, ce n'est pas une contrainte forte en 

[PDF] Tests paramétriques de comparaison de populations - Université

3 1 2 Test de comparaison, statistique du test et région critique 38 3 1 3 Un exemple 6 2 3 Région critique pour les petits effectifs

[PDF] Analyses statistiques principes de base Cours DESAR - Reanesth

22 mai 2017 · Petits effectifs: approche non paramétrique et test de Wilcoxon sur séries appariées ou test des rangs signés ◦ Variables qualitatives binaires: 

[PDF] Traitement statistique des petits échantillons - IMBE

en présence de petits effectifs • Calculer la taille des échantillons nécessaire pour un objectif expérimental donné • Mettre en œuvre les tests d'hypothèses 

[PDF] Introduction aux Statistiques non paramétriques

Introduction aux Statistiques non paramétriques d'après Eric égalité des variances, effectifs petits, etc Le premier a un effectif de n1, le second un effectif de 

[PDF] BioStick, anti - Anciens Et Réunions

[PDF] BIOSWING 780 Qi S

[PDF] BIOSYNERGIE : Bibliographie LIBRAIRIES - Des Bandes Dessinées

[PDF] Biosynthesis of polyhydroxyalkanoates (PHAs) - ETH E - France

[PDF] biotech creatine

[PDF] Biotechnologie

[PDF] biotechnologie dans le domaine agricoles: les ogm

[PDF] Biotechnologie Santé environnement - France

[PDF] BIOTECHNOLOGIE VEGETALE - Culture in vitro de cellules végétales

[PDF] Biotechnologies - Académie de Rennes - Anciens Et Réunions

[PDF] Biotechnologies - Espace Educatif - Rennes

[PDF] Biotechnologies de 4 génération

[PDF] Biotechnologies et ressources marines

[PDF] Biotechnologies Industrielles pour un Développement Durable - De L'Automobile Et Des Véhicules

[PDF] BIOTECON - dornier-ltf

Statistique pour petits ´echantillons

Ecole Doctorale des Sciences de la Vie et de la Sant´e

Universit´e Louis Pasteur

Module de formation

Fr´ed´eric Bertrand et Myriam Maumy

1

25 et 26 juin 20081

Institut de Recherche Math´ematique Avanc´ee, Universit´e Louis Pasteurmoe7, rue Ren´e Descartes, 67084 Strasbourg Cedexmoefbertran@math.u-strasbg.fr

moemmaumy@math.u-strasbg.fr 2 ´Ecole doctorale SVS - Session d"´et´e - 2008

Premi`ere partie

Notes de cours

Chapitre 1

Quelques tests non param´etriques.

11.1.Les tests non param´etriques sur un ´echantillon

Dans cette section nous nous int´eressons `a deux tests non param´etriques :-le test du signe et

-le test des rangs sign´es.

Nous utiliserons de pr´ef´erence le test des rangs sign´es d`es que les conditions de son utili-

sation sont remplies, sa puissance ´etant alors sup´erieure `a celle du test du signe.1.1.1.Test du signe

Soit un ´echantillon ind´ependant et identiquement distribu´eX1,...,Xnd"une loi continue Fdont la valeur m´ediane est not´eemeet la moyenneμ. Le test du signe permet de tester les hypoth`eses suivantes :

Hypoth`eses :H

0:me= 0 ou de fa¸con ´equivalenteP[Xi>0] =12

contre H

1:me?= 0 ou de fa¸con ´equivalenteP[Xi>0]?=12

.Remarque 1.1.1.La formulation de ce test est bien sˆur la formulation d"un test bilat´eral. Nous pouvons envisager les deux tests unilat´eraux correspondants.`A ce moment l`a, la formulation de l"hypoth`ese alternativeH1est diff´erente et s"´ecrit soit :1

Les r´ef´erences [10], [13] et [8] ayant servi `a l"´elaboration de ce document sont mentionn´ees dans la

bibliographie.Fr´ed´eric Bertrand et Myriam Maumy5

Chapitre 1. Quelques tests non param´etriques

H

1:P[Xi>0]<12

soit H

1:P[Xi>0]>12

.Remarque 1.1.2.Plus g´en´eralement ce test permet de tester l"hypoth`ese nulle H

0:me=m0ou de fa¸con ´equivalenteP[Xi>0] =pcontre

H

1:me?=m0ou de fa¸con ´equivalenteP[Xi>0]?=p.o`um0est un nombre r´eel etpest une constante comprise entre 0 et 1,

ou encore, dans la version unilat´erale, contre l"hypoth`ese alternativeH

1:me< m0ou encore, dans la version unilat´erale, contre l"hypoth`ese alternative

H

1:me> m0Pour cela il suffit de consid´erer l"´echantillonZ1,...,ZnavecZi=Xi-m0et de lui

appliquer le test d´ecrit ci-dessous. Statistique :Snd´esigne le nombre de variablesXi, 1?i?n, qui prennent une valeur

positive.Propri´et´es 1.1.1.Lorsque l"hypoth`ese nulleH0est vraie, la variable al´eatoireSnsuit

exactement une loi binomialeB(n,p)de param`etresnetp.

Concr`etement cette hypoth`ese nulleH0signifie que l"effectif de l"´echantillon consid´er´e est

faible devant celui de la population dont il est issu.Remarque 1.1.3.Nous pourrons prendre comme taille limite des ´echantillons dont les

effectifs sont inf´erieurs `a une fraction de 1/10 de la population. Dans ce cas nous pouvons assimiler les tirages r´ealis´es ici `a des tirages avec remise. Cas le plus souvent utilis´e : p =1/2.Nous nous proposons de tester :

Hypoth`eses :H

0:P[Xi>0] =12

contre H

1:P[Xi>0]?=12

.6 ´Ecole doctorale SVS - Session d"´et´e - 2008

1.1 Les tests non param´etriques sur un ´echantillon

Statistique :Snd´esigne le nombre de variablesXi, 1?i?n, qui prennent une valeur

positive.Propri´et´es 1.1.2.Lorsque l"hypoth`ese nulleH0est vraie, la variable al´eatoireSna les

trois propri´et´es suivantes :1.La variable al´eatoireSnsuit une loi binomialeB(n,1/2)de param`etresnet1/2. De

ce fait, d´ecoule les deux propri´et´es suivantes :2.E[Sn] =n/2.3.Var[Sn] =n/4. Cette distribution binomiale est sym´etrique. Pourngrand (n?40), nous pouvons utiliser l"approximation normale avec correction de continuit´e : P

H0[Sn?h] =PH0[Sn?n-h] =Φ(2h+ 1-n)⎷n

o`u Φ est la fonction de r´epartition d"une loi normale centr´ee r´eduite.D´ecision 1.1.1.Pour un seuilαdonn´e (=α= 5% = 0,05en g´en´eral), nous cherchons

le plus grand entiers?αtel queP[Y?s?α]?α/2o`uYsuit une loi binomialeB(n,1/2)de param`etresnet1/2. Alors nous d´ecidons :?H1est vraie siSn,obs/?]s?α,n-s?α[ H

0est vraie siSn,obs?]s?α,n-s?α[.Remarque 1.1.4.Le niveau de signification r´eel du test est alors ´egal `a 2P[Y?s?α] qui

est g´en´eralement diff´erent deα.Remarque 1.1.5.Pour voir un exemple, nous renvoyons `a la feuille de travaux dirig´es

qui sera trait´ee lors de la premi`ere s´eance de travaux dirig´es.1.1.2.Test des rangs sign´es de Wilcoxon

Soit un ´echantillon ind´ependant et identiquement distribu´eX1,...,Xnd"une loi continue Fdont la valeur m´ediane est not´eemeet la moyenneμ. Hypoth`eses :Le test des rangs sign´es permet de tester l"hypoth`ese nulleH

0: La loi continueFest sym´etrique en 0contre

H

1: La loi continueFn"est pas sym´etrique en 0.De plus, si nous savons que la loi continueFest sym´etrique, alors le test des rangs sign´es

de Wilcoxon devientH

0:μ=μ0contre

H

1:μ?=μ0.Iciμ0est un nombre r´eel et ce jeu d"hypoth`eses permet alors de s"int´eresser `a la moyenne

de la loi continueF.Fr´ed´eric Bertrand et Myriam Maumy7

Chapitre 1. Quelques tests non param´etriques

1.1.2.1.Cas o`u il n"y a pas d"ex aequo.

Soitx1,...,xnnr´ealisations de l"´echantillon pr´ec´edent.`A chaquexinous attribuons le rangraiqui correspond au rang de|xi|lorsque que lesnr´ealisations sont class´ees par ordre croissant de leurs valeurs absolues. Statistique :Nous d´eterminons alors la sommewdes rangsraides seules observations positives. La statistiqueW+ndes rangs sign´es de Wilcoxon est la variable al´eatoire qui prend pour valeur la sommew. Par cons´equent, la statistiqueW+ndes rangs sign´es de

Wilcoxon s"´ecrit

W +n=? 1?i?n X i>0R ai.Propri´et´es 1.1.3.Lorsque l"hypoth`ese nulleH0est vraie, la variable al´eatoireW+na les trois propri´et´es suivantes :1.W

+nest sym´etrique autour de sa valeur moyenneE[W+n] =n(n+ 1)/4.2.Var[W+n] =n(n+ 1)(2n+ 1)/24.3.Elle est tabul´ee pour de faibles valeurs den. Pourn?15, nous avons l"approxima-

tion normale avec correction de continuit´e : P ?W+n?w?= Φ? w+ 0,5-n(n+ 1)/4?n(n+ 1)(2n+ 1)/24?

o`uΦest la fonction de r´epartition de la loi normale centr´ee r´eduite.D´ecision 1.1.2.

-Premier cas :Pour tester l"hypoth`ese nulle"H0: La loi continueFest sym´etrique en 0»contre l"hypoth`ese alternative"H1: La loi continueFn"est pas sym´etrique en 0»pour un seuil donn´eα, nous cherchons l"entierwαtel queP[W+n?wα]≈α/2.

Alors nous d´ecidons :

?H1est vraie siW+ n,obs/?]wα+ 1,n(n+ 1)/2-wα-1[, H

0est vraie siW+

n,obs?]wα+ 1,n(n+ 1)/2-wα-1[.-Second cas :Pour tester l"hypoth`ese nulle"H0:μ=μ0», nous introduisons

l"´echantillonZ1,...,ZnavecZi=Xi-μ,1?i?n.1.1.2.2.Cas o`u il y a des ex aequo. Les observationsx1,...,xnpeuvent pr´esenter des ex aequo eta fortiorileurs valeurs absolues. Il s"agit en particulier du cas o`u la loiFest discr`ete. Deux proc´edures sont alors employ´ees.8 ´Ecole doctorale SVS - Session d"´et´e - 2008

1.1 Les tests non param´etriques sur un ´echantillon

•M´ethode de d´epartition des ex aequo Nous d´epartageons les ex aequo `a l"aide d"une table de nombres al´eatoires. `A cha- cune des valeurs ´egales nous associons un entier au hasard puis nous affectons, par ordre croissant de ces entiers, un rang diff´erent `a chaque observation. Ainsi chacun des rangs des observations est diff´erent et nous pouvons directement appliquer les r´esultats du paragraphe pr´ec´edent.•M´ethode des rangs moyens

En associant `a l"observationXison rang moyenRa?

idans le classement des valeurs absolues et en sommant tous les rangs pour lesquelsXi>0 nous obtenons la statistique : W +?n=? 1?i?n X i>0R a? i. Les valeurs absolues observ´ees|x1|,...,|xn|´etant ordonn´ees puis regroup´ees en classes d"ex aequo,C0pour la premi`ere classe qui est constitu´ee des nombres|xi| nuls, s"il en existe, etCj, 1?j?hpour les autres nombres, certaines classesCj pouvant comporter un seul ´el´ement, si cet ´el´ement n"a pas d"ex aequo, notonsdjle nombre d"ex aequo de la classeCj. Nous avons d 0+h? j=1d j=n. Sous l"hypoth`ese nulleH0et sin >15, il est d"usage d"utiliser l"approximation normale W +?n-m?σ ?≈N(0,1) o`u m ?=14 (n(n+ 1)-d0(d0+ 1)) et (σ?)2=124 (n(n+ 1)(2n+ 1)-d0(d0+ 1)(2d0+ 1))-148 h j=1? d3j-dj?. Dans le cas o`u nous utilisons cette m´ethode des rangs moyens, nous ne pouvons pas utiliser les tables statistiques usuelles qui concernent la distribution de la variable al´eatoireW+n.Fr´ed´eric Bertrand et Myriam Maumy9

Chapitre 1. Quelques tests non param´etriques

1.2.Les tests non param´etriques sur deux ´echantil-

lons1.2.1.Les ´echantillons sont ind´ependants : Test de Mann-Whi- tney Nous observons, de mani`ere ind´ependante, une variableY, continue, sur deux populations, ou sur une population divis´ee en deux sous-populations. Nous notonsLila loi deYsur la (sous-)population d"ordrei. Nous allons pr´esenter le test :

Hypoth`eses :H

0: Les deux loisLisont ´egales ou encore de fa¸con ´equivalente :L1=L2contre

H

1: Les deux loisLine sont pas ´egales ou encore de fa¸con ´equivalente :L1?=L2.1.2.1.1.Cas o`u il n"y a pas d"ex aequo.

Statistique :Pour obtenir la statistique du test not´eeUen g´en´eral, nous devons proc´eder

`a des ´etapes successives :1.En se pla¸cant sous l"hypoth`ese nulleH0, nous classons par ordre croissant l"en-

semble des observations des deux ´echantillons (x1,...,xn1) et (y1,...,yn2) de taille respectiven1etn2.2.Nous affectons le rang correspondant.

3.Nous effectuons la somme des rangs pour chacun des deux ´echantillons, not´esR1et

R

2.4.Nous en d´eduisons les quantit´esUn1etUn2qui se calculent ainsi :

(1.2.1)Un1=n1×n2+n1(n1+ 1)2 -R1 et (1.2.2)Un2=n1×n2+n2(n2+ 1)2 -R2=n1×n2-Un1. La plus petite des deux valeursUn1etUn2, not´eeUn1,n2, est utilis´ee pour tester l"hypoth`ese

nulleH0.Propri´et´es 1.2.1.Lorsque l"hypoth`ese nulleH0est vraie, la variable al´eatoireUn1,n2a

les trois propri´et´es suivantes :1.E[Un1,n2] = (n1×n2)/2.2.Var[Un1,n2] = (n1×n2)(n1+n2+ 1)/12.10

´Ecole doctorale SVS - Session d"´et´e - 2008

1.2 Les tests non param´etriques sur deux ´echantillons

3.La variable al´eatoireUn1,n2est tabul´ee pour de faibles valeurs den. Pourn?20,

nous avons l"approximation normale :

P[Un1,n2?u] = Φ?

u-(n1×n2)/2?(n1×n2)(n1+n2+ 1)/12?

o`uΦest la fonction de r´epartition de la loi normale centr´ee r´eduite.D´ecision 1.2.1.

-Premier cas :Si les taillesn1oun2sont inf´erieures `a20. Pour un seuil donn´eα (= 5% = 0,05en g´en´eral), la table de Mann-Whitney nous fournit une valeur critique c. Alors nous d´ecidons : ?H1est vraie siUn1,n2,obs?c, H

0est vraie siUn1,n2,obs> c.-Second cas :Si les taillesn1etn2sont sup´erieures `a 20, alors la quantit´e est d´ecrite

approximativement par une loi normale et nous utilisons alors le test de l"´ecart r´eduit : Z n1,n2=Un1,n2-(n1×n2)/2?(n1×n2)(n1+n2+ 1)/12. Pour un seuil donn´eα(= 5% = 0,05en g´en´eral), la table de la loi normale centr´ee r´eduite nous fournit une valeur critiquec. Alors nous d´ecidons : ?H1est vraie siZn1,n2,obs?c, H

0est vraie siZn1,n2,obs< c.1.2.1.2.Cas o`u il y a des ex aequo.

Les observationsx1,...,xn1,y1,...,yn2peuvent pr´esenter des ex aequo. Il s"agit en parti- culier du cas o`u les loisFetGdont sont issus les deux ´echantillons sont discr`etes. Deux proc´edures sont alors employ´ees.•M´ethode de d´epartition des ex aequo Nous d´epartageons les ex aequo `a l"aide d"une table de nombres al´eatoires. `A chacune des valeurs ´egales nous associons un entier au hasard puis nous affectons, par ordre croissant de ces entiers, un rang diff´erent `a chaque observation. Ainsi chacun des rangs des observations est diff´erent et nous pouvons directement appliquer les r´esultats du paragraphe pr´ec´edent.•M´ethode des rangs moyens Les valeurs absolues observ´eesx1,...,xn1,y1,...,yn2´etant ordonn´ees puis regroup´ees enhclasses d"ex aequoCj, 1?j?h, certaines classesCjpouvant comporter un seul

´el´ement, si cet ´el´ement n"a pas d"ex aequo, notonsdjle nombre d"ex aequo de la classeFr´ed´eric Bertrand et Myriam Maumy11

Chapitre 1. Quelques tests non param´etriques

C j. Nous avonsh? j=1d j=n1+n2. En associant `a l"observationXison rang moyenR?idans ce classement et en sommant tous les rangs de tous lesXi, nous obtenons la statistique : U ?n

1,n2=n

2? i=1R ?i. Sous l"hypoth`ese nulleH0:"XetYont la mˆeme distribution»et pourn1>15 et n

2>15, il est d"usage d"utiliser l"approximation normale

U ?n

1,n2-m?σ

quotesdbs_dbs9.pdfusesText_15