Donner le pourcentage d'utilisateurs français de Facebook Exemple 2 : Calculer un effectif à partir d'une proportion Dans un quotidien, on peut
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Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www maths-et-tiques PROPORTIONS I Proportion et pourcentage 1) Proportion d'une sous- population Exemple :
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Calculer des proportions
I Généralités
Définitions :Proportion d"une sous-population
SoitAune partie d"un ensembleE(on dit queAest unesous-populationdeE).On notenEle nombre d"éléments (on dit aussi d"individus) deE, etnAle nombre d"éléments deA.
On appelleproportion deAdansE, ou encoreproportion deApar rapport àE, le quotient : p=nA nERemarques :
☞Uneproportionest un rapport : c"est un nombre toujourscompris entre 0 et 1. ☞Elle peut s"exprimer sous forme d"unefraction, d"unnombre décimalou d"unpourcentage:0,235=23,5
100=23,5%
☞Le nombrepest aussi appeléfréquencedeAdansE, ou encore taux deApar rapport àE. ☞Le nombrenAest l"effectifdeA, le nombrenEest l"effectif total.Exemple 1 :Calculer une proportion
En 2015, il y avait 1,44 milliards d"utilisateurs actifs dans le monde de Facebook dont 26 millions en
France. La proportiondes utilisateursfrançais de Facebook était : p=260000001440000000=0,018
Donner le pourcentage d"utilisateursfrançais de Facebook. Exemple 2 :Calculer un effectif à partird"une proportionDans un quotidien, on peut lire :
"3390 personnes ont voté, c"est-à-dire 75% des inscrits surles listes électorales».Calculer le nombre d"inscrits.
Correction :
NotonsnEle nombre d"inscrits.
On a donc 0,75×nE=3390. Ainsi,nE=3390
0,75=4520.
4520 personnes sont donc inscrites sur les listes électorales et3
4des inscrits ont voté.
1Calculer des proportions
II Réunion et intersectionde sous-populations
Définitions :Union et intersection
SoitAetBdeux sous-populationsd"une populationE.
L"intersectiondeAetB, notéeA∩Best constituée de tous les éléments communs àAet àB.
LaréuniondeAetB, notéeA?Best constituée de tous les éléments appartenant à au moins une des
partiesAetB.Sous-populationA
Sous-populationB
Intersection:A∩B
RéunionA?B
Remarque :
LorsqueAetBn"ont aucun élément en commun, on dit qu"ils sontdisjoints. On note dans ce cas :A∩B=?où?désigne l"ensemble vide.AetBdisjointesPropriété :
SoientpA,pBetpA∩Bles proportionsrespectives deA,BetA∩BdansE.La proportiondepA?BdeA?Best égale à :
pA?B=pA+pB-pA∩B
Exemple 3 :
Dans un clubde sport,22,5%des adhérentsfont de l"escalade, 17%font de la natationet 5,8% pratiquent
les deux sports. Quelle est la proportiondes adhérents qui pratiquent l"escalade ou la natation?Correction :
l"escalade etBcelle des adhérents qui pratiquent la natation.On a alorspA=22,5
100etpB=17100.
A∩Breprésente les adhérents pratiquant les deux sports :pA∩B=5,8 100A?Breprésente les adhérents pratiquant au moins un des deux sports.
CommepA?B=pA+pB-pA∩BpA?B=22,5
100+17100-5,8100=0,337
On peut conclure que 33,7% pratiquent au moins un des deux sports.2Calculer des proportions
Dans ce club de sport, calculer la proportiondes adhérents qui ne pratiquent que l"escalade.Remarque :
Si les deux sous-populationsAetBsontdisjointes, alors :pA?B=pA+pB.III Inclusion de sous-populations
Définition :Inclusion
Lorsque tous les éléments d"un ensembleAappartiennent à un ensembleB, on dit queAestinclusdansB, et on noteA?B.Propriété :
SoientAetBdeux parties deEtelles queA?B.
En notantp1la proportiondeAdansBetp2la proportiondeBdansE, la proportiondeAdansEvaut alorsp1×p2. Exemple 4 :Calculer un proportion avec une inclusion Dans une classe de première, il y a 30% de garçons, dont 60% ont17 ans. Calculer la proportiondes garçons de 17 ans dans cette classe.Correction :
En notantEl"ensemble de la classe,Al"ensemble des garçons de 17 ans etBl"ensemble des garçons de
cette classe, on aA?B?E.