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Remarque Lorque l'on a P ⇔ Q, on dit que P est une condition néces- saire et suffisante de Q et inversement 3 Les quantificateurs 3 1 Le quantificateur universel

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1.4 Quanti

fi cateurs logiques Dé fi nition 9. Soit P x une proposition dépendant de la variable x . Le quanti fi cateur universel noté , permet de former la proposition " x X, P x " qui est vraie lorsque P x est vraie pour tous les éléments x de X , et qui est fausse si P x est fausse pour au moins un él

ément

x de X

Remarque 10.

x X, P x )" se lit "pour tout x dans X la proposition P x ) est véri fi

ée", ou "tout

élément

x de X véri fi e P " ou "quel que soit x dans X la proposition P x ) est véri fi

ée".

Dé fi nition 10. Soit P x une proposition dépendant de la variable x . Le quanti fi cateur exis- tentiel , noté , permet de former la proposition " x X, P x " qui est vraie lorsque P x est vraie pour au moins un élément x de X , et qui est fausse si P x est fausse pour tous les éléme nts de X

Remarque 11.

x X, P x )" se lit "il existe x dans X tel que la proposition P x ) est véri fi

ée", ou

"il existe x dans X qui véri fi e P

Exemple 10.

On considère la proposition

P x x

0". Alors la proposition "

x R , x

0" est

fausse et la proposition " x R , x

0" est vraie.

1.3. Propriété- Négation des quanti

fi cateurs.

Soit une proposition

P , alors on a les équivalences logiques : non x X, P x x

X, non

P x non x X, P x x

X, non

P x

Exemple 11.

La proposition "

x R , x

0" est fausse et sa négation "

x R , x <

0" est vraie.

Exemple 12.

La négation de "toutes les pommes du panier sont vertes" est "il y a une pomme dans le panier qui n'est pas verte" : la négation de "Tous ( )" n'est pas "Aucun ( )" mais plutôt "Il existe au moins un pour lequel on n'a pas (

Exercice 1

(examen deuxième session 2013)

On considère la proposition : "s

i tous les insectes ont

six pattes alors les araignées ne sont pas des insectes". Écrire la contraposée et la négation de cet

te proposition.

Remarque 12.

Par convention, la propositio

n " x , P x )" est toujours vraie (il n' y a rien à véri fi er puisque l'ensemble vide n'a pas d'éléments) et la proposition " x , P x )" est toujours fausse (il n'existe aucun élément dans l'ensemble vide) 8

1.4. Propriété- Utilisation des quanti

fi cateurs.

Soit une proposition

P x,y ) dépendant de deux variables , alors on a les équi- valences logiques : x X, y Y, P x,y y Y, x X, P x,y x X, y Y, P x,y y Y, x X, P x,y

Remarque 13.

Par contre, la proposition "

x X, y Y, P x,y )" signi fi e que pour tout x il existe une valeur y (qui dépend a priori de x ) telle que P x,y ) est véri fi

ée, alors que "

y Y, x X, P x,y signi fi e qu'il existe une valeur de y telle que P x,y ) est véri fi

ée pour toutes les valeurs de

x dans X

Exemple 13.

Rappel sur les ensembles

N Z Q et R . On considère les deux propositions " x Z y Z , y x + 1" et " y Z x Z , y x + 1". Que dire par ailleurs de la proposition x N y N , y x + 1"?

1.5 Techniques de démonstration

1.5.1 Preuve directe d'une implication.

Soit P et Q deux propositions données. Démontre r l'implication " P Q " consiste à véri fi er / démontrer que cette implication est vra ie. La preuve directe de l'implication P Q consiste à supposer que P est vraie et à démontrer (par un raisonnement déductif) que Q est vraie : dans ce cas cela montre que l'implication P Q est vraie (rappelons que quand P est fausse cette implication est de toute manière vraie).

Exemple 14.

On démontre par preuve directe que pour tout entier naturel k N l'implication suivante est véri fi

ée :

k est impair k 2 est impair

1.5.2 Preuve par contraposée d'u

ne implication. Soit P et Q deux propositions données.

Démontrer

l'implication " P Q par la contraposée (ou par contraposition) consiste à démontrer que sa contraposée non Q non P ) est vraie (pour

cela, on emploie la preuve directe). Rappellons qu'une implication et sa contraposée sont logiquement

équivalentes, donc elle sont vraies (ou fausses) simulanément : en ce sens il revient au même de

démontrer l'une ou l'autre.

Exemple 15.

On démontre par la contraposée

que pour tout entier naturel k N l'implication suivante est véri fi

ée :

k 2 est pair k est pair 9

1.5.3 Preuve par l'absurde.

Soit P une proposition. La démonstration par l'absurde de P consiste à supposer que P est fausse et à en déduire une absurdit

é, une contradiction.

Exemple 16.

La preuve classique de l'irrationnalité de

2, qui remonte à Euclide, est une preuve

par l'absurde.quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46