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Table des mati`eres

0 Rappels sur les polyn^omes et fractions algebriques1

0.1 Puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0.1.1 Puissance d'un nombre r´eel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0.1.2 Loi des exposants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0.1.3 Puissance d'exposant entier n´egatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0.1.4 Puissance d'exposant rationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0.1.5 Racinen-i`eme d'un nombre r´eel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0.1.6 Propri´et´es des radicaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0.1.7 R´eduction du radicande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0.2 Polynˆomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0.2.1 Monˆomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0.2.2 Op´erations entre monˆomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0.2.3 Polynˆomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0.2.4 Somme et diff´erence de polynˆomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0.2.5 Produit de polynˆomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0.2.6 Identit´es remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0.2.7 Quotient de polynˆomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0.2.8 Th´eor`eme du reste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0.3 Factorisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0.3.1 Mise en ´evidence simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0.3.2 Mise en ´evidence double . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0.3.3 Diff´erence de deux carr´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0.3.4 Factorisation en plusieurs ´etapes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0.3.5 Trinˆomes carr´es parfaits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0.3.6 Discriminant d'un trinˆome du second degr´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0.3.7 Trinˆome du second degr´e : m´ethode "Compl´etion du carr´e" . . . . . . . . . . . . . . .

0.3.8 Trinˆome du second degr´e : m´ethode "Produit et somme" . . . . . . . . . . . . . . . .

0.3.9 Trinˆome du second degr´e : m´ethode du discriminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0.4 Fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0.4.1 Fraction rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0.4.2 Addition et soustraction de fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0.4.3 Multiplication et division de fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0.4.4 D´ecomposition en une somme de fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 Trin^omes du second degre29

1.1 R´esolution de l'´equationax2+bx+c= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.1 Transformation de l'´equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.2 R´esolution de l'´equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29
1.2 ´Etude du signe deP(x) =ax2+bx+c,a̸= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.3 Application `a la recherche du domaine de d´efinition d'une fonction . . . . . . . . . . . . . . .

1.4 Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33
I

IITABLE DES MATIERES

1.5 Tableau r´ecapitulatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Sens de variation. Derivation39

2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2 Notions pr´eliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.1 Coefficient directeur d'une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.2 Fonctions monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3 Taux de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3.2 Interpr´etation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4 Nombre d´eriv´e et tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4.1 Nombre d´eriv´e - Interpr´etation g´eom´etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42
2.4.3 ´Equation de la tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.5 La fonction d´eriv´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.5.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.5.2 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.6 Les fonctions d´eriv´ees usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.6.1 Somme et produit de deux fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.6.2 D´eriv´ees des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.6.3 D´eriv´ees des fonctions logarithme n´ep´erien et exponentielle n´ep´erienne . . . . . . . . .

2.6.4 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.7 Sens de d´erivation d'une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.7.1 Fonction croissante sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.7.2 Fonction d´ecroissante sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.7.3 Fonction constante sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.7.4 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.8 Point d'inflexion - Concavit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.8.1 Fonction d´eriv´ee seconde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.8.2 Position de la courbe et de la tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Le logarithme et l'exponentielle59

3.1 Le logarithme n´ep´erien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1.1 Pr´esentation de la fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1.2 Logarithme d'une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1.3 Logarithme d´ecimal et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2 L'exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2.1 Pr´esentation de la fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2.2 Formules fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64
3.2.3 ´Etude de la fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.2.4 Fonctions du typeeu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2.5 Fonctions exponentielles de basea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 Les fonctions economiques71

4.1 Les fonctions coˆuts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.1.1 Coˆut total de production . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.1.2 Coˆut marginal de production . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.1.3 Coˆut moyen de production . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.1.4 La recette et le b´en´efice total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.1.5 Exercice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

TABLE DES MATI

ERESIII

4.2 Les fonctions d'offre et de demande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2.2 La fonction elasticit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

IVTABLE DES MATIERES

Chapitre 4

Les fonctions ´economiques

4.1 Les fonctions coˆuts

4.1.1 Coˆut total de production

La production d'une quantit´e d'un certain produit entraˆıne dans les entreprises une s´erie de d´epenses

telles que les salaires, les mati`eres premi`eres, les mati`eres premi`eres, les frais d'entretien, les frais g´en´eraux. La somme de ces d´epenses est appel´eeco^ut total de production.

Dans ce coˆut total interviennent

Les co^uts variablesqui d´ependent de la quantit´e produite : mati`eres premi`eres, achat de machines,

embauche de personnel,...

les co^uts xesqui ne d´ependent pas de la quantit´e produite : location de locaux, publicit´es, assu-

rances,...

Le coˆut total de production peut ˆetre mod´elis´e par une fonction num´erique d´efinie et d´erivable sur l'intervalle

[0;+∞[. Pour tout r´eelqde l'intervalle [0;+∞[, on a donc C

T(q) =CV(q) +CT(0)

o`u qd´esigne la quantit´e produite, C V(q) correspond aux coˆuts variables de production, C T(0) correspond aux coˆuts fixes (ils ne d´ependent pas deq).

Exemple 4.1.1

Dans une imprimerie, l'impression et la reliure de livres entraˆıne des frais fixes de 650eet

4;5ede frais par livre fabriqu´e.

Soitqle nombre de livres fabriqu´es. Le coˆut total vaut alors : C

T(q) = 4;5q+ 650

La repr´esentation graphique de la fonction coˆut total a en g´en´eral l'allure ci-dessous :CTest une fonction

strictement croissante et strictement positive sur [0;+∞[. 71

72CHAPITRE 4. LES FONCTIONSECONOMIQUES

4.1.2 Coˆut marginal de production

Lorsque l'entreprise fabriquequnit´es, elle a besoin de savoir combien lui coˆuterait la production d'une

unit´e suppl´ementaire. Le coˆut de production de cetteq+1-i`eme unit´e lorsque l'entreprise en a d´eja produit

qest le coˆut marginalCma(q).

Exemple 4.1.2

Le coˆut total de production d'une marchandise particuli`ere estCT(q) = 150+200q-0;01q2.

Le coˆut total de production de 100 unit´es est deCT(100) = 20050, celui d'une unit´e suppl´ementaire est de

C T(101) = 20247;99. Le coˆut marginal au rang 100 est de C ma(100) =CT(101)-CT(100) = 197;99, c'est le coˆut de la 101-i`eme unit´e lorsque l'entreprise en a produit 100.

Les ´economistes consid`erent que sous certaines conditions, la d´eriv´ee du coˆut total est une bonne approxi-

mation du coˆut marginal : C ma(q) =C′T(q) En effet, si on reprend l'exemple pr´ec´edent, C ma(100) =CT(101)-CT(100) =CT(101)-CT(100)

101-100≃C′T(100),

qui repr´esente le taux de variation de la fonctionCT`a l'abscisse 100. CommeCma(q) =C′T(q) = 200-0;02q,

on trouveCma(100) =C′T(100) = 198. Pour des raisons ´economiques, le coˆut marginal qui est strictement positif d´ecroˆıt d'abord, atteint son minimum pour une production, puis augmente. q

0+∞

signeC′′T(q) 0 + variationsC′T=Cma @@RCma() concavit´eCT concaveconvexe

De plus, (;CT()) est un point d'inflexion. En effet, la d´eriv´ee seconde deCT(ou la d´eriv´ee premi`ere de

C ma) s'annule en changeant de signe.

On a les graphes suivants :

4.1. LES FONCTIONS CO

^UTS73

4.1.3 Coˆut moyen de production

Denition

Pourqunit´es produites, le coˆut moyen de production est le quotient du coˆut total de production par le

nombre d'unit´es produites. On peut alors d´efinir sur l'intervalle ]0;+∞[ la fonction coˆut moyen de production

not´eeCMpar C

M(q) =CT(q)

Exemple 4.1.3

Les coˆuts de production d'une entreprise exprim´es en milliers d'e, se r´epartissent de la mani`ere suivante : les coˆuts fixes : 12 les coˆuts variables ou proportionnels : 3q3-9q2+ 18q

Le coˆut moyen est alors

M(q) =3q3-9q2+ 18q+ 12

q = 3q2-9q+ 18 +12 q

Pour obtenir le coˆut moyen pour un certain nombre d'unit´es, il suffit de remplacer dans cette expression la

valeur deqpar celle correspondante. Par exemple, le coˆut moyen de production pour 10 unit´es vaut

M(10) = 3(10)2-9(10) + 18 +12

10 =2292 10 soit 229;2e.

Remarque 4.1.1

Le coˆut moyen et le coˆut marginal sont des coˆuts unitaires.

Sens de variation deCM

La fonction coˆut totalCTest d´erivable sur [0;+∞[ donc la fonction coˆut moyenCMest d´erivable sur

]0;+∞[. Pourq >0, C ′M(q) =(CT(q) q =C′T(q):q-CT(q) q

2=C′T(q)-CT(q)

q q =Cma(q)-CM(q) q

Commeq >0, d´eterminer le signe deC′M(q) (et donc les variations deCM) revient `a comparerCma(q) et

C M(q).

Or on sait pour des raisons de nature ´economique qu'il existe un seuil de production(une abscisse

repr´esentant une certaine quantit´e) tel que :

pour une production inf´erieure `a, le coˆut marginal de production est inf´erieur au coˆut moyen de

production,

pour une production ´egale `a, le coˆut marginal de production est ´egal au coˆut moyen de production,

pour une production sup´erieure `a, le coˆut marginal de production est sup´erieur au coˆut moyen de

production.

74CHAPITRE 4. LES FONCTIONSECONOMIQUES

On en d´eduit le tableau de variations suivant : q

0+∞

signeC′M(q) 0 + variationsCM @@RCM()

Par cons´equent,

C ′M() = 0⇔Cma() =CM().

Cela signifie que le coˆut marginal est ´egal au coˆut moyen lorsque le coˆut moyen est minimal.

4.1.4 La recette et le b´en´efice total

Si l'entreprise vend une unit´e de produitp(en unit´es d'euros), la recette pourqunit´es est de

R(q) =pq

Le b´en´efice r´ealis´e est alors

B(q) =R(q)-CT(q)

Exemple 4.1.4

Le coˆut total est donn´e en milliers d'euros par C

T(q) =q3-3q2+ 10;48q.

L'entreprise vend le produit 11;8 milliers d'euros l'unit´e. Le b´en´efice r´ealis´e vaut alors

B(q) =R(q)-CT(q) = 11;8q-(q3-3q2+ 10;48q) =-q3+ 3q2+ 1;32q.

Il est essentiel de noter que

l'´etude du signe deB(q) permet de d´eterminer les productions pour les- quelles l'entreprise r´ealise des b´en´efices et que l'´etude des variations de la fonctionBpermet de trouver la production qui assure le b´en´efice maximum Toujours dans le cadre de l'exemple, on a les graphes ci-dessous :

4.2. LES FONCTIONS D'OFFRE ET DE DEMANDE75

4.1.5 Exercice

Un fabricant de pi`eces m´etalliques r´ealise une production annuelle dequnit´es pour un coˆut total de

quotesdbs_dbs5.pdfusesText_9

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