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1

Généralités sur les

fonctionsTable des matières

1 Définition

2

1.1 Fonction numérique

2

1.2 Ensemble de définition

2

1.3 Comparaison de fonctions

2

2 Parité d"une fonction

4

2.1 Fonction Paire

4

2.2 Fonction impaire

5

3 Autres symétrie

6

3.1 Symétrie par rapport à un axe vertical

6

3.2 Symétrie par rapport à un point

7

3.3 Des représentations déduites par symétrie

8

4 Variation d"une fonction

10

5 Résolution graphique

10

6 Composée de deux fonction

12

6.1 Définition

12

6.2 Application

13

6.3 Variation d"une fonction composée

15

6.4 Variations de fonctions

16 PAUL MILAN26 novembre 2010 PREMIÈRES

21 DÉFINITION1Définition

1.1Fonctionnumérique

Définition 1 :Une fonction numériquefd"une variable réellexest une relation qui à un nombre réelxassocie un unique nombre réelynotéf(x).

On écrit alors :

f:RouDf!R x7!f(x)Attention :Il faut faire la différence entre la fonctionfqui représente une relation etf(x)qui représente l"image dexparfqui est un nombre réel.

Exemples ::

êf(x) =3x7fest une fonction affine

êf(x) =5x22x+1fest une fonction du second degré

êf(x) =x+22x3fest une fonction homographique

1.2Ensemblededéfinition

Définition 2 :L"ensemble définition d"une fonctionfest l"ensemble des valeurs de la variablexpour lesquelles la fonction est définieExemples : 1) Soit la fonction fdéfinie parf(x) =p4xa pour ensemble de définition : D f=]¥;4] (on doit avoir 4x>0) 2)

Soit la fonction gdéfinie parg(x) =3x

25x6a pour ensemble de défini-

tion :Dg=Rf1;6g (on doit avoirx25x66=0,x=1 racine évidente)

1.3Comparaisondefonctions

Définition 3 :On dit que deux fonctionfetgsont égales si et seulement si : êElles ont même ensemble de définition :Df=Dg

êPour toutx2Df,f(x) =g(x)Exemple :

PAUL MILAN26 novembre 2010 PREMIÈRES

1.3 COMPARAISON DE FONCTIONS3Les fonctionfetgdéfinies respectivement par :

f(x) =rx1x+3etg(x) =px1px+3

Sont-elles égales?

Déterminons leur ensemble de définition :

Pourf, on doit avoir :x1x+3>0, ce qui donneDf=]¥;3[[[1;+¥[ Pourg, on doit avoir :x1>0 etx+3>0, ce qui donneDg= [1;+¥[ On a donc :Df6=Dg. Les fonction ne sont donc pas égales.

On remarquera cependant que sur[1;+¥[, on af(x) =g(x)Définition 4 :SoitIun intervalle et soientfetgdeux fonctions définies

au moins surI. On dit que : êfest inférieure àgsurIlorsque :f(x)6g(x)pour toutx2I. On note : f6gsurI. êfest positive surIlorsque :f(x)>0 pour toutx2I. On note :f>0 sur I. êfestmajoréesurIlorsqu"il existe un réelMtel que :f(x)6Mpour tout x2I. êfestminoréesurIlorsqu"il existe un réelmtel que :m6f(x)pour tout x2I. êfestbornéesurIlorsqu"il existe des réelsMetmtels que :m6f(x)6M

pour toutx2I. (fest majorée et minorée)Remarque :La relation d"ordre pour les fonctions n"est pas totale car deux

fonctions ne sont pas toujours comparables. On considère les fonctionsfetgdéfinies surRpar :f(x) =xetg(x) =x2.

On a par exemple :

12 >12 2 ,f12 >g12

2<22,f(2) Exemple :Soit la fonctionfdéfinie surRpar :f(x) =x(1x). Démontrer quefest majorée surR.

On met la fonction sous la forme canonique :

f(x) =x2+x=(x2x) =" x12 2 14 La parabole représentantfest tournée vers le bas et son sommet a pour or- donnée 14 . La fonctionfest donc majorée surR. Exemple :Montrer que la fonctiongdéfinie surRparg(x) =4sinx3 est bornée.PAUL MILAN26 novembre 2010 PREMIÈRES

42 PARITÉ D"UNE FONCTIONOn a pour toutx2R:

16sinx61

464sinx64

764sinx361

76g(x)61

gest donc bornée surR.Propriété 1 :Sifune fonction monotone sur un intervalleI= [a;b]alors fest bornée.Démonstration :Supposons quefest croissante sur[a;b](le casfdécrois- sante se traite de façon analogue). Soitx2[a;b], on a alors :a6x6b, commefest croissante, elle conserve la relation d"ordre, d"où :f(a)6f(x)6f(b). On peut prendrem=f(a)et

M=f(b),fest donc bornée.

2Paritéd"unefonction

2.1FonctionPaire

Définition 5 :On dit qu"un fonctionfest paire si et seulement si l"on a : êSon ensemble de définitionDfest symétrique par rapport à l"origine.

ê8x2Df,f(x) =f(x)Exemples :

Les fonctions suivantes sont paire sur leur ensemble de définition : f(x) =x2,f(x) =cosx,f(x) =sinxx ,f(x) =5x4+3x21 Remarque :Ces fonction paires doivent leur nom au fait que les fonctions po- lynomes qui ne contiennent que des puissances paires sont telle que : f(x) =f(x)PAUL MILAN26 novembre 2010 PREMIÈRES

2.2 FONCTION IMPAIRE5Propriété 2 :La représentation d"une fonction paire est symétrique par

rapport à l"axe des ordonnées.On a donc le graphe suivant pour une fonction paire :

2.2Fonctionimpaire

Définition 6 :On dit qu"un fonctionfest impaire si et seulement si l"on a : êSon ensemble de définitionDfest symétrique par rapport à l"origine.

ê8x2Df,f(x) =f(x)Exemples :

Les fonctions suivantes sont impaire sur leur ensemble de définition : f(x) =x3,f(x) =sinx, tanx,f(x) =1x ,f(x) =4x33x Remarque :Ces fonction impaires doivent leur nom au fait que les fonc- tions polynomes qui ne contiennent que des puissances impaires sont telle que f(x) =f(x)Propriété 3 :La représentation d"une fonction impaire est symétrique par rapport à l"origine.On a donc le graphe suivant pour une fonction impaire :

PAUL MILAN26 novembre 2010 PREMIÈRES

63 AUTRES SYMÉTRIE3Autressymétrie

3.1

Symétrie par rapport à un axe vertical

Soit la fonctionftel quef(x) =x22x1 dont la courbe est représentée ci-dessous :Manifestement la courbe semble symétrique par rapport à l"axe verticale x=1. Pour montrer cela, prenons un nouveau repère centré enA(1;0)en gar- dant le même système d"unité. Un pointMde la courbe a pour coordonnée dans le repère d"origine (x;y=f(x))et dans le nouveau repère(X;Y=g(X)). Pour

montrer la symétrie, il suffit de montrer que la nouvelle fonctiongest paire.PAUL MILAN26 novembre 2010 PREMIÈRES

3.2 SYMÉTRIE PAR RAPPORT À UN POINT7Théorème 1 :SoitA(a;0)dans le repère(O,~ı,~â).

Si un pointMa pour coordonnées(x;y)dans un repère(O,~ı,~â)et(X;Y)dans un repère(A,~ı,~â), alors, on a les relations (X=xa

Y=yRevenons à notre exemple, on a alors :

(X=x1

Y=f(x),(x=X+1

g(X) = (X+1)22(X+1)1 (x=X+1 g(X) =X2+2X+12X21,(x=X+1 g(X) =X22 Comme la fonction carrée est paire, la fonctiongest paire et donc la courbe de fest symétrique par rapport à la droitey=1.

3.2Symétrieparrapportàunpoint

Soit la fonctionftel quef(x) =2x1x+1dont la courbe est représentée ci- dessous :PAUL MILAN26 novembre 2010 PREMIÈRES

83 AUTRES SYMÉTRIEManifestement la courbe semble symétrique par rapport au pointI(1;2).

Pour montrer cela, prenons un nouveau repère centré enI(1;2)en gardant le d"origine (x;y=f(x))et dans le nouveau repère(X;Y=g(X)). Pour montrer la

symétrie, il suffit de montrer que la nouvelle fonctiongest impaire.Théorème 2 :SoitI(a;b)dans le repère(O,~ı,~â).

Si un pointMa pour coordonnées(x;y)dans un repère(O,~ı,~â)et(X;Y)dans un repère(I,~ı,~â), alors, on a les relations (X=xa

Y=ybRevenons à notre exemple, on a alors :

(X=x+1

Y=f(x)2,8

:x=X1 g(X) =2(X1)1X1+12,8 :x=X1 g(X) =2X3X 2 8 :x=X1 g(X) =2X32XX ,8 :x=X1 g(X) =3X Comme la fonction inverse est impaire, la fonctiongest impaire et donc la courbe defest symétrique par rapport au pointI. Soit la fonctionfdéfinie surRparf(x) =x33x2+1 représentée ci-dessous. 1)

Déduir eles courbes des fonctions g,

h,kdéfinies surRpar : a)g(x) =f(x) b)h(x) =jf(x)j c)k(x) =f(x) 2)

On définie sur Rla fonctionFpar :

F(x) =f(jxj).

a)

Démontr erque la fonction Fest

paire b) En déduir ela r eprésentationde F/ / / / / / / / / / / / / / / / / / /

PAUL MILAN26 novembre 2010 PREMIÈRES

3.3 DES REPRÉSENTATIONS DÉDUITES PAR SYMÉTRIE91)a) Soient MetM0les points deCfetCg

d"abscissesx. On a donc :

M(x;f(x))etM0(x;f(x))

SoitIle milieu de[MM0]. Les coor-

données deIsont :I(x;0). Le point

Iest donc sur l"axe des abscisses.

Donc, pour tout pointMdeCf

d"abscissex, le pointM0deCgd"abs- cissexest tel que :M0=S(Ox)(M).

La courbeCgest donc bien l"image

deCfpar la symétrie par rapport à (Ox)b)La fonction hest tel queh(x) =f(x) lorsquef(x)>0 eth(x) =f(x) lorsquef(x)<0. On déduit alors la courbeChen ne changeant rien lorsquef(x)>0 et en faisant une symétrie par rapport à l"axe(Ox) lorsquef(x)<0.c)Soit Mle point deCfd"abscissex.

On a donc :M(x;f(x)).

SoitM0le point deCkabscissex.

Ainsi :M0(x;f(x))

SoitIle milieu de[MM0]. Les co-

ordonnées deIsont :I(0;f(x)). Le pointIest donc sur l"axe des ordon- nées.

Donc, pour tout pointMdeCfabs-

cissex, le pointM0deCkd"abscisse xest tel que :M0=S(Oy)(M).

La courbeCkest donc bien l"image

deCfpar la symétrie par rapport à (Oy).a)On a pour tout xréel :F(x) =f(j xj) =f(jxj) =F(x) La fonctionFest donc paire.PAUL MILAN26 novembre 2010 PREMIÈRES

105 RÉSOLUTION GRAPHIQUEb)On déduit la courbe CFde la courbe

C fen ne changeant rien six>0 et en faisant une symétrie par rapport

à l"axe(Oy)six<04Variationd"unefonction

Définition 7 :SoitIun intervalle (ouvert ou fermé, borné ou non) Soitfune fonction définie au moins surI. On dit que :

êfestcroissantesur I si, et seulement si :

pour tousuetvdeI:v>u)f(v)>f(u)

êfestdécroissantesurIsi, et seulement si :

pour tousuetvdeI:v>u)f(v)êfestmonotonesurIsi, et seulement si :

fest croissante surIou décroissante surI.Remarque :On dit qu"une fonction craoissante conserve la relation d"ordre

et qu"une fonction décroissante inverse la relation d"ordre. Nous verrons au chapitre suivant que la fonction dérivée est l"instrument qui permet de déterminer les variations d"une fonction.

5Résolutiongraphique

Soit la fonctionfdéfinie sur[1,8;2,9]par :f(x) =3x44x312x2+15 dont la représentation se trouve à la page suivante : 1) Déterminer le t ableaude variation de la fonction f 2)

Résoudr eles équat ionssuivantes :

a)f(x) =0 b)f(x) =13 3) D"une façon générale donner le nombr eet le signe des solutions de l"équation f(x) =moùmest un réel quelconque. 4)

Résoudr eles inéqu ationssuivantes :

a)f(x)60 b)f(x)>13 5) Résoudr el"équat ionf(x) =3xPAUL MILAN26 novembre 2010 PREMIÈRES 11 1)

On obtient le tab leaude variation suivant : 2)a) f(x) =0 : on cherche les abscisses des points d"intersection de la courbe

avec l"axe des abscisses, on obtient donc : x

1'1,1x2'2,6

b)f(x) =13 : on cherche les abscisses des points d"intersection de la courbe avec la droitey=13, on obtient donc : x

1' 1,3x2' 0,4x3'0,4x4'2,75

3)f(x) =m: on cherche les abscisses des points d"intersection de la courbe avec

la droitey=m, on obtient donc suivant les valeurs dem:

êSim<17 : l"équation n"a pas de solution

êSim=17 : l"équation admet une solution (positive)

êSi17

126 COMPOSÉE DE DEUX FONCTIONêSim=10 : l"équation admet 3 solutions (1 négative et 2 positives)

êSi 1015 : l"équation admet 2 solutions (1 négative et 1 positive) 4) a) f(x)60 : On cherche les abscisses des points de la courbe qui sont sur ou en dessous de la droite des abscisses, on a donc :

S= [1,1;2,6]

b)f(x)>13 : On cherche les abscisses des points de la courbe qui sont au dessus de la droite d"équationy=13, on a donc :

S= [1,8;1,3[[]0,4;0,4[[]2,75;2,9]

5)f(x) =3x: On cherche les abscisses des points d"intersection de la courbe

avec la droite d"équationy=3x. On trace donc sur le graphique cette droite puis on lit les solutions : x

1'0,9x2'2,7

6Composéededeuxfonction

6.1Définition

Lorsqu"on applique deux fonctions successivement, on parle de composition de fonctions ou de composée de deux fonctions. On peut alors faire le schéma suivant : x f!y=f(x)g!z=g(y) =g[f(x)]=gf(x) SoitDfetDgles ensembles de définition des fonctionsfetg. fDf: représente l"image de l"ensemble de définition defpar la fonctionf. Pour pouvoir appliquer ensuite la fonctiong, il est nécessaire que cet ensemble soit inclut dansDg:fDfDg

8x2Dfon doit avoirf(x)2Dg

Exemple :: Soit les deux fonctionsfetgdéfinies par : f(x) =3x+4 on a donc :Df=R g(x) =1x+1on a donc :Dg=R f1g Comme la fonctionfest une bijection deRsurR,fDfn"est pas inclus dans D g. Il faut donc réduireDf.

On doit enlever la valeur dextel que :f(x) =1

3x+4=1,x=54

On a alors l"ensemble de définition de la composée :Dgf=R 54

PAUL MILAN26 novembre 2010 PREMIÈRES

6.2 APPLICATION13Définition 8 :Soit 2 fonctionsfetgavecfDfDg.

On appelle fonction composée defparg, la fonction notée :gftelle que : gf(x) =g[f(x)]La composée de deux fonctions n"est pas commutative.

Exemple :Soit les fonctionsfetgdéfinies par

f(x) =x2 etg(x) =4x+3 Les deux fonctions étant définies surR, les fonctionsgfetfgsont définies surR. On a : gf(x) =g(x2)=4(x2) +3=4x5 fg(x) =f(4x+3)= (4x+3)2=4x+1

6.2Application

1) Soit les deux fonct ionssuivantes fetgdéfinies par : f(x) =1x+1etg(x) =3x Calculergf(x)etfg(x)après avoir précisé les ensembles de définition.

On détermineDf=R f1getDg=R

Comme la fonctiongest définie surR,Dgf=Df, on a alors : gf(x) =g1x+1 =3x+1 Pourfg, on doit enlever la valeur :g(x) =1, soit 3x=1 et donc x=13 D fg=R 13

etfg(x) =f(3x) =13x+1Il est nécessaire de déterminer l"ensemble de définition avant de calculer la

composée de deux fonctions comme nous allons le voir sur cet exemple.

2)fetgsont les fonctions définies par :

f(x) =x+3x+1etg(x) =xx+2

On poseh=gf.

a)

T rouverl"ensembl ede définition de het calculer explicitementh(x).PAUL MILAN26 novembre 2010 PREMIÈRES

146 COMPOSÉE DE DEUX FONCTIONb)La fonction kest définie park(x) =x+33x+5.

Les fonctionhetksont-elles égales?

a)

On a Df=Rf1getDg=Rf2g.

On doit donc enlever la valeur telle quef(x) =2, ce qui donne : x+3x+1=2 x+3=2x2 3x=5 x=53

On a doncDh=R

53
;1 h(x) =gx+3x+1 =x+3x+1x+3x+1+2 on multiplie numérateur et dénominateur parx+1 x+3x+3+2x+2=x+33x+5 b)Dk=R 53
. Les fonctions ne sont pas égales car elles n"ont pas le

même ensemble de définitionIl peut être intéressant de décomposer une fonction en fonctions élémen-

taires pour connaître ses variations 3) Exprimer les fonct ionssuivantes à l"aide de fonctions élémentair es. f

1(x) =13x1f2(x) =px+3f3(x) =3px+4

Pour la fonctionf1, on posef1=hg, on a alors :

g(x) =3x1 eth(x) =1x

Pour la fonctionf2, on posef2=hg, on a alors :

g(x) =x+3 eth(x) =px

Pour la fonctionf3, on posef3=hg, on a alors :

g(x) =pxeth(x) =3x+4PAUL MILAN26 novembre 2010 PREMIÈRES

6.3 VARIATION D"UNE FONCTION COMPOSÉE156.3Variationd"unefonctioncomposée

Théorème 3 :Soit une fonctionfdéfinie sur un intervalleIet une fonction gdéfinie surf(I). êSifetgontmême variationrespectivement surIetf(I)alors la fonction gfestcroissantesurI. êSifetgont desvariations opposésrespectivement surIetf(I)alors la

fonctiongfestdécroissantesurI.Démonstration :Nous ferons la démonstration pour une fonctionfcrois-

sante surIet une fonctiongdécroissante surf(I).

On sait quefest décroissante surI, donc dansI:

siug[f(v)]

On a donc dansI:

siugf(v)

La fonctiongfest décroissante surI

Exemple :Soit la fonctionhdéfinie sur]¥;1]parh(x) =p1x 1) Décomposer hen deux fonctions élémentaires. 2)

Déterminer les v ariationsde h.

1)

La fonction hse décompose engf, on a alors :

f(x) =1xetg(x) =px 2)

On sait que la foncti on:

êfest décroissante sur]¥;1]etf(]¥;1]) = [0;+¥[

êgest croissante sur[0;+¥[

d"après le théorème des fonctions composées,hest décroissante sur]¥; 1] On a alors le tableau de variation suivant :PAUL MILAN26 novembre 2010 PREMIÈRES

166 COMPOSÉE DE DEUX FONCTION6.4Variationsdefonctions

Exemple 1

Le tableau de variation suivant est celui d"une fonctionfdéfinie sur[3;3]On définit les fonctionsgethpar :

g(x) =2x+1 eth(x) =px Déterminer les variations puis dresser le tableau de variations des fonctions suivantes : a)gfb)hfquotesdbs_dbs35.pdfusesText_40