On peut le voir en définissant V la fonction d'utilité indirecte, qui pour tout vecteur de prix p et niveau de revenu R donne le niveau d'utilité donné par le
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On peut le voir en définissant V la fonction d'utilité indirecte, qui pour tout vecteur de prix p et niveau de revenu R donne le niveau d'utilité donné par le
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24 mai 2016 · Dans ce chapitre, plusieurs types de fonction d'utilité D'une manière générale, une variation du taux d'imposition indirecte telle que la
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Marianne Tenand
marianne.tenand@ens.frMicroéconomie 1
GpSMUPHPHQP G·pŃRQRPLH (16
2016 -2017
Théorie du consommateur (2):
Résolution analytique de la
demande 1Questions fondamentales
Nous avons vu comment résoudre graphiquement leSURNOqPH GH PM[LPLVMPLRQ GH O·XPLOLPp SMU OH
consommateur et en déduire la demande marshallienneObjectif du cours :
Déterminer de manière analytique la demandeSolutions intérieures et solutions en coin
Applications numériques
Caractériser certaines propriétés de la fonction de demande marshallienne Déterminer les relations entre demande hicksienneet demande marshallienne 21. Résolution analytique du
problème de maximisation deO·XPLOLPp VRXV ŃRQPUMLQPH
Def:6RLP XQH IRQŃPLRQ G·XPLOLPp 8 XQ HQVHPNOH GHV RNÓHPVX, un vecteur de prix p> 0 et un niveau de revenu
individuel Ri> 0. Le SURJUMPPH GH PM[LPLVMPLRQ GH O·XPLOLPp sous contrainte budgétaire V·pŃULP maxx Ui(x) s.c.p.x" 5iet[ 0 On note xi(p,Ri) la solutionG·XQ PHO SURJUMPPH HP RQ définit xi(p,R) la fonction de demande marshallienne : xi (p,R) = {arg[ 0 [ B(p,R) [max Ui(x)], p > 0, R 0 } 31. Résolution analytique du
problème de maximisation deO·XPLOLPp VRXV ŃRQPUMLQPH
Def: Dans le cadre du problème précédent, on appelle Lagrangien la fonction, notée L(.), définie comme suit:L([zź) = U(x) ²zp.x²R) + źB[
Où zHP ź VRQP MSSHOpV OHV multiplicateurs de Lagrange associés respectivement aux contraintes: p.x" 5HP [ 0 Intuition : le multiplicateur de Lagrange représente la variation marginalede la valeur atteinte par la fonction objectif U suite à un desserrement marginal de la contrainte auquel il est associé Il est parfois appelé prix implicite de la contrainte 41. Résolution analytique du
problème de maximisation deO·XPLOLPp VRXV ŃRQPUMLQPH
Def: Les conditions de Kuhn et Tuckerassociées au Lagrangien L(x z ź) défini précédemment sont les suivantes :1.I[zźC[ 0
2.I[zź)/z 0
etI[zź)/ź 03.z 0
etź 04.z(p.x²R) = 0
et źB[= 0 51. Résolution analytique du
problème de maximisation deO·XPLOLPp VRXV ŃRQPUMLQPH
On peut réécrire les conditions de Kuhn et Tucker ainsi :1.I[ z źC[ 0Ù8[C[ ²zSĄ ź 0
2.I[ z źCz 0Ùp.x" 5 (contrainte n°1 =
contrainte budgétaire) etI[ z źCź 0Ùx 0 (contraintes n°2 = contraintes de non-négativité)3.z 0
etź 04.z(p.x²R) = 0
et źB[= 0 61. Résolution analytique du
problème de maximisation deO·XPLOLPp VRXV ŃRQPUMLQPH
1ercas possible :
1) Solutions intérieures : cas où x > 0 ; alors la condition [4] implique : ź 0 Rappel :lorsque x est de dimension k, ieque x=(x1, x2 " xk), x > 0 ÙSRXU PRXP Ó 1" N xj> 0La condition [1] peut se réécrire :
U(x)/[ = zBS
AEComme x et p sont des vecteursGH GLPHQVLRQ N1 HP z est un scalaire, la condition [1] se réécrit comme : pour tout j = 1,.., k, 8[Cxj= zSj 71. Résolution analytique du
problème de maximisation deO·XPLOLPp VRXV ŃRQPUMLQPH
Solutions intérieures : ex. avec ŃMV G·XQ HQVHPNOH G·RNÓHPV avec deux biens seulement, xiet xj.IM ŃRQGLPLRQ L1@ V·pŃULP
8[C[i= zSi
8[Cxj= zSj
Donc :
L 8[Cxi] / pi z L 8[Cxj] / pj
G·RZ
TMSij= L U(x)/[i] / L U(x)/xj] = pi/pj $ O·RSPLPXP OH 706 HQPUH OHV GHX[ NLHQV GRLP rPUH pJMO MX rapport de leurs prixRings a bell?
81. Résolution analytique du
problème de maximisation deO·XPLOLPp VRXV ŃRQPUMLQPH
2ème cas possible :
2) Solutions en coins : cas où pour un certain j, xj= 0 ;en revanche on ne peut pas neutraliser źj
Rappel ź HVP XQ vecteurde dimension (1,k)
IM ŃRQGLPLRQ L1@ V·pŃULP MORUV
8[Cxj= zSj²źj
AEComme x et p sont des vecteursGH GLPHQVLRQ N1 HP z est scalaire, la condition [1] implique que : et8[CxjzSj(car źj0) 91. Résolution analytique du
problème de maximisation deO·XPLOLPp VRXV ŃRQPUMLQPH
Solutions en coins : ex. avec cas G·XQ HVSMŃH G·RNÓHPV avec deux biens seulement, x1et x2, avec x1= 0.IM ŃRQGLPLRQ L1@ V·pŃULP
U(x)/x2= zS2
8[C[1= zS1-ź1
GMQV OH ŃMV RZ RQ M ź1> 0 ("vraie» solution en coin, et pas tangence de la courbe G·XPLOLPp j OM GURLPH GH NXGJHP VXU XQ GHV M[HVOu encore :
L 8ݔכ)/x1] / p1 Interprétation pPMQP GRQQpV OHV SUL[ GHV NLHQV O·XPLOLPp PMUJLQMOH SMU HXUR dépensé pour le bien 1 est plus faible TXH O·XPLOLPp PMUJLQMOH SMU HXUR GpSHQVp pour le bien 2, de sorte que le consommateur serait prêt à échanger GMYMQPMJH GX NLHQ 1 SRXU MYRLU GMYMQPMJH GH NLHQ 2" Mais il ne peut plus ! 10 1. Résolution analytique du
problème de maximisation de O·XPLOLPp VRXV ŃRQPUMLQPH
Signification du multiplicateur de Lagrange (solution intérieure) 3RXU XQ ŃRQVRPPMPHXU OH PXOPLSOLŃMPHXU UHSUpVHQPH O·MXJPHQPMPLRQ PMUJLQMOH GH O·XPLOLPp LQGXLPH SMU OH UHOkŃOHPHQP GH OM ŃRQPUMLQPH NXGJpPMLUH SMU H[B XQH augmentation marginale du revenu) On peut le voir en définissant Vla IRQŃPLRQ G·XPLOLPp LQGLUHŃPH, qui pour tout YHŃPHXU GH SUL[ S HP QLYHMX GH UHYHQX 5 GRQQH OH QLYHMX G·XPLOLPp GRQQp SMU OH panier optimal (compte tenu de p et de R) : v(p,R) = U(x*) = U(x(p,R)) $ORUV HQ XPLOLVMQP OHV F32 GX SURNOqPH GH PM[LPLVMPLRQ GH O·XPLOLPp HP OM ORL GH Walras, on peut montrer que :
Yp,RC5 z
NB :GqV ORUV TXH OM ORL GH JMOUMV Q·HVP SMV UHVSHŃPpH GRQŃ TXH 8B Q·HVP SMV PRQRPRQH OH GHVVHUUHPHQP GH OM ŃRQPUMLQPH NXGJpPMLUH Q·MSSRUPH MXŃXQ VXSSOpPHQP G·XPLOLPp SXLVTXH OM ŃRQPUMLQPH Q·pPMLP SMV UpHOOHPHQP ŃRQPUMLJQMQPH RX ©binding»). Comme O·LQGLTXHQP OHV ŃRQGLPLRQV GH .XOQ HP 7XŃNHU RQ HVP NLHQ GMQV OH ŃMV RZ z 0 11 1. Résolution analytique du
problème de maximisation de O·XPLOLPp VRXV ŃRQPUMLQPH
Généralisation (1)
FMV G·XQH RSPLPLVMPLRQ VRXV XQH ŃRQPUMLQPH G·pJMOLPp maxU(x1" xk)s.c.g(x1" xk) = c La contrainte peut être une contrainte budgétaire, une contrainte de temps, etc. IH IMJUMQJLHQ V·pŃULP L(x,z 8[ ²z(g(x) ²c) Conditions de premier ordre (CPO) :
1.3RXU PRXP Ó 1" N L(x,z)Cxj= 0 ÙU(x)Cxj= z J[Cxj
2.L(x,z)Cz= 0 Ùg(x) = c (on retrouve la contrainte)
Exemple :6RLP O OH QRPNUH G·OHXUHV PUMYMLOOpHV SMU ÓRXU O OH QRPNUH G·OHXUHV GH ORLVLUV G OH QRPNUH G·OHXUHV GH VRPPHLOB 2Q VXSSRVH XQH IRQŃPLRQ G·XPLOLPp TXL GpSHQG GH O O HP G 8 Ih,l,d). Alors le pbde PM[LPLVMPLRQ SHXP V·pŃULUH Max U(h,l,d) s.c. h + l + d = 24 12 1. Résolution analytique du
problème de maximisation de O·XPLOLPp VRXV ŃRQPUMLQPH
Généralisation (2)
FMV G·XQH RSPLPLVMPLRQ sous P ŃRQPUMLQPHV G·pJMOLPp maxU(x1" xk) s.c.gi(x1" xk) = ci pour i = 1,.., m ziest appelé le multiplicateur de Lagrange associé à la contrainte i Conditions de premier ordre (CPO) :
2.3RXU PRXP L 1" P L(x,zCzi= 0 Ùgi (x) = ci(on retrouve les m
contraintes) Exemple :FRQVLGpURQV OH ŃMV G·XQH YLHLOOH GMPH ULŃOH VMQV GHVŃHQGMQŃH TXL GRLP décider de la transmission de sa fortune, notée F. Son utilité dépendra des sommes w, x, y et z versées à quatre fondations. Elle a juré à son défunt mari de léguer un
PLHUV GH OHXUV NLHQV MX[ GHX[ SUHPLqUHV IRQGMPLRQVB FRPPHQP V·pŃULP OH SURNOqPH de maximisation de Madame ? 13 1. Résolution analytique du
problème de maximisation de O·XPLOLPp VRXV ŃRQPUMLQPH
Généralisation (3)
FMV G·XQH RSPLPLVMPLRQ VRXV m ŃRQPUMLQPHV G·inégalité : maxU(x1" xk) s.c.gi(x1" xk " Ńi pour i = 1,.., m FRPPH SUpŃpGHPPHQP OH IMJUMQJLHQ V·pŃULP : Conditions de premier ordre (CPO) :
2.3RXU PRXP L 1" P L(x,z)/zi 0 Ùgi(x) "ci(on retrouve les m
contraintes) Exemple :Soit un individu qui arbitre entre sa consommation c et son temps de ORLVLU I PRLQV LO SMVVH GH PHPSV j PUMYMLOOHU PRLQV LO M G·MUJHQP SRXU ŃRQVRPPHUB Chaque heure de travail est rémunérée à un salaire horaire net de 9 euros, et O·LQGLYLGX GRLP HIIHŃPXHU MX PLQLPXP 7 OCÓRXUB 6MŃOMQP TXH OM GXUpH G·XQH ÓRXUQpH HVP GH 24O HP TX·LO M XQH IRQŃPLRQ G·XPLOLPp 8 8c,L ŃRPPHQP V·pŃULP HP VH UpVRXP OH
pbG·RSPLPLVMPLRQ GH O·LQGLYLGX VMŃOMQP TX·LO PUMYMLOOH " 14 1. Résolution analytique du
problème de maximisation de O·XPLOLPp VRXV ŃRQPUMLQPH
Généralisation (4)
Vous pouvez imaginer toutes les combinaisons possibles : m contraintes de non-QpJMPLYLPp Q ŃRQPUMLQPHV G·pJMOLPp N ŃRQPUMLQPHV G·LQpJMOLPp HPŃB
Vous devez être capable de résoudre les différents types de SURNOqPHV G·RSPLPLVMPLRQ
Et au préalable, vous devez savoir poser le problème (!) Pour vous aider :
4XHOTXHV VOLGHV GH V\QPOqVH VXU O·Optimisation statique VademecumVXU O·RSPLPLVMPLRQ VRXV ŃRQPUMLQPHV pŃULP SMU Julien Grenet
Le cours de Mathématiques pour économistes 15 1. Résolution analytique du
problème de maximisation de O·XPLOLPp VRXV ŃRQPUMLQPH
([HPSOH XQH IRQŃPLRQ G·XPLOLPp FRNN-Douglas En posant les conditions de K-T, déterminer la demande marshallienne associée aux préférences représentées par la IRQŃPLRQ G·XPLOLPp VXLYMQPH
U(x1,x2) = x1ǂx2ǃ
Sachant que:
-LH ŃRQVRPPMPHXU QH SHXP ŃRQVRPPHU TX·XQH TXMQPLPp SRVLPLYH ou nulle des deux biens -Le revenu du consommateur est égal à 20 -Le prix du bien 1 est égal à 2 euros, et le prix du bien 2 à 3 euros La loi de Walras est-elle vérifiée ? La demande marshallienne est- elle homogène de degré 0 ? 16 2. Minimisation de la dépense et
dualité Le problème de minimisation de la dépense (PMD) F·HVP OH SURNOqPH V\PpPULTXH GH ŃHOXL GH OM PM[LPLVMPLRQ GH O·XPLOLPp 308
On parle de dualitédu PMD et du PMU
Def: Etant donné une fonction U, un ensemble de ŃRQVRPPMPLRQ ; XQ YHŃPHXU GH SUL[ S ! 0 HP XQ QLYHMX G·XPLOLPp ŃRQPUMLQPH G·XPLOLPp V·pŃULP
Minxp.x
s.c.8[ ഥܷ 17 Def: le Lagrangienassociée au PMD est la fonction, notée L, définie comme suit : I[ z ź -S[ Ą z8[ ²ഥࢁ) + źB[ 2Z z HP ź VRQP MSSHOpV OHV multiplicateurs de Lagrange associés
respectivement aux contraintes : 8[ ഥܷ
Les conditions de Kuhn et Tucker se posent de la même manière que pour le PMU Rappel : minimiserune fonction f revient à maximiserla fonction (²f) 2. Minimisation de la dépense et
dualité 18 Def:On note h(p, ഥܷ OM VROXPLRQ G·XQ PHO SURJUMPPH RZ OS ഥܷ est la fonction de demande hicksienne h(p, ഥܷ S[ 8[ Ö` [min p.x]
Propriétés : VRLP 8 XQH IRQŃPLRQ G·XPLOLPp ŃRQPLQXH UHSUpVHQPMQP GHV préférences monotones. Alors pour tout p > 0, ഥܷ de demande hicksienneh(p, ഥܷ h(p, ഥܷ
Homogénéité de degré 0 en p
Pour tout x
h(p, Ù), U(x) = ഥࢁSMV G·©excèsª G·XPLOLPp Si les préférences sont strictement convexes alors h(p, ഥܷ ŃRQVPLPXp G·XQ uniqueélément pour p et ഥܷ 2. Minimisation de la dépense et
dualité 19 Def:La fonction de dépense, notée e(p, ഥࢁ) est la grandeur p.x*, où x* est une solution du programme de minimisation de la dépense (PMD) Equivalent dans le PMU : la IRQŃPLRQ G·XPLOLPp LQGLUHŃPH v(p,R) Si les préférences sont monotones et continues, la fonction de dépense est : Homogène de degré 1en p
Strictement croissante en ഥܷ
Non-décroissante enpjpour tout j
Concaveen p
Continueen pet en ഥܷ
2. Minimisation de la dépense et
dualité 20 La dualité
On peut montrer que, si U représente des préférences monotones et continues, on a les propriétéssuivantes : Si x* est solution au PMU (avec R > 0), alorsx* est solution au 30G ORUVTXH OH QLYHMX G·XPLOLPp j MPPHLQGUHഥܷ
De plus, le niveau de dépenses (minimum) atteint par le PMD est exactement égal à R : e(x*) = R
Si x* est solution au PMD (avec ഥܷ
au PMU lorsque le revenu R est égal à p.x* GH SOXV OH QLYHMX G·XPLOLPp PM[LPXP MPPHLQP GpŃRXOMQP GX PMU est exactement égal à ഥܷ: v(x*) = ഥܷ GpPRQVPUMPLRQ SMU O·MNVXUGH
2. Minimisation de la dépense et
dualité 21
La dualité implique plusieurs propriétés : Si les préférences sont continues et monotones, alors : Pour les fonctions de demande hicksienneet marshallienne : h(p, ഥࢁ) = x(p, e(p, ഥࢁ))(AEfonction de demande compensée) x(p,R) = h(p, v(p,R))
Pour les fonctions de GpSHQVH HP G·XPLOLPp LQGLUHŃPH: e(p, v(p,R)) = R
v(p,e(p, ഥࢁ)) = ഥࢁ
2. Minimisation de la dépense et
dualité 22
Relations entre demandes hicksienneet marshallienne Propriétés : Soit un niveau de revenu R > 0 etഥܷ Les fonctions de demande hicksienneet de demande marshallienne QH VH ŃURLVHQP TX·HQ XQ VHXO SRLQP, le point x tq x(p,R) = h(p,ഥܷ) avec R = e(p,ഥܷ IRUVTX·RQ UHSUpVHQPH OHV IRQŃPLRQV GH GHPMQGH hicksienneet marshallienne dans le plan (p,x), la fonction de demande hicksienneest plus "pentue» que la fonction de demande marshallienne lorsque x est un bien normal F·HVP O·LQYHUVH lorsque x est un bien inférieur Loi de la demande compensée :On suppose que h(p,ഥܷ pour tout p > 0. Alors la fonction de demande hicksiennevérifie : 3RXU PRXP S· S·· ! 0S··-S·BLOS··ࢁ) ²OS·ࢁ@ " 0
2. Minimisation de la dépense et
dualité 23
Identité de Roy
3RXU PRXP Ó 1"N xj(p,R) = -LYp,RCpj@CLYp,R)/R]
Lemme de Shepard
3RXU PRXP Ó 1"N Hp,u0)Cpj= hj(p,u0)
Equation de Slutsky
[i(p,RCpj= LOi(p, u0)/pj]²xj(p,R)Lxi(p,R)/5@ Effet de substitution : toujours négatif
Effet-revenu : bien normal ou inférieur ?
3. Propriétés et théorèmes
importants 24
quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40
1. Résolution analytique du
problème de maximisation deO·XPLOLPp VRXV ŃRQPUMLQPH
Signification du multiplicateur de Lagrange (solution intérieure) 3RXU XQ ŃRQVRPPMPHXU OH PXOPLSOLŃMPHXU UHSUpVHQPH O·MXJPHQPMPLRQ PMUJLQMOH GH O·XPLOLPp LQGXLPH SMU OH UHOkŃOHPHQP GH OM ŃRQPUMLQPH NXGJpPMLUH SMU H[B XQH augmentation marginale du revenu) On peut le voir en définissant Vla IRQŃPLRQ G·XPLOLPp LQGLUHŃPH, qui pour tout YHŃPHXU GH SUL[ S HP QLYHMX GH UHYHQX 5 GRQQH OH QLYHMX G·XPLOLPp GRQQp SMU OH panier optimal (compte tenu de p et de R) : v(p,R) = U(x*) = U(x(p,R)) $ORUV HQ XPLOLVMQP OHV F32 GX SURNOqPH GH PM[LPLVMPLRQ GH O·XPLOLPp HP OM ORL GHWalras, on peut montrer que :
Yp,RC5 z
NB :GqV ORUV TXH OM ORL GH JMOUMV Q·HVP SMV UHVSHŃPpH GRQŃ TXH 8B Q·HVP SMV PRQRPRQH OH GHVVHUUHPHQP GH OM ŃRQPUMLQPH NXGJpPMLUH Q·MSSRUPH MXŃXQ VXSSOpPHQP G·XPLOLPp SXLVTXH OM ŃRQPUMLQPH Q·pPMLP SMV UpHOOHPHQP ŃRQPUMLJQMQPH RX ©binding»). Comme O·LQGLTXHQP OHV ŃRQGLPLRQV GH .XOQ HP 7XŃNHU RQ HVP NLHQ GMQV OH ŃMV RZ z 0 111. Résolution analytique du
problème de maximisation deO·XPLOLPp VRXV ŃRQPUMLQPH
Généralisation (1)
FMV G·XQH RSPLPLVMPLRQ VRXV XQH ŃRQPUMLQPH G·pJMOLPp maxU(x1" xk)s.c.g(x1" xk) = c La contrainte peut être une contrainte budgétaire, une contrainte de temps, etc. IH IMJUMQJLHQ V·pŃULP L(x,z 8[ ²z(g(x) ²c)Conditions de premier ordre (CPO) :
1.3RXU PRXP Ó 1" N L(x,z)Cxj= 0 ÙU(x)Cxj= z J[Cxj
2.L(x,z)Cz= 0 Ùg(x) = c (on retrouve la contrainte)
Exemple :6RLP O OH QRPNUH G·OHXUHV PUMYMLOOpHV SMU ÓRXU O OH QRPNUH G·OHXUHV GH ORLVLUV G OH QRPNUH G·OHXUHV GH VRPPHLOB 2Q VXSSRVH XQH IRQŃPLRQ G·XPLOLPp TXL GpSHQG GH O O HP G 8 Ih,l,d). Alors le pbde PM[LPLVMPLRQ SHXP V·pŃULUH Max U(h,l,d) s.c. h + l + d = 24 121. Résolution analytique du
problème de maximisation deO·XPLOLPp VRXV ŃRQPUMLQPH
Généralisation (2)
FMV G·XQH RSPLPLVMPLRQ sous P ŃRQPUMLQPHV G·pJMOLPp maxU(x1" xk) s.c.gi(x1" xk) = ci pour i = 1,.., m ziest appelé le multiplicateur de Lagrange associé à la contrainte iConditions de premier ordre (CPO) :
2.3RXU PRXP L 1" P L(x,zCzi= 0 Ùgi (x) = ci(on retrouve les m
contraintes) Exemple :FRQVLGpURQV OH ŃMV G·XQH YLHLOOH GMPH ULŃOH VMQV GHVŃHQGMQŃH TXL GRLP décider de la transmission de sa fortune, notée F. Son utilité dépendra des sommesw, x, y et z versées à quatre fondations. Elle a juré à son défunt mari de léguer un
PLHUV GH OHXUV NLHQV MX[ GHX[ SUHPLqUHV IRQGMPLRQVB FRPPHQP V·pŃULP OH SURNOqPH de maximisation de Madame ? 131. Résolution analytique du
problème de maximisation deO·XPLOLPp VRXV ŃRQPUMLQPH
Généralisation (3)
FMV G·XQH RSPLPLVMPLRQ VRXV m ŃRQPUMLQPHV G·inégalité : maxU(x1" xk) s.c.gi(x1" xk " Ńi pour i = 1,.., m FRPPH SUpŃpGHPPHQP OH IMJUMQJLHQ V·pŃULP :Conditions de premier ordre (CPO) :
2.3RXU PRXP L 1" P L(x,z)/zi 0 Ùgi(x) "ci(on retrouve les m
contraintes) Exemple :Soit un individu qui arbitre entre sa consommation c et son temps de ORLVLU I PRLQV LO SMVVH GH PHPSV j PUMYMLOOHU PRLQV LO M G·MUJHQP SRXU ŃRQVRPPHUB Chaque heure de travail est rémunérée à un salaire horaire net de 9 euros, et O·LQGLYLGX GRLP HIIHŃPXHU MX PLQLPXP 7 OCÓRXUB 6MŃOMQP TXH OM GXUpH G·XQH ÓRXUQpHHVP GH 24O HP TX·LO M XQH IRQŃPLRQ G·XPLOLPp 8 8c,L ŃRPPHQP V·pŃULP HP VH UpVRXP OH
pbG·RSPLPLVMPLRQ GH O·LQGLYLGX VMŃOMQP TX·LO PUMYMLOOH " 141. Résolution analytique du
problème de maximisation deO·XPLOLPp VRXV ŃRQPUMLQPH
Généralisation (4)
Vous pouvez imaginer toutes les combinaisons possibles : m contraintes de non-QpJMPLYLPp Q ŃRQPUMLQPHV G·pJMOLPp NŃRQPUMLQPHV G·LQpJMOLPp HPŃB
Vous devez être capable de résoudre les différents types deSURNOqPHV G·RSPLPLVMPLRQ
Et au préalable, vous devez savoir poser le problème (!)Pour vous aider :
4XHOTXHV VOLGHV GH V\QPOqVH VXU O·Optimisation statique VademecumVXU O·RSPLPLVMPLRQ VRXV ŃRQPUMLQPHV pŃULP SMUJulien Grenet
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problème de maximisation deO·XPLOLPp VRXV ŃRQPUMLQPH
([HPSOH XQH IRQŃPLRQ G·XPLOLPp FRNN-Douglas En posant les conditions de K-T, déterminer la demande marshallienne associée aux préférences représentées par laIRQŃPLRQ G·XPLOLPp VXLYMQPH
U(x1,x2) = x1ǂx2ǃ
Sachant que:
-LH ŃRQVRPPMPHXU QH SHXP ŃRQVRPPHU TX·XQH TXMQPLPp SRVLPLYH ou nulle des deux biens -Le revenu du consommateur est égal à 20 -Le prix du bien 1 est égal à 2 euros, et le prix du bien 2 à 3 euros La loi de Walras est-elle vérifiée ? La demande marshallienne est- elle homogène de degré 0 ? 162. Minimisation de la dépense et
dualité Le problème de minimisation de la dépense (PMD) F·HVP OH SURNOqPH V\PpPULTXH GH ŃHOXL GH OM PM[LPLVMPLRQ GHO·XPLOLPp 308
On parle de dualitédu PMD et du PMU
Def: Etant donné une fonction U, un ensemble de ŃRQVRPPMPLRQ ; XQ YHŃPHXU GH SUL[ S ! 0 HP XQ QLYHMX G·XPLOLPpŃRQPUMLQPH G·XPLOLPp V·pŃULP
Minxp.x
s.c.8[ ഥܷ 17 Def: le Lagrangienassociée au PMD est la fonction, notée L, définie comme suit : I[ z ź -S[ Ą z8[ ²ഥࢁ) + źB[2Z z HP ź VRQP MSSHOpV OHV multiplicateurs de Lagrange associés
respectivement aux contraintes :8[ ഥܷ
Les conditions de Kuhn et Tucker se posent de la même manière que pour le PMU Rappel : minimiserune fonction f revient à maximiserla fonction (²f)2. Minimisation de la dépense et
dualité 18 Def:On note h(p, ഥܷ OM VROXPLRQ G·XQ PHO SURJUMPPH RZ OS ഥܷ est la fonction de demande hicksienne h(p, ഥܷS[ 8[ Ö` [min p.x]
Propriétés : VRLP 8 XQH IRQŃPLRQ G·XPLOLPp ŃRQPLQXH UHSUpVHQPMQP GHV préférences monotones. Alors pour tout p > 0, ഥܷ de demande hicksienneh(p, ഥܷh(p, ഥܷ
Homogénéité de degré 0 en p
Pour tout x
h(p, Ù), U(x) = ഥࢁSMV G·©excèsª G·XPLOLPp Si les préférences sont strictement convexes alors h(p, ഥܷ ŃRQVPLPXp G·XQ uniqueélément pour p et ഥܷ2. Minimisation de la dépense et
dualité 19 Def:La fonction de dépense, notée e(p, ഥࢁ) est la grandeur p.x*, où x* est une solution du programme de minimisation de la dépense (PMD) Equivalent dans le PMU : la IRQŃPLRQ G·XPLOLPp LQGLUHŃPH v(p,R) Si les préférences sont monotones et continues, la fonction de dépense est :Homogène de degré 1en p
Strictement croissante en ഥܷ
Non-décroissante enpjpour tout j
Concaveen p
Continueen pet en ഥܷ
2. Minimisation de la dépense et
dualité 20La dualité
On peut montrer que, si U représente des préférences monotones et continues, on a les propriétéssuivantes : Si x* est solution au PMU (avec R > 0), alorsx* est solution au30G ORUVTXH OH QLYHMX G·XPLOLPp j MPPHLQGUHഥܷ
De plus, le niveau de dépenses (minimum) atteint par lePMD est exactement égal à R : e(x*) = R
Si x* est solution au PMD (avec ഥܷ
au PMU lorsque le revenu R est égal à p.x* GH SOXV OH QLYHMX G·XPLOLPp PM[LPXP MPPHLQP GpŃRXOMQP GX PMU est exactement égal à ഥܷ: v(x*) = ഥܷGpPRQVPUMPLRQ SMU O·MNVXUGH
2. Minimisation de la dépense et
dualité 21La dualité implique plusieurs propriétés : Si les préférences sont continues et monotones, alors : Pour les fonctions de demande hicksienneet marshallienne : h(p, ഥࢁ) = x(p, e(p, ഥࢁ))(AEfonction de demande compensée)
x(p,R) = h(p, v(p,R))
Pour les fonctions de GpSHQVH HP G·XPLOLPp LQGLUHŃPH:e(p, v(p,R)) = R
v(p,e(p, ഥࢁ)) = ഥࢁ
2. Minimisation de la dépense et
dualité 22Relations entre demandes hicksienneet marshallienne Propriétés : Soit un niveau de revenu R > 0 etഥܷ Les fonctions de demande hicksienneet de demande marshallienne QH VH ŃURLVHQP TX·HQ XQ VHXO SRLQP, le point x tq x(p,R) = h(p,ഥܷ) avec R = e(p,ഥܷ IRUVTX·RQ UHSUpVHQPH OHV IRQŃPLRQV GH GHPMQGH hicksienneet marshallienne dans le plan (p,x), la fonction de demande hicksienneest plus "pentue» que la fonction de demande marshallienne lorsque x est un bien normal F·HVP O·LQYHUVH lorsque x est un bien inférieur Loi de la demande compensée :On suppose que h(p,ഥܷ pour tout p > 0. Alors la fonction de demande hicksiennevérifie :
3RXU PRXP S· S·· ! 0S··-S·BLOS··ࢁ) ²OS·ࢁ@ " 0
2. Minimisation de la dépense et
dualité 23Identité de Roy
3RXU PRXP Ó 1"N xj(p,R) = -LYp,RCpj@CLYp,R)/R]
Lemme de Shepard
3RXU PRXP Ó 1"N Hp,u0)Cpj= hj(p,u0)
Equation de Slutsky
[i(p,RCpj= LOi(p, u0)/pj]²xj(p,R)Lxi(p,R)/5@Effet de substitution : toujours négatif
Effet-revenu : bien normal ou inférieur ?
3. Propriétés et théorèmes
importants 24quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40