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SOMMES, PRODUITS, COEFFICIENTS BINOMIAUX 1 Soient (ak)1⩽k⩽n, (bk)1 ⩽k⩽n et (zi j)1⩽i⩽m 1⩽j⩽n deux fa- milles de nombres complexes, λ ∈ et 

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p+up+1+up+2++un1+un=n? k=pu ?? ??????q6= 1?n k=pu k= (??? ?????)1(??????)?????? ?? ??????1?????? ??????u1;u2;:::;up??? ?????? ?? ???? ???? ???????u1u2 up=p? k=1u k? ???? ????? ??????? a0;a1;:::;an;b0;b1;:::;bn? ?? ? ? n k=0(akbk) =n? k=0a kn? k=0b k ???? ????? ??2R?? ???? ???? ?????a0;:::;an? ?? ? ? n k=0a k=n+1n? k=0a k ???? ???16p6n1? ?? ? ? n? k=0a k=p? k=0a kn? k=p+1a k n! =n(n1)(n2) 321 =n? k=1k ???0! = 1? ???1! = 1? ???2! = 21 = 2? ???3! = 321 = 6? ???? ????n>1? ?? ? ? n! =n(n1)! n! =n(n1)! ????? ???? ??? ???? ???? ??????n>1? (n+ 1)! = (n+ 1)n! p? n p? p? ???? ????n>0??n 0? = 1? ???? ????n>1??n 1? =n? ???? ????n>2??n 2? =n(n1)2 ???? ????n>1??n n1? =n? ???? ????n>1??n n? = 1 ???? ???? ???????n??p???? ???06p6n? ?? ? ?? n np? =?n p????? ????n??p???? ???16p6n? ?? ? ?p ?n p? =n?n1 p1? ?n 0? =n!0!n!=10! = 1 ?n 1? =n!1!(n1)!=n(n1)!(n1)!=n ?n 2? =n!2!(n2)!=n(n1)(n2)!2!(n2)!=n(n1)2 ?n np? =n!(np)!(n(np))!=n!p!(np)!=?n p? p ?n p? ???? ???? ???????n??p? ?? ? ? ?n p? +?n p+ 1? =?n+ 1 ?n p? +?n p+ 1? =n!p!(np)!+n!(p+ 1)!(np1)!=n!p!(np1)!?

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