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Tests statistiques élémentaires
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Résumé
Il serait vain de chercher à présenter l"ensemble des tests statis- tiques, la littérature est très abondante sur le sujet. Cette vignette introduit les plus couramment calculés par les logiciels statistiques standards (SAS, Minitab, R...). Sont concernés les test à un seul échantillon, de comparaison de deux échantillons, d"adéquation d"une loi et enfin non-paramétriques. Les différents tests sont décrits succinctement dans ce document en supposant que leur apprentis- sage est complété par des travaux pratiques mettant en oeuvre un logiciel statistique. Dans ce contexte, les calculs et des exemples nu- mériques ne sont pas systématiquement détaillés.Retour au
plan du cour s1 Introduction
1.1 Objectif
Confronté à des phénomènes complexes et aléatoires, la prise de décision est difficile et les outils adaptés de la théorie destestsont pour objet de guider les choix entre différentes alternatives. De façon générale, il s"agira de décider si des différences observées entre un modèle poséa prioriet des observations sontsignificativesou peuvent être considérées comme étant dues au simple effet du hasard consécutif aux aléas du tirage d"un échantillon. Réaliser untest statistiqueconsiste à mettre en oeuvre une procédure permettant : de confronter une hypothèse avec la réalité, ou plus exactement, avec ce que l"on perçoit de la réalité à travers les observations à disposition; de prendre une décision à la suite de cette confrontation. Si les problèmes traités par l"estimation (ponctuelle ou par intervalle de confiance) sont de type quantitatif, i.e. conduisent à un résultat numérique, ceux traités par les tests d"hypothèses sont d"ordre qualitatif, i.e. conduisent àune réponse du type rejet/acceptation de l"hypothèse statistique considérée.1.2 Problématique
Le médicament testé est-il efficace? Les pièces sortant d"une machine sont- elles conformes? Un nouveau mode de culture bactérienne est-il plus efficace? Quels sont les gènes significativement différentiellement exprimés dans un tis- sus pathologiques?... Sont autant de questions auxquels des tests statistiques peuvent apporter des réponses sous 4 conditions : 1. la question est posée de sorte qu"il n"y ait que 2 réponses possibles : oui/non, 2. une e xpérimentationplanifiéefournit des données relatives à cette ques- tion, 3. les données s ontconsidérées comme la réalisation de v ariablesaléatoires décrites par unmodèle statistique, 4. la réponse à la question se traduit par l"acceptation ou le rejet d"une hy- pothèse(notéeH0) caractéristique du modèle précédent. Dans ces conditions et avec une marge d"erreur plus ou moins bien contrôlée, Accepterl"hypothèse, fait répondreNonà la question en considérant que les différences observées entre le modèle et la réalité des observations sont imputables au seul hasard. Rejeterl"hypothèse faitOuià la question : les différences sont jugéessignifi- cativescar trop improbables ou invraisemblables.1.3 Exemple
Des relevés effectués pendant de nombreuses années ont permis d"établir loi normaleN(600;1002). Des entrepreneurs, surnommés "faiseurs de pluie", prétendaient pouvoir augmenter de50mmle niveau moyen de pluie, ceci par insémination des nuages au moyen d"iodure d"argent. Leur procédé fut mis àl"essai entre 1951 et 1959 et on releva les hauteurs de pluies suivantes :Année195119521953195419551956195719581959
mm510614780512501534603788650 Que pouvait-on en conclure? Deux hypothèses s"affrontaient : ou bien l"insé- mination était sans effet, ou bien elle augmentait réellement le niveau moyen1Tests statistiques élémentaires
de pluie de50mm. Ces hypothèses pouvaient se formaliser comme suit, si désigne l"espérance mathématique deX, v.a.r. égale au niveau annuel de pluie.H0:= 600mm H1:1= 650mm:
Les agriculteurs hésitaient à opter pour le procédé forcément onéreux des faiseurs de pluie. Ainsi, il fallait donc que l"expérience puisse les convaincre, c"est-à-dire que les faits observés contredisent nettement l"hypothèseH0, dite "hypothèse nulle" (H1s"appelle "hypothèse alternative"). Les agriculteurs n"étaient donc décidés à abandonnerH0qu"en présence de faits expérimen- taux traduisant une éventualité improbable compte-tenu deH0. Par essence, l"objectif d"un test n"est pas de déterminer siH0est fondamen- talement vraie ou non, mais plutôt de voir siH0est une hypothèse cohérente avec les données observées. On souhaite donc voirH0rejetée uniquement dans le cas où les observations la rendent invraisemblable. Ce qui amène générale- ment à la pratique suivante : on fixe une valeur2]0;1[, appelée risque de première espèce, et l"on impose au test d"être tel que siH0est vraie, la proba- bilité de rejeter à tortH0soit inférieure à. Dans notre exemple, les agriculteurs choisirent= 0;05, c"est-à-dire qu"ils assumaient le risque de se tromper dans 5 cas sur 100, en croyant les promesses des faiseurs de pluie, alors que ces faiseurs de pluie étaient en réalité des char- latans. Comment décider? Puisqu"il s"agit de "tester" la moyenne, il est natu- rel de s"intéresser à la moyenne empiriqueX n=1n P n i=1Xique l"on sait convergente verspar la LGN. Pour ce test,X nest appelée la statistique de test. Alors, siH0est vraie, comme l"expérience porte surn= 9années, on aX n N(600;1002=9).Les données relevées indiquent quex
n= 610:2mm(c"est la moyenne ob- tenue sur toutes les années). L"hypothèseH1étant de la forme >600, on prendra la règle de décision suivante :Rejet deH0()PH0(Rejet deH0)<
()PH0X n>x n< ; où le signe à l"intérieur de la probabilité précédente est le même que celuiapparaissant dansH1. Il est alors facile de calculer cette dernière probabilitécar sousH0, la v.a.r.Z=X
n600100=3suit une loi normaleN(0;1): P H0(X n>610:2) =PZ >610:2600100=3
=P(Z >0:306) = 10:6406 = 0:354: Comme cette probabilité, appeléeprobabilité critiqueouP-valeur, est supé- rieure à= 0:05, la conclusion est donc que l"on accepte l"hypothèseH0, c"est-à-dire que les données ne sont pas incompatibles avecH0; elles peuvent s"expliquer par le simple fait du hasard. Remarque :La probabilité critique est, dans ce cas simple, lue directement dans la table de la loiN(0;1). C"est la quantité calculée (P-valeur ouP-value) et affichée par un logiciel pour tout test mais la décision peut être écrite d"une autre façon car la plupart des lois ne sont pas complètement tabulées. En effet, si le nombrekest la valeur seuil telle que P H0X n> k=,PH0X n= pn > u1 oùu1est l"(1)-quantile de la loi normaleN(0;1). Alors la règle de décision est la suivante :Rejet deH0()x
n= pn > u1 ()x n> k=+u1=pn: Avec= 5%, la valeuru0:95= 1:64est lue dans la table idoine etk= 655, qui définit la région critique, conduit à la même conclusion : pour le niveau = 5%, on ne rejette pas l"hypothèseH0. Une précision importante consiste à rechercher l"erreur de 2ème espèce () à savoir l"erreur commise en acceptant à tortH0. Supposons donc que les faiseurs de pluie ont raison. AlorsX nsuit une loi normaleN(650;1002=9), c"est-à-dire que la moyenne théorique en millimètres n"est plus600mais650, sous l"hypothèseH1. Ainsi, la probabilité de se tromper (accepterH0:=600alors que= 650) s"écrit en utilisant toujoursk= 655comme dans le2
Tests statistiques élémentaires
calcul précédent mais en calculant la probabilité sous l"hypothèseH1: =PH1(X n<655) =PZ <655650100=3
=P(Z <0:15) = 0:56; qui est un risque très élevée, au détriment des faiseurs de pluie, car l"échan- tillon est de trop petite taille pour espérer mettre en évidence ou rendre signi- ficative une différence de 50mm.2 Généralités sur les tests
2.1 Rôle et forme de l"hypothèse nulle
Dans l"exemple et de façon générale, les hypothèsesH0etH1ne jouent pas des rôles symétriques et la façon de rédigéeH0doit respectée la démarche scientifique :H0est l"hypothèse communément admise sauf si une expérience répétablevient laréfuter; elle est conservée si les résultats de l"expérience ne sont pas clairs. Par analogie avec la justice,H0est laprésomption d"innocence et des éléments matériels sont requis pour prouver la culpabilité. Le couple(H0;H1)(hypothèse nulle, hypothèse alternative) peut prendre plusieurs formes où généralementH1est la négation logique directe deH0.Deux cas sont classiques :
1.H0simpleetH1=Hc0, le test est ditbilatéral
H0=f=0getH1=f6=0g;
2.H0compositeetH1=Hc0, le test est ditunilatéral
H0=f0getH1=f > 0g:
2.2 Niveau et puissance
Dans un test d"hypothèse statistique, il y a deux manières de se tromper : 1. la p ossibilitéde reje terune h ypothèsealors qu"elle est vraie. Le ou risque de première espèce borne la probabilité de se tromper dans ce sens, c"est-à-dire la probabilité d"avoir unfaux-positif. 2. La possibilité d"accepter une h ypothèsealors qu"elle est f ausse.La pro- babilité de se tromper dans ce sens, c"est-à-dire la probabilité d"avoir unfaux-négatif, est le risque de deuxième espèce, et est notée.On appellepuissance de test, notée()la probabilité de rejeterH0alors
qu"elle est fausse. La puissance de test mesure donc son aptitude à bien rejeter une hypothèse fausse :() = 1(). L"enjeu en théorie des tests et plus généralement en statistique inféren- tielle est de construire des tests uniformément les plus puissants c"est-à-dire au moins aussi puissant que tout autre test de même niveauquelle que soit l"hypothèse alternative. Ainsi, dans notre exemple, la première façon de se tromper est de croire les faiseurs de pluie, alors qu"ils ne sont pour rien dans le résultat obtenu (rejeter H