Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www maths-et-tiques 1 SUITES ARITHMÉTICO- GÉOMÉTRIQUES I Etude d'une suite arithmético-géométrique
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[PDF] I Suites arithmétiques II Suites géométriques III Suites arithmético
Si (un)n∈N est une suite arithmétique de raison r et de premier terme u0, Une suite arithmético-géométrique associée `a a et b est une suite trique Exemple : Soit (un)n∈N la suite définie par ⎛ ⎨ ⎝ u0 = 1, ∀n ∈ N, un+1 = 3un − 4
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SUITES ARITHMÉTIQUES et SUITES GÉOMÉTRIQUES 1 ) SUITES On dit qu' une suite un est une suite arithmétique , s'il existe un réel r tel que pour tout entier naturel n , on ait un 1 15 47 2 =279 2 ) SUITES GÉ OM É TRIQUES
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SUITES ARITHMÉTIQUES et SUITES GÉOMÉTRIQUES 1 ) SUITES On dit qu' une suite un est une suite arithmétique , s'il existe un réel r tel que pour tout entier naturel n , on ait un 1 =un r 2 ) SUITES GÉ OM É TRIQUES
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2 2 Comment reconnaître une suite arithmétique? 3 Définition 4 : Une suite (vn)est une suite géométrique si elle est définie par la rela tion trique (vn), de raison q = 0,935 et de premier terme v0 = 5 150 Ainsi vn représente
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Cette suite est-elle arithmétique ou géométrique ? Donner sa raison 3 1 Sont -ce les premiers termes d'une suite géoém- trique ? Pourquoi ? 2 Quel serait le
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Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www maths-et-tiques 1 SUITES ARITHMÉTICO- GÉOMÉTRIQUES I Etude d'une suite arithmético-géométrique
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Pour représenter la relation de récurrence d'une suite arithmétique nous di- est une suite géométrique de premier terme 1 et de raison −2 Les suites suivantes sont définies par des formules explicites S'agit-il de suites géomé- triques ?
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Lorsque la suite est arithmétique ou géomé- trique, calculer la somme des vingt- cinq premiers termes 1) un = − 5(n −2), n ∈ N; 2) vn = 1+4 2(n + 3), n ≥ 1;
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YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr1SUITES ARITHMÉTICO-GÉOMÉTRIQUES I. Etude d'une suite arithmético-géométrique Définition : Une suite (un) est dite arithmético-géométrique s'il existe deux nombres a et b tels que pour tout entier n, on a :
u n+1 =au n +b. Un investisseur dépose 5000 € sur un compte rémunéré à 3% par an. Chaque année suivante, il dépose 300€ de plus. On note (un) la somme épargnée à l'année n. On a alors :
u n+1 =1,03u n +300et u 0 =5000
La suite (un) est arithmético-géométrique. 1) À l'aide du tableur, calculer la somme totale épargnée à la 10ème année. 2) Prouver que la suite (vn) définie pour tout entier n par
v n =u n +10000est géométrique et donner sa raison et son premier terme. 3) Exprimer vn en fonction de n. 4) En déduire un en fonction de n. Retrouver alors le résultat de la question 1 par calcul. 5) Etudier les variations de (un). 6) Calculer la limite de (un). Vidéo https://youtu.be/6-vFnQ6TghM Vidéo https://youtu.be/0CNt_fUuwEY Vidéo https://youtu.be/EgYTH79sDfw 1) Avec le tableur, on obtient : La somme totale épargnée à la 10ème année est égale à environ 10158,75 €.
YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr2 2) v n+1 =u n+1 +10000=1,03u n +300+10000
=1,03u n +10300
=1,03u n +10000
=1,03v n Donc (vn) est une suite géométrique de raison 1,03 et de premier terme v 0 =u 0 +10000=5000+10000=15000
. 3) Pour tout n, v n =15000×1,03 n . 4) Pour tout n, u n =15000×1,03 n -10000 . On a alors : u 10 =15000×1,03 10 -10000≈10158,75
5) Pour tout n,
u n+1 -u n =15000×1,03 n+1 -10000-15000×1,03 n -10000 =15000×1,03 n+1 -1,03 n =15000×1,03 n×1,03-1
=450×1,03 n >0 Donc la suite (un) est strictement croissante. 6) Comme 1,03 > 1, lim n→+∞ 1,03 n donc lim n→+∞15000×1,03
nEt donc
lim n→+∞15000×1,03
n -10000 , soit : lim n→+∞ u n. II. Représentation graphique d'une suite arithmético-géométrique Soit (un) la suite définie par
u 0 =8 et pour tout entier naturel n, u n+1 =0,85u n +1,8 . 1) Dans un repère orthonormé, tracer les droites d'équations respectives y=0,85x+1,8 et y=x. 2) Dans ce repère, placer u0 sur l'axe des abscisses, puis en utilisant les droites précédemment tracées, construire sur le même axe u1, u2 et u3. On laissera apparent les traits de construction. 3) À l'aide du graphique, conjecturer la limite de la suite (un). D'après Bac ES Polynésie 2009 Vidéo https://youtu.be/L7bBL4z-r90
YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr3 1) 2) 3) En continuant le tracé, celui-ci se rapprocherait de plus en plus de l'intersection des deux droites. On conjecture que la limite de la suite (un) est 12. Afficher la représentation graphique sur la calculatrice : Vidéo TI https://youtu.be/bRlvVs9KZuk Vidéo Casio https://youtu.be/9iDvDn3iWqQ Vidéo HP https://youtu.be/wML003kdLRo Horsducadredelaclasse,aucunereproduction,mêmepartielle,autresquecellesprévuesàl'articleL122-5ducodedelapropriétéintellectuelle,nepeutêtrefaitedecesitesansl'autorisationexpressedel'auteur.www.maths-et-tiques.fr/index.php/mentions-legales
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