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Notations mathematiques et redaction

1Introduction

2Symboles mathematiques

3Un peu de francais

4Les cles de la reussite

()Notations mathematiques et redaction1 / 33 Plan

1Introduction

2Symboles mathematiques

3Un peu de francais

4Les cles de la reussite

()Notations mathematiques et redaction2 / 33 En mathematiques, les concepts sont aussi importants que les calculs. Dans votre futur profession, des moyens informatiques se chargeront de la partie calcul, mais c'est vous qui devrez choisir quel calcul faire et par quelle methode. Puis vous devrez interpreter les resultats, les expliquer a d'autres et justier vos choix. Ce qui veut dire que vous devez comprendre ce que vous faites et pourquoi vous le faites (raisonner). Les objectifs principaux de l'annee ATS sont : acquerir/renforcer des connaissances, ma^triser les outils de calculs et savoir mener des raisonnements. Pour verier si ces objectifs sont atteints, il y aura des evaluations orales (colles) et ecrites (DS). En particulier a l'ecrit, on vous demandera de bien redigervos reponses. Bien redigersignie exposer clairement sa pensee, et sans aucune ambigute pour le lecteur. Pourquoi est-ce important de bien rediger? ()Notations mathematiques et redaction3 / 33

Denition

Un dromadaire est animal qui a quatre pattes et une bosse.

Exercice 1

Determiner parmi les objets suivants quels sont les dromadaire. Justier votre reponse. ()Notations mathematiques et redaction4 / 33 Question 1.Montrer quefest une application lineaire. f(x+x0;y+y0) =a(x+x0) +b(y+y0);c(x+x0) +d(y+y0) ax+ax0+by+by0;cx+cx0+dy+dy0 f(x;y) +f(x0;y0) =(ax+by;cx+dy) +(ax0+by0;cx0+dy0) ax+by+ax0+by0;cx+dy+cx0+dy0

Donc la reponse est 42.

()Notations mathematiques et redaction5 / 33 Pour Bien rediger, il faut suivre des regles et utiliser des notations communement admises. ()Notations mathematiques et redaction6 / 33 Plan

1Introduction

2Symboles mathematiques

3Un peu de francais

4Les cles de la reussite

()Notations mathematiques et redaction7 / 33

Apprenons a dechirer les hieroglyphes :

8x2[0;1];x>0) 9y2R;y2=x

Dans cette expression mathematiques, on trouve :des lettresx,y, appeles aussi variables.des virgules et des

eches, qui servent a separer les dierentes parties de la phrase (car c'est une phrase!)Des parties commencant par un quanticateurs8et9et des parties sans quanticateurs.Des ensembles [0;1],Rdes symboles divers2, =,>,2.

Chacun de ses elements a une signication precise.

()Notations mathematiques et redaction8 / 33

Les variables

Une variable est une lettre (ou un symbole, un mot) qui sert a representer un objet. Elle permet d'ecrire des calculs et des raisonnements de maniere lisible et condensee. Par habitude,xest un nombre etfune fonction. Mais c'est juste une habitude, et on peut tres bien avoirxune fonction (c.f futur cours sur les courbes parametrees). Pour eviter les confusions, il faut donc preciser quel r^ole a chaque lettre utilisee. Il faut introduire les notations Quand on veut introduire une variable representant un elementquelconque d'un ensemble, on utilise soit. Par exemple, si l'on considere un reel quelconquex, on l'introduit de la maniere suivante :

Soitx2R.

Cela signie qu'on peut mettre TOUT les reels a la place dexdans toute la suite. On peut aussi utiliser l'expression Pour toutx2R.()Notations mathematiques et redaction9 / 33 Cette phrase introductive est le debut type de la reponse a une question de la forme :

Montrer que pour toutx2R:::. Quand on ne sait pas

comment demarrer une question, commencer par introduire les variables et les notations (et la conclusion qu'on aimerait trouver) permet en general de voir appara^tre le moyen d'y arriver.

Exemple:Montrer que pour toutx2R, sin

x+4 =sin(x)+cos(x)p2 .()Notations mathematiques et redaction10 / 33 Et quand on veut introduire une variable representant un elementspecial d'un ensemble, on utilise encore soit. Mais on precise juste apres quelle est la propriete speciale veriee par cet element en utilisant tel que ... ,veriant ....ou tout autre expression. Exemple:Soitx2Rtel quex61 .()Notations mathematiques et redaction11 / 33

Les quanticateurs8et9

Les quanticateurs sont des symboles utilises pour declarer des variables dans une propriete en symboles mathematiques. Attention, il faut eviter d'utiliser les quanticateurs ( et toute autre forme d'abreviations) dans une phrase en francais quand on redige sa copie. Une phrase avec un (ou plusieurs) quanticateur doit se comprendre de la maniere suivante quanticateurla variable et l'ensemble d'appartenance, la propriete veriee par la variable ()Notations mathematiques et redaction12 / 33

Denition

Lorsqu'une propriete dependant de x est vraie pour TOUT x appartenant a un ensemble E, on utilise le quanticateur8, qui se litpour toutou quel que soit, en ecrivant

8x2E;la propriete

.Exemple: Le carre de tout nombre reel est positifse traduit par la formule suivante :

8x2R;x2>0:

La suite (un)n2Nest croissantesigniepour tout entier natureln, on a :un+1>unet se traduit par la formule :

8n2N,un+1>un:()Notations mathematiques et redaction13 / 33

Denition

Lorsqu'une propriete dependant de x est vraie pour AU MOINS UN element x appartenant a un ensemble E, on utilise le quanticateur9, qui se lit il existeen ecrivant

9x2E;la proprieteExemple:L'enonce :on peut trouver un nombre entier dont le carre est

9 signieil existe un nombre entier dont le carre est 9et se traduit par la formule

9n2Z;n2= 9:

L'enonce :

Tout nombre reel positif possede une racine

carree. signie :Pour toutx>0, il existe un nombre reelyveriant : y

2=x.et se traduit par la formule :8x>0,9y2R,y2=x.()Notations mathematiques et redaction14 / 33

Notation bonus :on utilise souvent la notation9!x2E;P(x) pour signier que l'enonceP(x) est vrai pour exactement un seul et uniquex appartenant aE. On lit alors : il existe un unique elementxdansEtel queP(x) est vrai.()Notations mathematiques et redaction15 / 33

Les doubles

eches =)et() Le symbole =)est le symbole d'implication. SiAetBdesignent deux assertions, la notationA=)Bse litAimpliqueBet signie queSI

Aest vraieALORSBest vraie.

Attention :L'ordre d'ecriture est important : lorsque l'on aA=)B, l'implication reciproqueB=)An'est pas necessairement vraie. Le symbole =)ne s'utilise jamais dans une redaction. Utilisez les expressions francaises ( donc, par consequent, on en deduit que, il vient que....) ()Notations mathematiques et redaction16 / 33 Le symbole()est le symbole d'equivalence. SiAetBdesignent deux assertions, la notationA()Bse litAest equivalent aBet signie que siAest vraie alorsBest vraieETsiBest vrai alorsAest vrai. Deux assertions equivalentes sont donc simultanement vraies ou fausses. L'ordre d'ecriture n'a pas d'importance car siAest equivalent aBalorsBest equivalent aA. Dans une phrase en francais, on utilisera la locution si, et seulement si, pour signier une equivalence entre deux propositions. Attention :Le symbole()n'est pas a utiliser n'importe ou (meez-vous de ce sens(). On verra comment l'utiliser pour les systemes et les equations. ()Notations mathematiques et redaction17 / 33

Les ensembles

Denition

UnensembleE est une collection d'objets. Il y a de nombreuses maniere

de decrire les objets contenus dans un ensemble :on peut ecrire la liste des objets contenus entre deux accolades

E=f:::gon peut decrire E comme les objets veriant une proprietesPqui les caracterise E=fx;x veriePg.Exemple: E=f1;2;6;27;a;rgest un ensemble contenant quatre nombres et deux lettres. F=fx2R;x2>1gest un ensemble contenant les nombres reels dont le carre est strictement plus grand que 1. ()Notations mathematiques et redaction18 / 33

Denition

Si E est un ensemble, on appelle

elementde E tout objet appartenant a E. Si x est un element de E, on note x2E (symbole "appartient a").partiede E (ousous-ensemblede E) tout ensemble constitue d'objets de E. On dit qu'il est inclus dans E. Si F est une partie de E, on note FE (symbole "inclus dans").()Notations mathematiques et redaction19 / 33 Un certain nombre d'ensemble courant ont des notations qu'on retrouve

dans quasiment tous les livres de mathematiques :N=f0;1;2;:::gest l'ensemble des entiers naturels,Z=f:::;2;1;0;1;2;:::gest l'ensemble des entiers relatifs,Qest l'ensemble des rationnels (quotients de deux nombres entiers

relatifs),Rest l'ensemble des reels.

Ces ensembles sont inclus les uns dans les autres :NZQR.()Notations mathematiques et redaction20 / 33

Un ensemble de la forme [a;b] ouaetbsont des nombres est un intervalles. ca signie tous les reels compris entre les reelsaetb. Selon la

forme des crochets, les nombresaetbpeuvent ^etre inclus ou exclus.()Notations mathematiques et redaction21 / 33

Et la phrase mystere est....

Maintenant, nous avons tous les elements pour comprendre la phrase du debut

8x2[0;1];x>0) 9y2R;y2=x()Notations mathematiques et redaction22 / 33

8x2[0;1];Pour tout reelxcompris entre 0 et 1 (0 et 1 inclus)

x>0sixest strictement positif, )alors

9y2[0;1];il existe un nombreyreel

y

2=xtel quexsoit le carre dey( c'est le nombrey=px).

Ce qu'on peut ecrire en francais pur : Tout nombre reel compris entre 0 et

1 admet une racine carre.

()Notations mathematiques et redaction23 / 33

Un peu de rab sur les ensembles

Denition

On considere E un ensemble. Si A;B sont deux sous-ensembles de E, alors on denit :L'union de A et B, notee A[B, est la partie de E dont les elements sont dans A ou B. (ou dans les deux a la fois). On a x2A[B,x2Aoux2B:L'intersection de A et B, notee A\B, est la partie de E dont les elements sont a la fois dans A et dans B. On a x2A\B,x2Aetx2B:()Notations mathematiques et redaction24 / 33

Denition

Soient A;B deux ensemble. On appelle produit cartesien de A et B l'ensemble AB deni par

AB=f(x;y);x2A;y2Bg:

C'est l'ensemble des couples formes avec un element de A et un de B.Remarque:Le produit cartesienAAse note aussiA2. Le produit

cartesienAAAse note aussiA3.... Exemple:R2est l'ensemble de tous les couples (x;y) ouxetysont des reels. On s'en servira pour les coordonnees dans le plan. De m^eme,R3est l'ensemble de tous les triplets (x;y;z) oux;yetzsont des reels. On s'en servira pour les coordonnees dans l'espace. ()Notations mathematiques et redaction25 / 33 SoientA;Bdeux ensembles. On veut montrer queA=B. Il y a deux redactions types : Methode 1 (par equivalence).Pour pouvoir utiliser cette methode, il faut faire tres attention a n'utiliser que des equivalences. Sauf dans les cas d'equations simples, elle est dicile a rediger correctement.

Soitx2A.

x2A():::():::()x2B

DoncA=B.

Methode 2 (par double inclusion).C'est la methode la plus utilisee.1Soitx2A. x2A=):::=):::=)x2B

DoncAB.2Soitx2B.

x2B=):::=):::=)x2A DoncBA.3On aABetBA, doncA=B()Notations mathematiques et redaction26 / 33 Plan

1Introduction

2Symboles mathematiques

3Un peu de francais

4Les cles de la reussite

()Notations mathematiques et redaction27 / 33 Dans un raisonnement en francais, vous pouvez utiliser les mots et locutions suivantes : donc, car, d'ou, or, c'est-a-dire, autrement dit, si ... alors, puisque, comme, par consequent, etc. Attention toutefois a la signication logique de ces mots (cause, consequence, equivalence). Si la reponse a une question necessite un raisonnement en plusieurs etapes ou de distinguer plusieurs cas, on peut introduire les dierentes parties par une phrase du genre

Montrons que ...,Resolvons l'equation...,

Nous allons maintenant prouver que, etc. Des conclusions marquant la n de chacune des etapes sont les bienvenues mais ne dispensent pas d'ecrire une conclusion nale. Ecrivez francais ou mathematique, mais pas les deux a la fois! Les symboles mathematiques ne peuvent pas ^etre utilises en tant qu'abreviation. Cependant, le melange est autorise pour certaines notations, notamment avec symboles2,6,>, comme dansSoit x2E. On n'est pas oblige d'ecrire :Soitxun element deE. Ce n'est la qu'une question de convention. ()Notations mathematiques et redaction28 / 33

Exemple:Montrer que pour toutxreel, on a

x2[0;1] =)p1x22[0;1].quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46