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Introduction à la régression multiple
Introduction à la régression multiple
Résumé
A la suite de la
régr essionlinéair esimple , cette vignette introduit le modèle linéaire multidimensionnel dans lequel une variable quan- titativeYest expliquée, modélisée, par plusieurs variables quanti- tativesXj(j= 1;:::;p). Après avoir expliciter les hypothèses né- cessaires et les termes du modèle, les notions d"estimation des pa- ramètres du modèle (moindres carrés), de prévision par intervalle de confiance, la signification des tests d"hypothèse sont discutées de même que les outils de diagnostics (graphe des résidus, colinéarité). Des développements complémentaires sont à rechercher dans une présentation plus complète du modèle linéair eRetour au
plan du cour s1 Introduction
Le modèle de régression linéaire multiple est l"outil statistique le plus ha- bituellement mis en oeuvre pour l"étude de données multidimensionnelles. Cas particulier de modèle linéaire, il constitue la généralisation naturelle de la ré- gression simple.2 Modèle
Une variable quantitativeYditeà expliquer(ou encore, réponse, exogène, dépendante) est mise en relation avecpvariables quantitativesX1;:::;Xp ditesexplicatives(ou encore de contrôle, endogènes, indépendantes, régres- seurs). Les données sont supposées provenir de l"observation d"un échantillon sta- tistique de taillen(n > p+ 1) deR(p+1): (x1i;:::;xj i;:::;xp i;yi)i= 1;:::;n: L"écriture dumodèle linéairedans cette situation conduit à suppo-ser que l"espérance deYappartient au sous-espace deRnengendré parf1;X1;:::;Xpgoù1désigne le vecteur deRnconstitué de "1" . C"est-à-
dire que les(p+ 1)variables aléatoires vérifient : y i=0+1x1i+2x2i++pxp i+"ii= 1;2;:::;n avec les hypothèses suivantes : 1. Les "isont des termes d"erreur, non observés, indépendants et identique- ment distribués;E("i) = 0;V ar(") =2I. 2. Les termes xjsont supposés déterministes (facteurs contrôlés)ou bienl"erreur"est indépendante de la distribution conjointe deX1;:::;Xp.On écrit dans ce dernier cas que :
E(YjX1;:::;Xp) =0+1X1+2X2++pXpet Var(YjX1;:::;Xp) =2: 3. Les paramètres inconnus 0;:::;psont supposés constants. 4. En option, pour l"étude spécifique des lois des estimateurs, une quatrième hypothèse considère la normalité de la variable d"erreur"(N(0;2I)).