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[PDF] Les triplets pythagoriciens

En l'honneur du mathématicien grec Pythagore (6e si`ecle av J -C ), on appelle triplet pythagoricien un triplet d'entiers positifs (u, v, w) tels que x = 

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8 déc 2015 · Les triplets pythagoriciens 1 Définition Définition 1 : On dit que trois nombres a, b et c entiers naturels forment un triplet pythagoricien s'ils 

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22 avr 2009 · ➢ Un triplet pythagoricien est une combinaison de naturels vérifiant la formule a² =b²+c² ➢ Un triangle pythagoricien est un triangle rectangle 

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Existent-ils des triplets de nombres entiers naturels consécutifs qui soient des triplets pythagoriciens ? a Recherche sur internet : Qu'est-ce qu'un triplet 

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On dit que trois nombres a, b, c entiers naturels non nuls forment un triplet pythagoricien s'ils vérifient la relation a× + b× = c× Rechercher des triplets 

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Triplets pythagoriciens Présentation du sujet : Un triplet pythagoricien {a, b, c} est une famille de trois nombres entiers naturels o`u le carré du plus grand est 

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Lorsqu'un triplet est pythagoricien, on peut leur demander de tracer le triangle correspondant sur du papier quadrillé 5 On peut ensuite leur montrer à tracer des 

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Dans cet exercice, on s'intéresse aux triplets d'entiers naturels non nuls (x, y, z) tels que x2 + y2 = z2 Ces triplets seront nommés « triplets pythagoriciens » en 

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Présentation dans le cadre du

congrès mathématique

Dédra-MATH-isons

Le 22 avril 2009

Travail réalisé par Thomas Van

Himbeek, Son, Nicéphore Bayekula,

Thomas Vande Casteeleet Nathan

Louagie

Aǀec l'aide de M. Bolly

Collège Saint-Michel

Les Triplets

Pythagoriciens

Plan de l'edžposĠ

1. Introduction

2. Approche algébrique

3. Approche géométrique

4. Quelques propriétés

remarquables

1. Introduction

¾Cet instrument de mesure

angle est droit. application directe des triplets pythagoriciens.

¾Elle peut former un triangle

droite.

1.2. Définitions

¾Un triplet pythagoricienest une combinaison de naturels vérifiant la formule a²=b²+c². ¾Un triangle pythagoricienest un triangle rectangle dont les trois côtés sont entiers. 3 4 ¾Un triplet est dit primitif si a, b et c sont premiers entre eux deux à deux. Cas particulier: le seul triangle primitif dont les côtés ont pour mesure des naturels consécutifs est le triangle (3,4,5).

Exemples de triangles primitifs:

ABC 51213
81517

202129

94041

Plan de l'edžposĠ

1. Introduction

2. Approche algébrique

3. Approche géométrique

4. Quelques propriétés

remarquables

Comment pourrions-

nous trouver des triplets pythagoriciens de manière algébrique?

2. Approche algébrique

2.1. a et b tels que ab=x²

Nous devons trouver la mesure des côtés a et b du rectangle afin que son aire égale celle du carré (1)z+y=a (2) z-y =b (1)+(2): 2z=a+b x² ab z= (a+b)/2 y=a-(a+b):2=(a-b)/2 x²= z²-y²=((a+b)/2)²-((a-b)/2)² x=

S=( , (a-b)/2, (a+b)/2)

2.2. Est-il possible de trouver (x, y, z) tels que z -y= y -x = n?

z -y= y -x= 1 ¾Partant de ce triplet primitif, on peut trouver pour chaque n (n étant naturel) un unique triplet tel que: z -y= y -x= n

Démonstration par récurrence:

Vrai pour n=1

(3, 4, 5) x 1 = (3, 4, 5)

5 -4= 4 -3 = 1

(3, 4, 5) x (n+1) = (3n+3, 4n+4, 5n+5)

On a bien que z -y= y -x = n+1

Pour obtenir un triplet où les différences entre z et y et entre y et x sont égales à un même naturel, il suffit de multiplier les membres du triplet (3, 4, 5) par ce naturel.

Yuelle est l'histoire

de formules notables permettant de générer des triplets?

2.2 Un petit bout d'Histoire des

mathématiques

2.2.1. Les formules de la Grèce Antique

a) Platon "Pour tout entier naturel n, le triplet (2n ; nϸ о1 ; nϸ н1) est pythagoricien.» b) Pythagore "Pour tout entier naturel n, le triplet (2n +1 ; 2n² +2n ; 2n² +2n +1) est pythagoricien. » c) Euclide "Soient a, b et c trois entiers premiers entre eux deux à deux. Alors aϸн bϸ с cϸ si et seulement s'il edžiste deudž entiers naturels non nuls premiers entre eux n et m tel que : a =2nm; bс nϸоmϸ et cϸ сnϸ нmϸ»

Démonstration:

¾Si x = 2nm, y = n²-m² et z² = n²+m², alors (x, y, z) est un triplet pythagoricien ¾Réciproquement, soit (x, y, z) irréductible, alors x et y ne sont pas de même parité ¾Si dž et y pairs, ce n'est pas un triplet primitif car les membres du triplet ont alors 2 comme facteur commun. ¾Si x et y étaient tous les deux impairs, on pourrait écrire x = 2p+1 ( p naturel) et y= 2q+1

4p²+ 4p+4q²+4q+2 = 4 (p²+p+q²+q)+2

¾Or ceci signifierait que z² serait pair et non divisible par 4. IMPOSSIBLE ( (2n)²= 4.n²). Tout nombre pair élevé au carré donne un multiple de 4! x et y doivent être de parité opposée x = 2nm est le terme pair y est impair et forcĠment z l'est aussi.

Posons x = 2u

z+y = 2v z-y = 2w ¾u, v et w sont premiers entre eux (puisque x, y et z le sont) x² = z²-y² (z+y)(z-y) = 4vw ¾x² = (2u)² = 4u² u² = x²/4 u² = vw Mais v et w étant premiers entre eux, ce sont nécessairement des carrés parfaits car u²= vw ¾Nous pouvons donc écrire v= n² et w= m² (n et m sont premiers entre eux) x²= 4m²n² Ùx= 2mn y = v -w = n²-m² z = v +w = n²+m²

Plan de l'edžposĠ

1. Introduction

2. Approche algébrique

3. Approche géométrique

4. Quelques propriétés

remarquables

Cherchons des

formules génératrices des triplets par la géométrie!

3. Approche géométrique

3.1.Génération géométrique des triplets

pythagoriciens

La construction :

¾Un cercle est inscrit dans un carré

intersections entre le cercle et le carré. La droite (AP) coupe le cercle en A'.

¾Le rapport entre les côtés du

rectangle A'A1A2A3 inscrit dans le cercle est 4/3.

¾Joignant à nouveau P aux

sommets des rectangles inscrits on obtient d'autres intersections et de triplets ainsi de suite.

3.2. Interprétationgéométrique de la

formule euclidienne

Si a²+b²=c² alors (a/c)²+ (b/c)²=1

¾Cette équation représente le

cercle de rayon 1 dans un repère orthonormé. Tout point de ce cercle est donc solution de

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