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Sur la figure ci-dessous, les trois cercles c1, c2 et c3 de centres respectifs I, O et J , ont le même rayon, qui est un entier naturel x La droite (NM) est tangente au 

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longueurs BC, CA et AB, et α, β et γ les angles u CAB, u ABC et u BCA On notera aussi C son cercle circonscrit et O le centre de C et R son rayon, H son 

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Les points des bissectrices des deux droites si elles sont sécantes Pour un centre donné il y a un unique cercle convenable 4 Cercles tangents `a une droite et 

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SOLUTION Ce problème s'inscrit naturellement dans la théorie que j'ai baptisée « la complexité des triangles », amorcée il y a plusieurs années avec l'énoncé 

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Les trois cercles

Fiche professeur - Complément3e

Auteurs : Vanreust Stéphane

Eudes Fabrice

De Wasan aux trois cercles :

Stéphane Vanreust propose une activité de niveau collège autour d"un Sangaku constitué de deux cercles

tangents extérieurement et d"une droite tangente à ces deux cercles en deux points distincts. Dans le livre

de Géry Huvent "Sangaku», celui-ci est nommé "Wasan». (d) A B T O 1 O

2Dans ce même livre, le Sangaku suivant, nommé "Les trois cercles», présente la même configuration géomé-

trique que celle de "Wasan» avec, en sus, un troisième cercle tangent simultanément aux deux autres cercles

ainsi qu"à la droite. (d) A B C T U V O 1 O 2 O

Lorsd"une réuniondu groupeAMECMI, nous discutions delamise enforme de cette activité, etune question

a été posée sur l"existence de ce troisième cercle en fonction des rayons des deux cercles de "Wasan». En fait,

ce troisième cercle existe quelles que soient les valeurs des rayons de ces deux cercles.1

Justification algébrique :

en T. Soit (d) la droite tangente àC1en A et àC2en B. Supposons qu"un cercle solutionCexiste. On nomme O son centre,rson rayon, C, D et E ses points de

tangence respectifs avec (d),C1etC2. D"après l"activité "Wasan», on a trois conditions nécessaires données

par les égalités AB

2AE4r1r2, AC2AE4r1ret CB2AE4rr2, soit aussi ABAE2pr

1r2, ACAE2pr

1ret CBAE2prr

2 puisque toutes ces quantités sont positives.

Comme AB

2AE(ACÅCB)2AEAC2Å2£AC£CBÅCB2, on a sucessivement :

4r1r2AE4r1rÅ2£2pr

1r£2prr

2Å4rr2

r

1r2AEr1rÅ2rpr

1r2Årr2

r

1r2AEr£(pr

1Åpr

2)2 rAEr1r2( pr

1Åpr

2)2

ce qui donne la mesure du rayon deC. Le centre O deCest alors l"un des points d"intersection du cercle de

centre O

1et de rayonr1Åravec le cercle de centre O2et de rayonr2År.

Dans la figure GeoGebraLesTroisCerclesNum.ggb, on a placé ce centre O sans construire ces cercles. En

effet, on peut calculer ses coordonnées dans un repère orthonormé de centre A, d"axes (AB) et (AO

1). Pour

cela, on applique le théorème de Pythagore à un triangle rectangle d"hypoténuse [O

1O] et dont les côtés de

l"angle droit sont parallèles aux axes (AB) et (AO 1) : (r1År)2AE(r1¡r)2ÅAC2 AC

2AE(r1År)2¡(r1¡r)2

AC

2AE4r1r

ACAE2pr

1r donc les coordonnées du centre O deCsont (2pr

1r;r).

On vérifie sans difficultés qu"un tel point O satisfait aux trois conditions de tangence.

Justification géométrique :

à rédiger plus tard, avec figures ...

Variantes / Pour aller plus loin / Références :

3Pour la solution purement géométrique, j"ai utilisé les ressources de la pageConstruction de cercles

danslapartieGéométrie dynamiquedusiteMIAM(MathématiquesInternetAixMarseille).Voiràl"adresse:

La page en question est très riche; on peut se contenter de lire les paragraphes 3, 7 et 9.

3Le livre de Géry Huvent,Sangaku, le mystère des énigmes géométriques japonaises, aux Éditions Dunod.2

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